2023屆江西省五市九校協(xié)作體高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)，由，推出，則，于是可看成以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，，意為A到的距離，距離最大值為3，所以.故選：D.3.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，它是一種繞一個(gè)支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，種類(lèi)很多，其中有一種金屬陀螺（如圖），它的形狀可以認(rèn)為是上半部分為圓柱，下半部分為倒置的圓錐；現(xiàn)知尖底長(zhǎng)為3，柱體與錐體部分高之比，底周長(zhǎng)為，則陀螺的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由底周長(zhǎng)為，可得底面半徑，又現(xiàn)知尖底長(zhǎng)為3，柱體與錐體部分高之比，得圓柱的高即母線長(zhǎng)為，圓錐的高為，圓錐的母線長(zhǎng)為，則陀螺的表面積為：；故選：D.4.袋中有大小相同黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取3次，則是下列哪個(gè)是事件的概率？（）A.顏色全相同 B.顏色不全相同C.顏色全不相同 D.無(wú)紅球〖答案〗B〖解析〗有放回地取球3次，共27種可能結(jié)果，其中顏色相同的結(jié)果有3種，其概率為＝；顏色不全同的結(jié)果有24種，其概率為＝；顏色全不同的結(jié)果有6種，其概率為；無(wú)紅球的結(jié)果有8種，其概率為.故選B.5.已知三個(gè)數(shù)，則它們之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，即，又因?yàn)?，故；所以，故選：B.6.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)y軸反射后與圓相交，則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，由題意可設(shè)入射光線PQ的方程為，令，則，可得.則反射光線QA的方程為.則，解得.入射光線所在直線的斜率的取值范圍為.故選：C.7.已知是第三象限的角，且，那么的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴，∵，∴，∵角是第三象限角即，∴，∴，故選A．8.在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中得到如下列聯(lián)表：A1A2總計(jì)B12008001000B2180a180＋a總計(jì)380800＋a1180＋a若這兩個(gè)分類(lèi)變量A和B沒(méi)有關(guān)系，則a的可能值是（）A.200 B.720C.100 D.180〖答案〗B〖解析〗當(dāng)a＝720時(shí)，，易知此時(shí)兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系．故選：B.9.某大學(xué)開(kāi)設(shè)選修課，要求學(xué)生根據(jù)自己的專(zhuān)業(yè)方向以及自身興趣從個(gè)科目中選擇個(gè)科目進(jìn)行研修，已知某班級(jí)名學(xué)生對(duì)科目的選擇如下所示，則、的一組值可以是（）科目國(guó)際金融統(tǒng)計(jì)學(xué)市場(chǎng)管理二戰(zhàn)歷史市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)會(huì)計(jì)學(xué)人數(shù)A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗依題意，，故，觀察可知，故選：D．10.等比數(shù)列{}中，．記，則數(shù)列{}（）A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列為q，則等比數(shù)列的公比，所以，則其通項(xiàng)公式為：，所以，令，所以當(dāng)或時(shí)，t有最大值，無(wú)最小值，即有最大值，無(wú)最小值，結(jié)合前面，當(dāng)為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有最大項(xiàng).故選：A.11.已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，過(guò)內(nèi)切圓圓心作三邊的垂線，垂足分別為，，，因?yàn)椋寓?，因?yàn)閳A為直角三角形的內(nèi)切圓，所以圓的半徑②，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與軸相切，所以，又③，聯(lián)立②③得，，然后代入①式中得，即，解得或（舍去）.故選：C.12.宋神宗熙寧九年文學(xué)家蘇軾在《水調(diào)歌頭·明月幾時(shí)有》中有一名句“月有陰晴圓缺”表達(dá)了他超脫的胸懷。而球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺的體積公式，其中為球的半徑，為球缺的高．現(xiàn)有一球與一棱長(zhǎng)為的正方體的各棱均相切，若往該正方體內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)不在球內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，球與棱長(zhǎng)為的正方體的各棱均相切，故球的半徑，球缺的高為，球缺體積為，所以正方體與球的公共部分的體積為球的體積去掉個(gè)球缺的體積，故其體積為，又正方體的體積，若往該正方體內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)不在球內(nèi)部的概率．故選：B．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設(shè)，滿足約束條件則的最小值為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗畫(huà)出可行域如下圖：由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值．故〖答案〗為：．14.已知向量與的夾角為，，，則________________.〖答案〗4〖解析〗向量與的夾角為，，則，.所以，則（舍去）或.15.已知，，若對(duì)，，使得，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗依題意可知?jiǎng)t，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以在上單調(diào)遞增，則所以，所以，即的最小值為故〖答案〗為：16.