2023屆吉林省長(zhǎng)春市高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1吉林省長(zhǎng)春市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a＝（）A.-3 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，即，所以.故選：A.2.如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由韋恩圖可知，，因?yàn)椋瑒t，，因此，.故選：D.3.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.16〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，而，又，所以.故選：B4.如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗正方體中，，所以與所成的角即異面直線與所成的角，因?yàn)闉檎切?，所以與所成的角為，所以異面直線與所成的角為.故選：C.5.已知等比數(shù)列的公比為（且），若，則的值為（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗已知等比數(shù)列的公比為（且），若，則，所以，解得.故選：C.6.已知函數(shù)，（）的圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，畫出的圖象，要想圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則，解得.故選：A7.已知對(duì)于每一對(duì)正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿足：，若，則滿足的的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗A〖解析〗令且均屬于，則，所以，故，又，故在上恒成立，且在上單調(diào)遞增，所以，滿足僅有，即僅有1個(gè).故選：A8.已知點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿軸折成的二面角，使點(diǎn)翻折至，則兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圓的方程知：圓的半徑為；當(dāng)與位于同一半圓時(shí)，作出該半圓所在的平面圖如下圖所示，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），當(dāng)位于圖中處時(shí)，取得最小值；又當(dāng)位于圖中處時(shí)，取得最大值；當(dāng)與分別在兩個(gè)半平面中時(shí)，作平面，垂足為，作軸，垂足為，連接，則三點(diǎn)共線，設(shè)為延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則即為翻折后的二面角的平面角，，，，，，；為圓右半圓上的點(diǎn)，可設(shè)，，，（其中，），，當(dāng)，即時(shí)，，則；又，，即；綜上所述：兩點(diǎn)間的距離的取值范圍為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.在中，若，則下列論斷正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，因，所以，所以，不一定為1，A錯(cuò)；因?yàn)?，，∴，從而有，所以B正確，又，所以也不一定等于1，C錯(cuò)；而，D正確；故選：BD10.閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是（）A.直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B.若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C.若四面體在點(diǎn)處離散曲率為，則平面D.若直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則與平面的夾角為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)直四棱柱的底面為正方形時(shí)，其在各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等，當(dāng)直四棱柱的底面不為正方形時(shí)，其在同一底面且相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則菱形為正方形，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，故B正確；對(duì)于C，在四面體中，，，，所以，所以四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面，故C正確，對(duì)于D,直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為,則,即是等邊三角形,設(shè),則即為與平面的所成角,,故D錯(cuò)誤;故選：BC.11.定義在上的函數(shù)，則（）A.存在唯一實(shí)數(shù)，使函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為單調(diào)函數(shù)C.任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在最小值D.任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在兩條過原點(diǎn)的切線〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，若函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則恒成立所以且，所以，解得，且當(dāng)時(shí)，，則所以存在唯一實(shí)數(shù)，使函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，，則，所以函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，由于，又令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，故存在唯一的零點(diǎn)，使得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在最小值，故C正確；對(duì)于D，由于，設(shè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以切線方程為，當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)，有整理得，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)根，故D正確.故選：ACD.12.已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，，使得B.當(dāng)時(shí)，，使C.當(dāng)時(shí)，，使得D.當(dāng)時(shí)，，〖答案〗BC〖解析〗在橢圓中，，，，由題意可得，上焦點(diǎn)記為，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由題意可得，兩式作差可得，因?yàn)橹本€的斜率存在，則，所以，，整理可得，又因?yàn)?，消去可得，其中，所以，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，，，同理，所以，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，使得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由B選項(xiàng)可知，，即，即，由可得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，而點(diǎn)到直線的距離為，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取最小值，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，故〖答案〗為?4.已知單位向量，的夾角為60°，若，則記作．已知向量，，則___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)樗?，故〖答案〗為?5.早在一千多年之前，我國(guó)已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對(duì)橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個(gè)溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個(gè)溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為_________，溢流孔與橋拱交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)橋拱所在拋物線方程，由圖可知，曲線經(jīng)過，代入方程，解得：，所以橋拱所在拋物線方程；四個(gè)溢流孔輪廓線相同，所以從右往左看，設(shè)第一個(gè)拋物線，由圖拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以，點(diǎn)即橋拱所在拋物線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)由，解得：所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.