天津市靜海區(qū)第四中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

天津市靜海區(qū)第四中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知點(diǎn)，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．2．已知定義域的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖（圖中尺寸單位：m），則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．在計(jì)算機(jī)BASIC語(yǔ)言中，函數(shù)表示整數(shù)a被整數(shù)b除所得的余數(shù)，如.用下面的程序框圖，如果輸入的，，那么輸出的結(jié)果是（）A．7 B．21 C．35 D．495．不等式的解集為,則的值為(

)A． B．C． D．6．已知一個(gè)扇形的圓心角為，半徑為1．則它的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．在某項(xiàng)體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.88．把函數(shù)，圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù),若使得在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．10．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，定義向量，，．下列命題中真命題是()A．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列B．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列C．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列D．若對(duì)任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足，若，則的所有可能值的和為______；12．在中，角、、所對(duì)的邊為、、，若，，，則角________．13．如圖，以為直徑的圓中，，在圓上，，于，于，，記，，的面積和為，則的最大值為______.14．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______.15．的值為__________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，是第四象限角，求和的值.18．在中，分別是所對(duì)的邊，若的面積是，，．求的長(zhǎng)．19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且求若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．某超市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售量，對(duì)其所在銷售范圍內(nèi)的1000名消費(fèi)者在端午節(jié)期間的粽子購(gòu)買量（單位：g）進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）求這1000名消費(fèi)者的棕子購(gòu)買量在600g～1400g的人數(shù)；（Ⅲ）求這1000名消費(fèi)者的人均粽子購(gòu)買量（頻率分布直方圖中同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．21．如果數(shù)列對(duì)任意的滿足：，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是“數(shù)列”，設(shè)，求證：數(shù)列是遞增數(shù)列，并指出與的大小關(guān)系（不需要證明）；（2）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，若數(shù)列是“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的“數(shù)列”，對(duì)于取相同的正整數(shù)時(shí)，比較和的大小，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由題得，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【題目詳解】由題可得：，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于較易題．2、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱可得，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【題目詳解】解：∵函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∵奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，∴，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，計(jì)算即可得解.【題目詳解】該幾何體是一個(gè)半徑為1的球體削去四分之一，體積為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三視圖的識(shí)別和球的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

模擬執(zhí)行循環(huán)體，即可得到輸出值.【題目詳解】，，，，繼續(xù)執(zhí)行得，，繼續(xù)執(zhí)行得，，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查循環(huán)體的執(zhí)行，屬程序框圖基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式解集與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系列方程組，解得a，c的值.【題目詳解】由題意得為方程兩根，所以，選B.【題目點(diǎn)撥】一元二次方程的根與對(duì)應(yīng)一元二次不等式解集以及對(duì)應(yīng)二次函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，注意轉(zhuǎn)化時(shí)的等價(jià)性.6、C【解題分析】

直接利用扇形弧長(zhǎng)公式求解即可得到結(jié)果.【題目詳解】由扇形弧長(zhǎng)公式得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，計(jì)算90，90，93，94，93五個(gè)數(shù)的平均數(shù)和方差即可.【題目詳解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后是90，90，93，94，93，所以其平均數(shù)為，因此方差為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均數(shù)與方差的計(jì)算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、C【解題分析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為的形式，然后再利用三角函數(shù)的圖像變換即可求解.【題目詳解】函數(shù)，函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得，在將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，可得.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

根據(jù)在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個(gè),結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性,即可求得答案.【題目詳解】,使得在區(qū)間上為增函數(shù)可得當(dāng)時(shí)，滿足整數(shù)至少有,舍去當(dāng)時(shí)，，要使整數(shù)有且僅有一個(gè),須,解得:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)值,解題關(guān)鍵是掌握正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的解法和結(jié)合三角函數(shù)圖象求參數(shù)范圍,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.10、A【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，得到，利用累乘法，求得，從而可作出判定，得到答案．【題目詳解】由題意知，向量，，，當(dāng)時(shí)，可得，即，所以，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．當(dāng)，可得，即，所以，所以數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，等差數(shù)列的定義，以及“累乘法”求解通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、36【解題分析】

根據(jù)條件得到的遞推關(guān)系，從而判斷出的類型求解出可能的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出的所有可能值，并完成求和.【題目詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，，所以；當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，，所以，所以的所有可能值之和為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差和等比數(shù)列的判斷以及求數(shù)列中項(xiàng)的值，難度一般.已知數(shù)列滿足(為常數(shù))，則是公差為的等差數(shù)列；已知數(shù)列滿足，則是公比為的等比數(shù)列.12、.【解題分析】

利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【題目詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用和反三角函數(shù)，解題時(shí)要充分結(jié)合元素類型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13、【解題分析】

可設(shè)，表示出S關(guān)于的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題.【題目詳解】設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，三角函數(shù)最值問題，意在考查學(xué)生的劃歸能力，分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.14、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求出的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角函數(shù)的定義求余弦值，解題的關(guān)鍵就是三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【題目詳解】,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】

設(shè)由，求出點(diǎn)軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點(diǎn)又在直線，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，只需圓心到直線的距離小于半徑，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【題目詳解】設(shè)，，，，整理得，又點(diǎn)在直線，直線與圓共公共點(diǎn)，圓心到直線的距離，即.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式可求的值，根據(jù)是第四象限角可求的值，最后根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式及倍角公式可求的值.【題目詳解】，又是第四象限角，所以，所以，.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，此題屬于基礎(chǔ)題.18、8【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，利用三角形的面積公式列方程求得，結(jié)合求得，根據(jù)余弦定理求得的長(zhǎng).【題目詳解】由（）得．因?yàn)榈拿娣e是，則，所以由解得．由余弦定理得，即的長(zhǎng)是．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查三角形的面積公式，考查余弦定理解三角形.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由時(shí)，，再驗(yàn)證適合，于是得出，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的求和公式求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【題目詳解】（1）當(dāng)且時(shí)，；也適合上式，所以，，則數(shù)列為等差數(shù)列，因此，；（2），且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題．20、（Ⅰ）a＝0.1（Ⅱ）2（Ⅲ）1208g【解題分析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子購(gòu)買量在的頻率，由此能求出這1000名消費(fèi)者的粽子購(gòu)買量在的人數(shù)；（Ⅲ）由頻率分布直方圖能求出1000名消費(fèi)者的人均購(gòu)買粽子購(gòu)買量【題目詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）×400＝1，解得a＝0.1．（Ⅱ）∵粽子購(gòu)買量在600g～1400g的頻率為：（0.00055+0.1）×400＝0.62，∴這1000名消費(fèi)者的棕子購(gòu)買量在600g～1400g的人數(shù)為：0.62×1000＝2．（Ⅲ）由頻率分布直方圖得這1000名消費(fèi)者的人均粽子購(gòu)買量為：（400×0.0002+800×0.00055+1200×0.1+1600×0.0005+2000×0.00025）×400＝1208g．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了頻率、頻數(shù)、以及頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）（3），證明見解析.【解題分析】

（1）由新定義，結(jié)合單調(diào)性的定義可得數(shù)列是遞增數(shù)列；再根據(jù)，，可得；（2）運(yùn)用新定義和等差數(shù)列的求和公式，解絕對(duì)值不等式即可得到所求范圍；（3）對(duì)一切，有．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意驗(yàn)證成立；假設(shè)