如圖，有一列曲線，，，…已知所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，是對(duì)進(jìn)行如下操作得到：將的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（，1，2，…）。記為曲線所圍成圖形的面積。則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圖形的邊長(zhǎng)為，由題意可知，，邊數(shù)是3；根據(jù)圖形規(guī)律，圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為每一條邊都擴(kuò)大4倍，即；圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為；以此類(lèi)推，圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為；圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為；而根據(jù)圖形規(guī)律可知曲線所圍成圖形的面積等于曲線所圍成的面積加上每一條邊增加的小等邊三角形的面積，每一個(gè)邊增加的小等邊三角形面積為，則，整理后得，又圖形的面積，由累加法可知，，，……，，得，故〖答案〗為：三、解答題共70分解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（一）必考題（17~21題5小題，共60分）17.在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，，求面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?再由余弦定理得，又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)閍=3，，代入得,解得.故△ABC的面積.18.江西省作為全國(guó)第四批啟動(dòng)高考綜合改革的7個(gè)省份之一，從2021年秋季學(xué)期起啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“”模式。“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)：“1”指考生從物理、歷史兩門(mén)學(xué)科中“首選”一門(mén)學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)：“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生物四門(mén)學(xué)科中“再選”兩門(mén)學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī)．按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級(jí)ABCDE人數(shù)比例15%35%35%13%2%賦分區(qū)間將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為時(shí)，等級(jí)分為，計(jì)算結(jié)果四舍五入取整．某次化學(xué)考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：（1）同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求實(shí)數(shù)a的值并估計(jì)本次考試的平均分；（2）按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間；（3）用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績(jī)的原始分為90，試計(jì)算其等級(jí)分．解：（1）由頻率分布直方圖可知，頻率之和為1，得，解得，估計(jì)本次考試的平均分為．（2）根據(jù)等級(jí)所占的人數(shù)比例為，由頻率分布直方圖知，原始分成績(jī)位于區(qū)間的占比為5%，位于區(qū)間的占比為20%，所以最低原始分在之間，設(shè)最低原始分為，則，解得，所以估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間為．（3）由題意可知，化學(xué)成績(jī)的原始分為90分，落在A等級(jí)中，則，，，，，代入公式后，解得，該學(xué)生的等級(jí)分為91分．19.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，底面，，直線與平面所成角的正弦值為，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的正切值；（2）求三棱錐外接球的體積．（1）解：因?yàn)榈酌?，所以為直線與平面所成的角．因?yàn)?，即，所以，從而．又，，所以，所以．取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且．又是棱的中點(diǎn)，所以，且，從而即為異面直線與所成的角．因?yàn)榈酌妫缘酌?，底面，所以，于是．即異面直線與所成角的正切值為.（2）解：在中，，所以三棱錐的外接球即為以、、為三條鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球．設(shè)半徑為，則，所以球的體積．20.設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).（1）若，，求的值；（2）若，，且和的零點(diǎn)均在集合中，求的極小值.解：（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解?（2）因?yàn)?，所以，從?令，得或.因?yàn)?，，都在集合中，且，所以，?此時(shí)，.令，得或.列表如下：-31+0-0+極大值極小值所以的極小值為.21.如圖，已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，過(guò)，分別向，作垂線，垂足分別為，，，.（1）證明：為定值；（2）記和的面積分別為，，求的取值范圍.（1）證明：設(shè)由得（2）解：設(shè)，過(guò)的切線方程為：，，由可得，即，設(shè)，斜率分別為，，則，由（1）知：，，∴.