廣安市2021年中考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2021中考備戰(zhàn)年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上

的相應(yīng)位置，本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。）

1.（3.00分）-3的倒數(shù)是（）

A.3B.1C.-LD.-3

33

2.（3.00分）下列運(yùn)算正確的（）

A.（b2）3=b5B.x34-x3=xC.5y3*3y2=15y5D.a+a2=a3

3.（3.00分）近年來，國家重視精準(zhǔn)扶貧，收效顯著.據(jù)統(tǒng)計(jì)約有65000000

人脫貧，把65000000用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是（）

A.0.65X108B.6.5X107C.6.5X108D.65X106

4.（3.00分）下列圖形中，主視圖為①的是（）

圖①

5.（3.00分）下列說法正確的是（）

A.為了解我國中學(xué)生課外閱讀的情況，應(yīng)采取全面調(diào)查的方式

B.一組數(shù)據(jù)1、2、5、5、5、3、3的中位數(shù)和眾數(shù)都是5

C.投擲一枚硬幣100次，一定有50次"正面朝上"

D.若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.03,乙組數(shù)據(jù)的方差是0.1,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)

穩(wěn)定

6.（3.00分）已知點(diǎn)P（1-a,2a+6）在第四象限，則a的取值范圍是（）

A.a<-3B.-3<a<lC.a>-3D.a>l

7.（3.00分）拋物線y=（x-2）2-1可以由拋物線y=x?平移而得到，下列平移

正確的是（）

A.先向左平移2個(gè)單位長度，然后向上平移1個(gè)單位長度

B.先向左平移2個(gè)單位長度，然后向下平移1個(gè)單位長度

C.先向右平移2個(gè)單位長度，然后向上平移1個(gè)單位長度

D.先向右平移2個(gè)單位長度，然后向下平移1個(gè)單位長度

8.（3.00分）下列命題中：

①如果a>b,那么a2>b2

②一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

③從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等

④關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+l=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是aWl

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.（3.00分）如圖，已知。。的半徑是2,點(diǎn)A、B、C在。0上，若四邊形OABC

為菱形，則圖中陰影部分面積為（）

A.—n-2MB.—R-A/3C.—TV-2yD.%-M

3333

10.（3.00分）已知點(diǎn)P為某個(gè)封閉圖形邊界上的一定點(diǎn)，動點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā),

沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動一周，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時(shí)間為X,線段PM的長度為y,

表示y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）

A.pB.C.PD.

二、填空題（請把最簡單答案填在答題卡相應(yīng)位置。本大題共6個(gè)小題，每小

題3分，共18分）

11.（3.00分）要使^/就有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

12.（3.00分）一個(gè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于108。，那么n=.

13.（3.00分）一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A,CD

平行于地面AE,若NBCD=150。，則NABC=度.

D

F.

14.（3.00分）如圖，ZAOE=ZBOE=15°,EF〃OB,EC1OB于C,若EC=1,則

0F=.

15.（3,00分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=l,

則下列結(jié)論正確的有.

①abc>0

②方程2的兩個(gè)根是

ax+bx+c=0xi=-1,X2=3

③2a+b=0

④當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小

16.（3.00分）為了從2021中考備戰(zhàn)枚外形相同的金蛋中找出唯一的有獎(jiǎng)金蛋，

檢查員將這些金蛋按1-2021中考備戰(zhàn)的順序進(jìn)行標(biāo)號.第一次先取出編號為單

數(shù)的金蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有有獎(jiǎng)金蛋，他將剩下的金蛋在原來的位置上又按1-

1009編了號（即原來的2號變?yōu)?號，原來的4號變?yōu)?號......原來的2021中

考備戰(zhàn)號變?yōu)?009號），又從中取出新的編號為單數(shù)的金蛋進(jìn)行檢驗(yàn)，仍沒有發(fā)

現(xiàn)有獎(jiǎng)金蛋……如此下去，檢查到最后一枚金蛋才是有獎(jiǎng)金蛋，問這枚有獎(jiǎng)金蛋

最初的編號是.