故〖答案〗為：；16.將圓分成個(gè)扇形，每個(gè)扇形用紅、黃、藍(lán)、橙四色之一涂色，要求相鄰扇形不同色，設(shè)這n個(gè)扇形的涂色方法為種，則與的遞推關(guān)系是______．〖答案〗（）〖解析〗如圖所示，由題意，將圓分成個(gè)扇形，涂色方法有種，若假設(shè)第個(gè)扇形與第個(gè)扇形不相鄰，如下圖所示：則為第個(gè)扇形涂色，有種方法，為第個(gè)扇形涂色，有種方法，為第個(gè)扇形涂色，有種方法，…，為第個(gè)扇形涂色，有種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，涂色方法共有種，其中，包括了第個(gè)扇形與第個(gè)扇形顏色不同的方法種，與第個(gè)扇形與第個(gè)扇形顏色相同的方法種，即，而第個(gè)扇形與第個(gè)扇形顏色相同的涂色方法種，可以看作將第個(gè)扇形與第個(gè)扇形合并為一個(gè)扇形，如下圖所示：即個(gè)扇形的涂色方法（為使?jié)M足題意，需使，即），綜上所述，（），∴與的遞推關(guān)系是（）.故〖答案〗為：（）.四、解答題：（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.從下列條件中選擇一個(gè)條件補(bǔ)充到題目中：①，其中為的面積，②，③．在中，角，，對(duì)應(yīng)邊分別為，，，_______________．（1）求角；（2）若為邊的中點(diǎn)，，求的最大值．解：（1）選①，由余弦定理得：，又，所以，得，因?yàn)?，所以．選②，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，整理得：，由余弦定理得：，因?yàn)椋裕x③，因?yàn)?，由正弦定理得：，即，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．?）在中，設(shè)，由正弦定理得，所以，，∴，其中，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是．18.如圖，平面五邊形中，△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，∵△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴，，故翻折后有，又，則，，，所以△△，即，則，由，、平面，故平面，∵，則，∴平面，又平面，∴．（2）解：在面內(nèi)作，交于，由平面，平面，所以，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，四邊形為矩形，在△中，，由余弦定理得，故，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．19.在正項(xiàng)數(shù)列中，，．（1）求；（2）證明：．（1）解：由，得，令，則，且，∴為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，又，∴．（2）證明：．20.國(guó)學(xué)小組有編號(hào)為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題，每人答對(duì)第一題的概率為、答對(duì)第二題的概率為，每個(gè)同學(xué)的答題過程都是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題，若該生答對(duì)第二題，則比賽在第輪結(jié)棗；若該生未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第輪，則不管第號(hào)同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束．（1）令隨機(jī)變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列；（2）若把比賽規(guī)則③改為：若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，第號(hào)同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束．①求隨機(jī)變量的分布列；②證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且小于3．（1）解：由題設(shè)，可取值為1，2，3，，，，因此的分布列為123（2）①解：可取值為1，2，…，，每位同學(xué)兩題都答對(duì)的概率為，則答題失敗的概率均為：，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的分布列為：123……②證明：由①知：（，）．，故單調(diào)遞增；由上得，故，∴，故．21.已知雙曲線上的所有點(diǎn)構(gòu)成集合和集合，坐標(biāo)平面內(nèi)任意點(diǎn)，直線稱為點(diǎn)關(guān)于雙曲線的“相關(guān)直線”．（1）若，判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線與雙曲線的一支有2個(gè)交點(diǎn)，求證：；（3）若點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，直線交雙曲線于，，求證：．（1）解：直線與雙曲線相切．理由如下：聯(lián)立方程組，∴①，∵，∴，即，代入①得，，∴，∴直線與雙曲線相切．（2）解：由（1）知，∵直線與雙曲線的一支有2個(gè)交點(diǎn)，則，∴，∴，∵，∴，∴．（3）證明：設(shè)，，設(shè)，，∵，∴，則，代入雙曲線，利用在上，即，整理得，同理得關(guān)于的方程．即、是的兩根，∴，∴．22.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明函數(shù)在處取得極值；（2）證明在每一個(gè)區(qū)間都有唯一零點(diǎn)．（1）解：∵，∴．∵，∴，即．∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，令，∵，即在單調(diào)遞減，∴，∴，所以函數(shù)在處取得極大值.（2）解：由，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴，∴在區(qū)間單調(diào)遞減，又∵，，∴在每一個(gè)區(qū)間有唯一零點(diǎn)，故在每一個(gè)區(qū)間有唯一零點(diǎn).吉林省長(zhǎng)春市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a＝（）A.-3 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，即，所以.故選：A.2.如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由韋恩圖可知，，因?yàn)?，，則，，因此，.故選：D.3.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.16〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，而，又，所以.故選：B4.如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗正方體中，，所以與所成的角即異面直線與所成的角，因?yàn)闉檎切危耘c所成的角為，所以異面直線與所成的角為.故選：C.5.已知等比數(shù)列的公比為（且），若，則的值為（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗已知等比數(shù)列的公比為（且），若，則，所以，解得.故選：C.6.已知函數(shù)，（）的圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，畫出的圖象，要想圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則，解得.故選：A7.已知對(duì)于每一對(duì)正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿足：，若，則滿足的的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗A〖解析〗令且均屬于，則，所以，故，又，故在上恒成立，且在上單調(diào)遞增，所以，滿足僅有，即僅有1個(gè).故選：A8.已知點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿軸折成的二面角，使點(diǎn)翻折至，則兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圓的方程知：圓的半徑為；當(dāng)與位于同一半圓時(shí)，作出該半圓所在的平面圖如下圖所示，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），當(dāng)位于圖中處時(shí)，取得最小值；又當(dāng)位于圖中處時(shí)，取得最大值；當(dāng)與分別在兩個(gè)半平面中時(shí)，作平面，垂足為，作軸，垂足為，連接，則三點(diǎn)共線，設(shè)為延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則即為翻折后的二面角的平面角，，，，，，；為圓右半圓上的點(diǎn)，可設(shè)，，，（其中，），，當(dāng)，即時(shí)，，則；又，，即；綜上所述：兩點(diǎn)間的距離的取值范圍為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.