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGamesHangzhou2022），簡(jiǎn)稱(chēng)“杭州2022年亞運(yùn)會(huì)”，將在中國(guó)浙江杭州舉行，原定于2022年9月10日至25日舉辦；2022年7月19日亞洲奧林匹克理事會(huì)宣布將于2023年9月23日至10月8日舉辦，賽事名稱(chēng)和標(biāo)識(shí)保持不變。某高中體育愛(ài)好者為紀(jì)念在我國(guó)舉辦的第三次亞運(yùn)會(huì)，借四葉草具有幸福幸運(yùn)的象征意義，準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一枚四葉草徽章捐獻(xiàn)給亞運(yùn)會(huì)。如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，方程表示的圖形為“四葉草”對(duì)應(yīng)的曲線C．（1）設(shè)直線l：與C交于異于O的兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)P和Q是C上的兩點(diǎn)，且，求的最大值．解：（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為、，則，，因此，；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)、，∵，則，所以當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，．23.已知設(shè)函數(shù)（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：．（1）解：，不等式，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴不等式的解集為（2）證明：∵，∴∴.江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)，由，推出，則，于是可看成以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，，意為A到的距離，距離最大值為3，所以.故選：D.3.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，它是一種繞一個(gè)支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，種類(lèi)很多，其中有一種金屬陀螺（如圖），它的形狀可以認(rèn)為是上半部分為圓柱，下半部分為倒置的圓錐；現(xiàn)知尖底長(zhǎng)為3，柱體與錐體部分高之比，底周長(zhǎng)為，則陀螺的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由底周長(zhǎng)為，可得底面半徑，又現(xiàn)知尖底長(zhǎng)為3，柱體與錐體部分高之比，得圓柱的高即母線長(zhǎng)為，圓錐的高為，圓錐的母線長(zhǎng)為，則陀螺的表面積為：；故選：D.4.袋中有大小相同黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取3次，則是下列哪個(gè)是事件的概率？（）A.顏色全相同 B.顏色不全相同C.顏色全不相同 D.無(wú)紅球〖答案〗B〖解析〗有放回地取球3次，共27種可能結(jié)果，其中顏色相同的結(jié)果有3種，其概率為＝；顏色不全同的結(jié)果有24種，其概率為＝；顏色全不同的結(jié)果有6種，其概率為；無(wú)紅球的結(jié)果有8種，其概率為.故選B.5.已知三個(gè)數(shù)，則它們之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，即，又因?yàn)椋?；所以，故選：B.6.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)y軸反射后與圓相交，則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，由題意可設(shè)入射光線PQ的方程為，令，則，可得.則反射光線QA的方程為.則，解得.入射光線所在直線的斜率的取值范圍為.故選：C.7.已知是第三象限的角，且，那么的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴，∵，∴，∵角是第三象限角即，∴，∴，故選A．8.在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中得到如下列聯(lián)表：A1A2總計(jì)B12008001000B2180a180＋a總計(jì)380800＋a1180＋a若這兩個(gè)分類(lèi)變量A和B沒(méi)有關(guān)系，則a的可能值是（）A.200 B.720C.100 D.180〖答案〗B〖解析〗當(dāng)a＝720時(shí)，，易知此時(shí)兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系．故選：B.9.某大學(xué)開(kāi)設(shè)選修課，要求學(xué)生根據(jù)自己的專(zhuān)業(yè)方向以及自身興趣從個(gè)科目中選擇個(gè)科目進(jìn)行研修，已知某班級(jí)名學(xué)生對(duì)科目的選擇如下所示，則、的一組值可以是（）科目國(guó)際金融統(tǒng)計(jì)學(xué)市場(chǎng)管理二戰(zhàn)歷史市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)會(huì)計(jì)學(xué)人數(shù)A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗依題意，，故，觀察可知，故選：D．10.等比數(shù)列{}中，．記，則數(shù)列{}（）A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列為q，則等比數(shù)列的公比，所以，則其通項(xiàng)公式為：，所以，令，所以當(dāng)或時(shí)，t有最大值，無(wú)最小值，即有最大值，無(wú)最小值，結(jié)合前面，當(dāng)為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有最大項(xiàng).故選：A.11.已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，過(guò)內(nèi)切圓圓心作三邊的垂線，垂足分別為，，，因?yàn)?，所以①，因?yàn)閳A為直角三角形的內(nèi)切圓，所以圓的半徑②，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與軸相切，所以，又③，聯(lián)立②③得，，然后代入①式中得，即，解得或（舍去）.故選：C.12.宋神宗熙寧九年文學(xué)家蘇軾在《水調(diào)歌頭·明月幾時(shí)有》中有一名句“月有陰晴圓缺”表達(dá)了他超脫的胸懷。