三、簡答題（本大題共4個(gè)小題，第17題5分，第18、19、20小題各6分，

共23分）

17.（5.00分）計(jì)算：（1）-2+lV3-2|-V12+6COS30O+（n-3.14）°.

3

18.（6.00分）先化簡，再求值：-2-4-（a-1-2azL）,并從-1,0,1,2四

a+1a+1

個(gè)數(shù)中，選一個(gè)合適的數(shù)代入求值

19.（6.00分）如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點(diǎn)，連接AM,延長

AD至點(diǎn)E,使得AE=AM,過點(diǎn)E作EF，AM,垂足為F,求證：AB=EF.

分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)

20.（6.00yi=ax+b（a#0）y2=^（k

X

為常數(shù)，kWO）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC_Lx軸，垂足為C,連接OA,

已知OC=2,tanZAOC=XB（m,-2）

2

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)yi>y2時(shí)，x的取值范圍.

四、實(shí)踐應(yīng)用題（本大題共4個(gè)小題，第21題6分，第22、23、24題各8分,

共30分）

21.（6Q。分）某校為了了解了解節(jié)能減排、垃圾分類等知識的普及情況，從該

校2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為"非常了解"、

"了解"、"了解較少"、"不了解"四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有人，估計(jì)該校2000名學(xué)生中"不了解"的人數(shù)

約有人.

（2）"非常了解”的4人中有Ai，A2兩名男生，Bi，B2兩名女生，若從中隨機(jī)抽

取兩人去參加環(huán)保知識競賽，請用畫樹狀圖和列表的方法，求恰好抽到2名男生

的概率.

22.（8.00分）某車行去年A型車的銷售總額為6萬元，今年每輛車的售價(jià)比去

年減少400元.若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少20%.

（1）求今年A型車每輛車的售價(jià).

（2）該車行計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和B型車共45輛，已知A、B型車的進(jìn)貨價(jià)格

分別是1100元，1400元，今年B型車的銷售價(jià)格是2000元，要求B型車的進(jìn)

貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲得最大利潤，最大

利潤是多少？

23.（8.00分）據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.小強(qiáng)用所學(xué)

知識對一條筆直公路上的車輛進(jìn)行測速，如圖所示，觀測點(diǎn)C到公路的距離

CD=200m,檢測路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60。方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的

南偏東45。方向上.一輛轎車由東向西勻速行駛，測得此車由A處行駛到B處的

時(shí)間為10s.問此車是否超過了該路段16m/s的限制速度？（觀測點(diǎn)C離地面的

距離忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：血心1.41,73^1.73）

24.（8.00分）下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正

方形的邊長都是1，請?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必

須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合，具體要求如下：

（1）畫一個(gè)直角邊長為4,面積為6的直角三角形.

（2）畫一個(gè)底邊長為4,面積為8的等腰三角形.

（3）畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形.

（4）畫一個(gè)邊長為2加，面積為6的等腰三角形.

五、推理論證題（9分）

25.（9.00分）如圖，已知AB是。。的直徑，P是BA延長線上一點(diǎn)，PC切。0

于點(diǎn)C,CG是◎。的弦，CG±AB,垂足為D.

（1）求證：ZPCA=ZABC.

（2）過點(diǎn)A作AE〃PC交。0于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若cosZP=A,CF=10,

5

求BE的長

六、拓展探索題（10分）

26.（10.00分）如圖，拋物線y=/x2+bx+c與直線y=*x+3交于A,B兩點(diǎn)，交x

軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC,已知A（0,3）,C（-3,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸I上找一點(diǎn)M,使|MB-MD|的值最大，并求出這個(gè)最大

值；

（3）點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接PA,過點(diǎn)P作PQJ_PA交y軸于點(diǎn)

Q,問：是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？若存在，

請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2021中考備戰(zhàn)年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上

的相應(yīng)位置，本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。）

1.（3.00分）-3的倒數(shù)是（）

A.3B.1C.-1.D.-3

33

【分析】利用倒數(shù)的定義，直接得出結(jié)果.

【解答】解：???-3X（-1）=1,

3

二-3的倒數(shù)是-1.

3

故選：C.

【點(diǎn)評】主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握.需要注意的是負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)

數(shù).

倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

2.（3.00分）下列運(yùn)算正確的（）

A.（b2）3=b5B.x34-x3=xC.5y3*3y2=15y5D.a+a2=a3

【分析】直接利用塞的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)累的除法運(yùn)算法則、單項(xiàng)式乘以

單項(xiàng)式和合并同類項(xiàng)法則.

【解答】解:A、（b2）3=b6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、x34-x3=l,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、5y3*3y2=15ys,正確；

D^a+a2,無法計(jì)算,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了累的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)幕的除法運(yùn)算、單項(xiàng)式乘以單

項(xiàng)式和合并同類項(xiàng)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3.（3.00分）近年來，國家重視精準(zhǔn)扶貧，收效顯著.據(jù)統(tǒng)計(jì)約有65000000

人脫貧，把65000000用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是（）

A.0.65X108B.6.5X107C.6.5X108D.65X106

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIO11的形式，其中|a|<10,n為整數(shù).確

定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)

移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1

時(shí)，n是負(fù)數(shù).

【解答】解:65000000=6,5X107.

故選:B.

【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXnr的

形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

【分析】主視圖是從物體的正面看得到的圖形，分別寫出每個(gè)選項(xiàng)中的主視圖,

即可得到答案.

【解答】解：A、主視圖是等腰梯形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、主視圖是長方形，故此選項(xiàng)正確；

C、主視圖是等腰梯形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、主視圖是三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了簡單幾何體的主視圖，關(guān)鍵是掌握主視圖所看的位置.

5.（3.00分）下列說法正確的是（）

A.為了解我國中學(xué)生課外閱讀的情況，應(yīng)采取全面調(diào)查的方式

B.一組數(shù)據(jù)1、2、5、5、5、3、3的中位數(shù)和眾數(shù)都是5

C.投擲一枚硬幣100次，一定有50次“正面朝上"

D.若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.03,乙組數(shù)據(jù)的方差是0.1,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)

穩(wěn)定

【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的說法，可以判斷是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：為了解我國中學(xué)生課外閱讀的情況，應(yīng)采取抽樣調(diào)查的方式，故選

項(xiàng)A錯(cuò)誤，

一組數(shù)據(jù)1、2、5、5、5、3、3的中位數(shù)和眾數(shù)分別是3、5,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

投擲一枚硬幣100次，可能有50次"正面朝上"，但不一定有50次“正面朝上"，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.03,乙組數(shù)據(jù)的方差是0.1,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定,

故選項(xiàng)D正確，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，解答本題的關(guān)鍵

是明確它們各自的含義.

6.（3.00分）已知點(diǎn)P（1-a,2a+6）在第四象限，則a的取值范圍是（）

A.a<-3B.-3<a<lC.a>-3D.a>l

【分析】根據(jù)第四象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)列出不等式組求解即

可.

【解答】解：?.?點(diǎn)P（1-a,2a+6）在第四象限，

…2a+6<0，

解得a<-3.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，一元一次不等式組的解法，求不等式組解集的口

訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

7.（3.00分）拋物線y=（x-2）2-1可以由拋物線y=x?平移而得到，下列平移

正確的是（）

A.先向左平移2個(gè)單位長度，然后向上平移1個(gè)單位長度

B.先向左平移2個(gè)單位長度，然后向下平移1個(gè)單位長度

C.先向右平移2個(gè)單位長度，然后向上平移1個(gè)單位長度

D.先向右平移2個(gè)單位長度，然后向下平移1個(gè)單位長度

【分析】拋物線平移問題可以以平移前后兩個(gè)解析式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為基準(zhǔn)研究.

【解答】解：拋物線y=x2頂點(diǎn)為（0,0）,拋物線y=（x-2）2-1的頂點(diǎn)為（2,

-1）,則拋物線y=x2向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線y=（x-

2）2-1的圖象.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象平移問題，解答時(shí)最簡單方法是確定平移前后的

拋物線頂點(diǎn)，從而確定平移方向.

8.（3.00分）下列命題中：

①如果a>b,那么a2>b2

②一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

③從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等

④關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+l=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是aWl

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接利用切線長定理以及平行四邊形的判定和一元二次方程根的判別式

分別判斷得出答案.

