2024屆北京市西城區(qū)回民學(xué)校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)回民學(xué)校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，，是的內(nèi)心，若，其中，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為（）A． B． C． D．2．已知200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在的汽車(chē)輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．703．某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員有104人，管理人員32人，后勤服務(wù)人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則抽取管理人員()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人4．等差數(shù)列中，，則的值為()A．14 B．17 C．19 D．215．與直線垂直于點(diǎn)的直線的一般方程是（）A． B． C． D．6．已知銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知向量,滿足,和的夾角為,則()A． B． C． D．18．在平行四邊形中，，若點(diǎn)滿足且，則A．10 B．25 C．12 D．159．若實(shí)數(shù)a＞b，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B． C．ln2a＞ln2b D．a(chǎn)x2＞bx210．小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，A．815 B．18 C．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，則是否存在不小于2的正整數(shù)，使成立？若存在，則在橫線處直接填寫(xiě)的值；若不存在，就填寫(xiě)“不存在”_______.12．設(shè)向量，，______.13．設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，若，則__________________．14．直線的傾斜角為_(kāi)_________．15．已知，，若，則實(shí)數(shù)_______.16．已知點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)(a>0)，若圓(x-2)2+(y-2)2=2上存在點(diǎn)C三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門(mén)，再在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門(mén).為了更好進(jìn)行生涯規(guī)劃，甲同學(xué)對(duì)高一一年來(lái)的七次考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中物理、歷史成績(jī)的莖葉圖如圖所示.(1)若甲同學(xué)隨機(jī)選擇3門(mén)功課，求他選到物理、地理兩門(mén)功課的概率；(2)試根據(jù)莖葉圖分析甲同學(xué)應(yīng)在物理和歷史中選擇哪一門(mén)學(xué)科？并說(shuō)明理由；(3)甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)，其物理考試成績(jī)(分)與班級(jí)平均分(分)具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示，試求當(dāng)班級(jí)平均分為50分時(shí)，其物理考試成績(jī).參考數(shù)據(jù):，，，.參考公式：，，(計(jì)算時(shí)精確到).18．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統(tǒng)風(fēng)味小吃某小區(qū)超市銷(xiāo)售一款土筍凍，進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，售價(jià)為每個(gè)20元.銷(xiāo)售的方案是當(dāng)天進(jìn)貨，當(dāng)天銷(xiāo)售,未售出的全部由廠家以每個(gè)10元的價(jià)格回購(gòu)處理.根據(jù)該小區(qū)以往的銷(xiāo)售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)已知該超市某天購(gòu)進(jìn)了150個(gè)土筍凍，假設(shè)當(dāng)天的需求量為個(gè)銷(xiāo)售利潤(rùn)為元.(i)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(ii)結(jié)合上述頻率分布直方圖，以額率估計(jì)概率的思想,估計(jì)當(dāng)天利潤(rùn)不小于650元的概率.19．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當(dāng)為何值時(shí)，PB⊥AC？20．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線Γ與y軸交于點(diǎn)C．（1）是否存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求證:過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由且，易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），在中，由，利用余弦定理求得邊，再由和，求得內(nèi)切圓的半徑，從而得到，再由動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積得解.【題目詳解】因?yàn)榍?，根?jù)向量加法的平行四邊形運(yùn)算法則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），因?yàn)樵谥?，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所?設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，所以所以.所以.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為：.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡所覆蓋的面積的求及正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2、B【解題分析】

先計(jì)算時(shí)速在的汽車(chē)頻率，再乘200,?！绢}目詳解】由圖知：時(shí)速在的汽車(chē)頻率為所以時(shí)速在的汽車(chē)輛數(shù)為，選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。3、B【解題分析】

根據(jù)分層抽樣原理求出應(yīng)抽取的管理人數(shù)．【題目詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，應(yīng)抽取管理人員的人數(shù)為：故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，.【題目詳解】，解得：.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解題分析】由已知可得這就是所求直線方程，故選A.6、B【解題分析】

利用余弦定理化簡(jiǎn)后可得，再利用正弦定理把邊角關(guān)系化為角的三角函數(shù)的關(guān)系式，從而得到，因此，結(jié)合的范圍可得所求的取值范圍.【題目詳解】，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，故,選B.【題目點(diǎn)撥】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.7、B【解題分析】

由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題意可得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

先由題意，用，表示出，再由題中條件，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，則故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟記平面向量基本定理以及數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.9、C【解題分析】