在中，若，則下列論斷正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，因，所以，所以，不一定為1，A錯(cuò)；因?yàn)?，，∴，從而有，所以B正確，又，所以也不一定等于1，C錯(cuò)；而，D正確；故選：BD10.閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是（）A.直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B.若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C.若四面體在點(diǎn)處離散曲率為，則平面D.若直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則與平面的夾角為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)直四棱柱的底面為正方形時(shí)，其在各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等，當(dāng)直四棱柱的底面不為正方形時(shí)，其在同一底面且相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則菱形為正方形，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，故B正確；對(duì)于C，在四面體中，，，，所以，所以四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面，故C正確，對(duì)于D,直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為,則,即是等邊三角形,設(shè),則即為與平面的所成角,,故D錯(cuò)誤;故選：BC.11.定義在上的函數(shù)，則（）A.存在唯一實(shí)數(shù)，使函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為單調(diào)函數(shù)C.任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在最小值D.任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在兩條過原點(diǎn)的切線〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，若函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則恒成立所以且，所以，解得，且當(dāng)時(shí)，，則所以存在唯一實(shí)數(shù)，使函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，，則，所以函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，由于，又令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，故存在唯一的零點(diǎn)，使得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在最小值，故C正確；對(duì)于D，由于，設(shè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以切線方程為，當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)，有整理得，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)根，故D正確.故選：ACD.12.已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，，使得B.當(dāng)時(shí)，，使C.當(dāng)時(shí)，，使得D.當(dāng)時(shí)，，〖答案〗BC〖解析〗在橢圓中，，，，由題意可得，上焦點(diǎn)記為，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由題意可得，兩式作差可得，因?yàn)橹本€的斜率存在，則，所以，，整理可得，又因?yàn)?，消去可得，其中，所以，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，，，同理，所以，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，使得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由B選項(xiàng)可知，，即，即，由可得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，而點(diǎn)到直線的距離為，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取最小值，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，故〖答案〗為?4.已知單位向量，的夾角為60°，若，則記作．已知向量，，則___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)樗?，故〖答案〗為?5.早在一千多年之前，我國(guó)已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對(duì)橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個(gè)溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個(gè)溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為_________，溢流孔與橋拱交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)橋拱所在拋物線方程，由圖可知，曲線經(jīng)過，代入方程，解得：，所以橋拱所在拋物線方程；四個(gè)溢流孔輪廓線相同，所以從右往左看，設(shè)第一個(gè)拋物線，由圖拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以，點(diǎn)即橋拱所在拋物線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)由，解得：所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.故〖答案〗為：；16.將圓分成個(gè)扇形，每個(gè)扇形用紅、黃、藍(lán)、橙四色之一涂色，要求相鄰扇形不同色，設(shè)這n個(gè)扇形的涂色方法為種，則與的遞推關(guān)系是______．〖答案〗（）〖解析〗如圖所示，由題意，將圓分成個(gè)扇形，涂色方法有種，若假設(shè)第個(gè)扇形與第個(gè)扇形不相鄰，如下圖所示：則為第個(gè)扇形涂色，有種方法，為第個(gè)扇形涂色，有種方法，為第個(gè)扇形涂色，有種方法，…，為第個(gè)扇形涂色，有種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，涂色方法共有種，其中，包括了第個(gè)扇形與第個(gè)扇形顏色不同的方法種，與第個(gè)扇形與第個(gè)扇形顏色相同的方法種，即，而第個(gè)扇形與第個(gè)扇形顏色相同的涂色方法種，可以看作將第個(gè)扇形與第個(gè)扇形合并為一個(gè)扇形，如下圖所示：即個(gè)扇形的涂色方法（為使?jié)M足題意，需使，即），綜上所述，（），∴與的遞推關(guān)系是（）.故〖答案〗為：（）.四、解答題：（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.從下列條件中選擇一個(gè)條件補(bǔ)充到題目中：①，其中為的面積，②，③．在中，角，，對(duì)應(yīng)邊分別為，，，_______________．（1）求角；（2）若為邊的中點(diǎn)，，求的最大值．解：（1）選①，由余弦定理得：，又，所以，得，因?yàn)椋裕x②，因?yàn)?，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以．選③，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，即，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．?）在中，設(shè)，由正弦定理得，所以，，∴，其中，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是．18.如圖，平面五邊形中，△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，∵△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴，，故翻折后有，又，則，，，所以△△，即，則，由，、平面，故平面，∵，則，∴平面，又平面，∴．（2）解：在面內(nèi)作，交于，由平面，平面，所以，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，四邊形為矩形，在△中，，由余弦定理得，故，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．19.在正項(xiàng)數(shù)列中，，．（1）求；（2）證明：．（1）解：由，得，令，則，且，∴為首項(xiàng)為1，公差為1的等差