【解答】解：①如果a>b,那么a2>b2,錯(cuò)誤；

②一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤；

③從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，正確；

④關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+l=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是aWl且aWO,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了命題與定理，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.（3.00分）如圖，已知。。的半徑是2,點(diǎn)A、B、C在。。上，若四邊形OABC

為菱形，則圖中陰影部分面積為（）

A.An-2J3B.AR-J3C.An-2-J3D.An-J3

3333

【分析】連接OB和AC交于點(diǎn)D,根據(jù)菱形及直角三角形的性質(zhì)先求出AC的長

及/AOC的度數(shù)，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面積，則由S菱形ABCO-S扇膨

AOC可得答案.

【解答】解：連接0B和AC交于點(diǎn)D,如圖所示：

?.?圓的半徑為2,

.*.OB=OA=OC=2,

又四邊形OABC是菱形，

.,.OB±AC,OD=1OB=1,

2

在RtZ\COD中禾I」用勾股定理可矢口：CD=422T2=如,AC=2CD=2?,

,.,sin/COD@=?

0C2

.,.ZCOD=60°,ZAOC=2ZCOD=120",

s菱形ABCO=1OBXAC=1X2X2唇2M,

22

c.?,120'n?22_4K

、扇形AOC--------------------，

3603

則圖中陰影部分面積為S菱形ABCO-S扇形AOC=-2在，

3

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算及菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形的面

積=Z?b（a、b是兩條對角線的長度）；扇形的面積=電￡,有一定的難度.

2360

10.（3.00分）已知點(diǎn)P為某個(gè)封閉圖形邊界上的一定點(diǎn)，動點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā),

沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動一周，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時(shí)間為X,線段PM的長度為y,

表示y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）

【分析】先觀察圖象得到y(tǒng)與x的函數(shù)圖象分三個(gè)部分，則可對有4邊的封閉圖

形進(jìn)行淘汰，利用圓的定義，P點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，PM總上等于半徑，則可對D

進(jìn)行判斷，從而得到正確選項(xiàng).

【解答】解：y與x的函數(shù)圖象分三個(gè)部分，而B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中的封閉圖形都

有4條線段，其圖象要分四個(gè)部分，所以B、C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)中的封閉圖

形為圓，y為定中，所以D選項(xiàng)不正確；A選項(xiàng)為三角形，M點(diǎn)在三邊上運(yùn)動對

應(yīng)三段圖象，且M點(diǎn)在P點(diǎn)的對邊上運(yùn)動時(shí)，PM的長有最小值.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)

用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高

分析問題、解決問題的能力.用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會識圖.

二、填空題（請把最簡單答案填在答題卡相應(yīng)位置。本大題共6個(gè)小題，每小

題3分，共18分）

1L（3.00分）要使丁就有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是xN-l.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以得到X-1是非負(fù)數(shù)，由此即可求解.

【解答】解：依題意得

x+lNO,

.*.x2-1.

故答案為：X2-1.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可解

決問題.

12.（3.00分）一個(gè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于108。，那么n=5.

【分析】首先求得外角的度數(shù)，然后利用360度除以外角的度數(shù)即可求得.

【解答】解：外角的度數(shù)是：180°-108°=72°,

貝廿塾二=5,

72

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會根

據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理.

13.（3.00分）一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A,CD

平行于地面AE,若NBCD=150。，則NAB地120度.

D

E

【分析】先過點(diǎn)B作BF〃CD,由CD〃AE,可得CD〃BF〃AE,繼而證得N1+N

BCD=180°,Z2+ZBAE=180°,又由BA垂直于地面AE于A,ZBCD=150°,求得答

案.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BF〃CD,

?.,CD〃AE,

；.CD〃BF〃AE,

AZl+ZBCD=180°,Z2+ZBAE=180°,

VZBCD=150°,ZBAE=90°,

AZ1=30",Z2=90",

Z.ZABC=Z1+Z2=12O°.

故答案為：120.

D

F.