特值法排除A,B,D,單調(diào)性判斷C【題目詳解】由題意，可知：對(duì)于A：當(dāng)a、b都是負(fù)數(shù)時(shí)，很明顯a2＜b2，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：當(dāng)a為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)時(shí)，則有，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴l(xiāng)n2a＞ln2b，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)x＝0時(shí)，結(jié)果不成立，故選項(xiàng)D不正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)應(yīng)用，特殊值技巧的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值大小的比較．本題屬中檔題．10、C【解題分析】試題分析：開(kāi)機(jī)密碼的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是115【考點(diǎn)】古典概型【解題反思】對(duì)古典概型必須明確兩點(diǎn)：①對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時(shí)滿足①、②的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式P(A)=m二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、70【解題分析】

構(gòu)造數(shù)列，兩式與相減可得數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，讓=0即可求出.【題目詳解】設(shè)兩式相減得又?jǐn)?shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，由已知易得均不為0所以當(dāng)n=70的時(shí)候成立，故答案填70.【題目點(diǎn)撥】如果遞推式中出現(xiàn)和的形式，比如，可以嘗試退項(xiàng)相減，即讓取后，兩式作差，和的部分因?yàn)橄鄿p而抵消，剩下的就好算了。12、【解題分析】

利用向量夾角的坐標(biāo)公式即可計(jì)算.【題目詳解】.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.13、【解題分析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質(zhì)計(jì)算得出即可.【題目詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時(shí)當(dāng)時(shí),求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當(dāng)時(shí).14、【解題分析】試題分析：由直線方程可知斜率考點(diǎn)：直線傾斜角與斜率15、【解題分析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，解方程即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，整理得：，解得：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．16、3【解題分析】

利用參數(shù)方程假設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，表示出AC和BC，利用AC?BC=0可得到a【題目詳解】設(shè)C∴∵∠ACB=90°∴∴當(dāng)sinα+∴0<a≤3本題正確結(jié)果：3【題目點(diǎn)撥】本題考查圓中參數(shù)范圍求解的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用圓的參數(shù)方程，利用向量數(shù)量積及三角函數(shù)關(guān)系求得最值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解題分析】

(1)列出基本事件的所有情況，然后再列出滿足條件的所有情況，利用古典概率公式即可得到答案.(2)計(jì)算平均值和方差，從而比較甲同學(xué)應(yīng)在物理和歷史中選擇哪一門(mén)學(xué)科；（3）先計(jì)算和，然后通過(guò)公式計(jì)算出線性回歸方程，然后代入平均值50即可得到答案.【題目詳解】(1)記物理、歷史分別為，思想政治、地理、化學(xué)、生物分別為，由題意可知考生選擇的情形有，，，，，，，，，，，，共12種他選到物理、地理兩門(mén)功課的滿情形有，共3種甲同學(xué)選到物理、地理兩門(mén)功課的概率為(2)物理成績(jī)的平均分為歷史成績(jī)的平均分為由莖葉圖可知物理成績(jī)的方差歷史成績(jī)的方差故從平均分來(lái)看，選擇物理歷史學(xué)科均可以；從方差的穩(wěn)定性來(lái)看，應(yīng)選擇物理學(xué)科；從最高分的情況來(lái)看，應(yīng)選擇歷史學(xué)科(答對(duì)一點(diǎn)即可)(3)，,關(guān)于的回歸方程為當(dāng)時(shí)，,當(dāng)班級(jí)平均分為50分時(shí)，其物理考試成績(jī)?yōu)?3分【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型，統(tǒng)計(jì)數(shù)的相關(guān)含義，線性回歸方程的計(jì)算，意在考查學(xué)生的閱讀理解能力，計(jì)算能力和分析能力，難度不大.18、（1）（2）(i)（）；(ii)【解題分析】

(1)設(shè)日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數(shù)公式估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)；（2）(i)分類(lèi)討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【題目詳解】解：（1）設(shè)日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)，．（2）（i）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故（）（ii）由（i）可知，利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計(jì)概率的思想，估計(jì)當(dāng)天利潤(rùn)不小于元的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算和分段函數(shù)解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【題目詳解】（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,因?yàn)镺，E分別為BD.PD的中點(diǎn),所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當(dāng)時(shí)，PB⊥AC．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問(wèn)題找異面直線垂直，第三問(wèn)難度較大，需要把異面直線垂直轉(zhuǎn)化為射影垂直，即共面垂直問(wèn)題．20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）利用數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（2）確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，