而球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺的體積公式，其中為球的半徑，為球缺的高．現(xiàn)有一球與一棱長(zhǎng)為的正方體的各棱均相切，若往該正方體內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)不在球內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，球與棱長(zhǎng)為的正方體的各棱均相切，故球的半徑，球缺的高為，球缺體積為，所以正方體與球的公共部分的體積為球的體積去掉個(gè)球缺的體積，故其體積為，又正方體的體積，若往該正方體內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)不在球內(nèi)部的概率．故選：B．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設(shè)，滿足約束條件則的最小值為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗畫(huà)出可行域如下圖：由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值．故〖答案〗為：．14.已知向量與的夾角為，，，則________________.〖答案〗4〖解析〗向量與的夾角為，，則，.所以，則（舍去）或.15.已知，，若對(duì)，，使得，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗依題意可知?jiǎng)t，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以在上單調(diào)遞增，則所以，所以，即的最小值為故〖答案〗為：16.如圖，有一列曲線，，，…已知所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，是對(duì)進(jìn)行如下操作得到：將的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（，1，2，…）。記為曲線所圍成圖形的面積。則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圖形的邊長(zhǎng)為，由題意可知，，邊數(shù)是3；根據(jù)圖形規(guī)律，圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為每一條邊都擴(kuò)大4倍，即；圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為；以此類(lèi)推，圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為；圖形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為；而根據(jù)圖形規(guī)律可知曲線所圍成圖形的面積等于曲線所圍成的面積加上每一條邊增加的小等邊三角形的面積，每一個(gè)邊增加的小等邊三角形面積為，則，整理后得，又圖形的面積，由累加法可知，，，……，，得，故〖答案〗為：三、解答題共70分解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（一）必考題（17~21題5小題，共60分）17.在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，，求面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?再由余弦定理得，又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)閍=3，，代入得,解得.故△ABC的面積.18.江西省作為全國(guó)第四批啟動(dòng)高考綜合改革的7個(gè)省份之一，從2021年秋季學(xué)期起啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“”模式。“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)：“1”指考生從物理、歷史兩門(mén)學(xué)科中“首選”一門(mén)學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)：“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生物四門(mén)學(xué)科中“再選”兩門(mén)學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī)．按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級(jí)ABCDE人數(shù)比例15%35%35%13%2%賦分區(qū)間將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為時(shí)，等級(jí)分為，計(jì)算結(jié)果四舍五入取整．某次化學(xué)考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：（1）同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求實(shí)數(shù)a的值并估計(jì)本次考試的平均分；（2）按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間；（3）用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績(jī)的原始分為90，試計(jì)算其等級(jí)分．解：（1）由頻率分布直方圖可知，頻率之和為1，得，解得，估計(jì)本次考試的平均分為．（2）根據(jù)等級(jí)所占的人數(shù)比例為，由頻率分布直方圖知，原始分成績(jī)位于區(qū)間的占比為5%，位于區(qū)間的占比為20%，所以最低原始分在之間，設(shè)最低原始分為，則，解得，所以估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間為．（3）由題意可知，化學(xué)成績(jī)的原始分為90分，落在A等級(jí)中，則，，，，，代入公式后，解得，該學(xué)生的等級(jí)分為91分．19.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，底面，，直線與平面所成角的正弦值為，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的正切值；（2）求三棱錐外接球的體積．（1）解：因?yàn)榈酌?，所以為直線與平面所成的角．因?yàn)?，即，所以，?/p>