【點(diǎn)評】此題考查了平行線的性質(zhì).注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

14.（3.00分）如圖，ZAOE=ZBOE=15°,EF〃OB,EC±OB于C,若EC=1,則

OF=2

【分析】作EH_LOA于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出EH,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

求出EF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答.

【解答】解：作EH1OA于H,

VZAOE=ZBOE=15°,EC±OB,EH±OA,

，EH=EC=1,ZAOB=30°,

VEF/7OB,

，NEFH=NAOB=30°,ZFEO=ZBOE,

；.EF=2EH=2,ZFEO=ZFOE,

.".OF=EF=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)

到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

15.（3.00分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=l,

則下列結(jié)論正確的有②③.

①abc>0

②方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是xi=-1,X2=3

③2a+b=0

【分析】由函數(shù)圖象可得拋物線開口向下，得到aVO,又對稱軸在y軸右側(cè)，

可得b>0,根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，得到c>0,進(jìn)而得到abc

<0,結(jié)論①錯(cuò)誤；由拋物線與x軸的交點(diǎn)為（3,0）及對稱軸為x=l,利用對

稱性得到拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）,進(jìn)而得到方程ax2+bx+c=0的兩

根分別為-1和3,結(jié)論②正確；由拋物線的對稱軸為x=l,利用對稱軸公式得

到2a+b=0,結(jié)論③正確；由拋物線的對稱軸為直線x=L得到對稱軸右邊y隨x

的增大而減小，對稱軸左邊y隨x的增大而增大，故x大于0小于1時(shí)，y隨x

的增大而增大，結(jié)論④錯(cuò)誤.

【解答】解：???拋物線開口向下，...aVO,

???對稱軸在y軸右側(cè)，，券>0,，b>0,

?.?拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，，c>0,

/.abc<0,故①錯(cuò)誤；

?.?拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）,又對稱軸為直線x=l,

...拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）,

，方程ax2+bx+c=0的兩根是xi=-1,X2=3,故②正確；

???對稱軸為直線x=l,.?.?1,即2a+b=0,故③正確；

2a

由函數(shù)圖象可得：當(dāng)OVxVl時(shí)，y隨x的增大而增大；

當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而減小，故④錯(cuò)誤；

故答案為②③.

【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及拋物線與x軸的交點(diǎn)，二

次函數(shù)y=ax?+bx+c（aWO）,a的符號由拋物線的開口方向決定，c的符號由拋物

線與y軸交點(diǎn)的位置確定，b的符號由a及對稱軸的位置決定，拋物線的增減性

由對稱軸與開口方向共同決定，當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，對稱軸左邊y隨x的增大

而減小，對稱軸右邊y隨x的增大而增大；當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，對稱軸左邊y

隨x的增大而增大，對稱軸右邊y隨x的增大而減小.此外拋物線解析式中y=0

得到一元二次方程的解即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

16.（3.00分）為了從2021中考備戰(zhàn)枚外形相同的金蛋中找出唯一的有獎(jiǎng)金蛋，

檢查員將這些金蛋按1-2021中考備戰(zhàn)的順序進(jìn)行標(biāo)號.第一次先取出編號為單

數(shù)的金蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有有獎(jiǎng)金蛋，他將剩下的金蛋在原來的位置上又按1-

1009編了號（即原來的2號變?yōu)?號，原來的4號變?yōu)?號......原來的2021中

考備戰(zhàn)號變?yōu)?009號），又從中取出新的編號為單數(shù)的金蛋進(jìn)行檢驗(yàn)，仍沒有發(fā)

現(xiàn)有獎(jiǎng)金蛋……如此下去，檢查到最后一枚金蛋才是有獎(jiǎng)金蛋，問這枚有獎(jiǎng)金蛋

最初的編號是1024.

【分析】根據(jù)題意可得每次挑選都是去掉偶數(shù)，進(jìn)而得出需要挑選的總次數(shù)進(jìn)而

得出答案.

【解答】解：???將這些金蛋按1-2021中考備戰(zhàn)的順序進(jìn)行標(biāo)號，第一次先取出

編號為單數(shù)的金蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有有獎(jiǎng)金蛋，

...剩余的數(shù)字都是偶數(shù)，是2的倍數(shù)，；

???他將剩下的金蛋在原來的位置上又按1-1009編了號，

又從中取出新的編號為單數(shù)的金蛋進(jìn)行檢驗(yàn)，仍沒有發(fā)現(xiàn)有獎(jiǎng)金蛋，

,剩余的數(shù)字為4的倍數(shù)，

以此類推：2021中考備戰(zhàn)玲1009今504>252-126-63-31-15玲7玲3fl

共經(jīng)歷10次重新編號，故最后剩余的數(shù)字為：21。=1024.

故答案為：1024.

【點(diǎn)評】此題主要考查了推理與論證，正確得出挑選金蛋的規(guī)律進(jìn)而得出挑選的

次數(shù)是解題關(guān)鍵.

三、簡答題（本大題共4個(gè)小題，第17題5分，第18、19、20小題各6分，

共23分）

17.（5.00分）計(jì)算:（1）-2+|遂-2|-g+6cos30。+（n-3.14）°.

3

【分析】原式利用零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)基法則，絕對值的代數(shù)意義，以及特殊

角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值.

【解答】解：原式=9+2-V3-273+6X2/1+1=12.

2

【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.（6.00分）先化簡，再求值：-2-4-（a-1-壇L）,并從-1,0,1,2四

a+1a+1

個(gè)數(shù)中，選一個(gè)合適的數(shù)代入求值

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再選取是分式有意義的

a的值代入計(jì)算可得.

2

【解答】解：原式=3+（三二L-2）

a+1a+1a+1

二a二名2-20

a+1a+1

=aea+1

a+1a（a-2）

_1

—9

a-2

?「a#-1且aWO且a#2,

??3—1,

則原式=」~=-1.

1-2

【點(diǎn)評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和

運(yùn)算法則及分式有意義的條件.

19.（6.00分）如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點(diǎn)，連接AM,延長

AD至點(diǎn)E,使得AE=AM,過點(diǎn)E作EF^AM,垂足為F,求證：AB=EF.

DE

【分析】根據(jù)AAS證明△ABM^^EFA,可得結(jié)論.

【解答】證明：???四邊形ABCD為正方形，

，NB=90°,AD〃BC,（2分）

，NEAF=NBMA,

VEF1AM,

，NAFE=90°=NB,（4分）

在^ABM和4EFA中，

rZEAF=ZBMA

?"NAFE=/B=90°，

AE二AM

/.△ABM^AEFA（AAS）,（5分）

，AB=EF.（6分）

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形

全等的判定是關(guān)鍵.

20.（6,00分）如圖，一次函數(shù)yi=ax+b（aWO）的圖象與反比例函數(shù)y2=-^（k

X

為常數(shù)，kWO）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC，x軸，垂足為C,連接OA,

已知OC=2,tanNAOC=W,B（m,-2）

2

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)yi>y2時(shí)，x的取值范圍.

【分析】(1)求得A(2,3),把A(2,3)代入丫2=四可得反比例函數(shù)的解析式

X

為y=l,求得B(-3,-2),把A(2,3),B(-3,-2)代入一次函數(shù)yi=ax+b,

X

可得一次函數(shù)的解析式為y=x+l.

(2)由圖可得，當(dāng)門>丫2時(shí)，x的取值范圍為-3VxV0或x>2.

【解答】解：(1)V0C=2,tanZA0C=2,

2

，AC=3,

，A(2,3),

把A(2,3)代入丫2=四可得，k=6,

X

...反比例函數(shù)的解析式為y=0,

x

把B(m,-2)代入反比例函數(shù)，可得m=-3,

AB(-3,-2),

把A(2,3),B(-3,-2)代入一次函數(shù)yi=ax+b,可得

(3=2a+b,

I-2--3a+b

解得卜=1，

Ib=l

,一次函數(shù)的解析式為y=x+l.

(2)由圖可得，當(dāng)yi>y2時(shí)，x的取值范圍為-3<xV0或x>2.

【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用待

定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，知道兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)可以利用解方程組解

決，學(xué)會利用圖象確定自變量取值范圍.

四、實(shí)踐應(yīng)用題(本大題共4個(gè)小題，第21題6分，第22、23、24題各8分,

共30分)

21.(6.00分)某校為了了解了解節(jié)能減排、垃圾分類等知識的普及情況，從該

校2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為"非常了解"、

"了解"、"了解較少"、"不了解"四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)

計(jì)圖，請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題：

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有50人,估計(jì)該校2000名學(xué)生中"不了解"的人數(shù)約

有600人.

（2）"非常了解"的4人中有AI，A2兩名男生，Bi,B2兩名女生，若從中隨機(jī)抽

取兩人去參加環(huán)保知識競賽，請用畫樹狀圖和列表的方法，求恰好抽到2名男生

的概率.

【分析】（1）由"非常了解”的人數(shù)及其所占百分比求得總?cè)藬?shù)，繼而由各了解程

度的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得"不了解"的人數(shù)，用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“不了解"人

數(shù)所占比例可得；

（2）分別用樹狀圖和列表兩種方法表示出所有等可能結(jié)果，從中找到恰好抽到

2名男生的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可得.

【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為4+8%=50人，

則不了解的學(xué)生人數(shù)為50-（4+11+20）=15人，

...估計(jì)該校2000名學(xué)生中"不了解”的人數(shù)約有2OOOX15=6OO人，

50

故答案為:50>600；

（2）畫樹狀圖如下:

Bi

小,

月24及彳1AiA4a4

共有12種可能的結(jié)果，恰好抽到2名男生的結(jié)果有2個(gè),

??.P（恰好抽到2名男生）=2=工

126

列表如下:

Ai

A?BiB2

Ai（A2,Ai）（Bi，Ai）（B2，AI）

（Ai，A）（Bi，A）

A222（B2，A2）

BI（Ai，Bi）（A2，BI）B，BI）

B

2（Ai，B2）（A2,B2）（Bi，B2）

由表可知共有12種可能的結(jié)果，恰好抽到2名男生的結(jié)果有2個(gè)，

，P（恰好抽到2名男生）=2=工

126

【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法、扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖；通過列表法

或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)

目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.

22.（8.00分）某車行去年A型車的銷售總額為6萬元，今年每輛車的售價(jià)比去

年減少400元.若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少20%.

（1）求今年A型車每輛車的售價(jià).

（2）該車行計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和B型車共45輛，已知A、B型車的進(jìn)貨價(jià)格

分別是1100元，1400元，今年B型車的銷售價(jià)格是2000元，要求B型車的進(jìn)

貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲得最大利潤，最大

利潤是多少？

【分析】（1）設(shè)今年A型車每輛售價(jià)為x元，則去年每輛售價(jià)為（x+400）元，

根據(jù)數(shù)量=總價(jià)?單價(jià)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)

論；

（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，銷售利潤為y元，則新進(jìn)B型車（45-a）輛，根

據(jù)銷售利潤=單輛利潤X銷售數(shù)量，即可得出y關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，由B型車

的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之

即可得出a的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

【解答】解：（1）設(shè)今年A型車每輛售價(jià)為x元，則去年每輛售價(jià)為（x+400）

元，

根據(jù)題意得：60000,60000X（1-20%）^

x+400x

解得:x=1600,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是原分式方程的解，

今年A型車每輛車售價(jià)為1600元.

（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，銷售利潤為y元，則新進(jìn)B型車（45-a）輛，

根據(jù)題意得：y=（1600-1100）a+（2000-1400）（45-a）=-100a+27000.

???B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，

，45-aW2a,解得:a215.

；-100<0,

隨a的增大而減小，

.?.當(dāng)a=15時(shí)，y取最大值，最大值=-100X15+27000=25500,此時(shí)45-a=30.

答：購進(jìn)15輛A型車、30輛B型車時(shí)銷售利潤最大，最大利潤是25500元.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）利用一次函數(shù)

的性質(zhì)求出最大利潤.

23.（8.00分）據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.小強(qiáng)用所學(xué)

知識對一條筆直公路上的車輛進(jìn)行測速，如圖所示，觀測點(diǎn)C到公路的距離

CD=200m,檢測路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60。方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的

南偏東45。方向上.一輛轎車由東向西勻速行駛，測得此車由A處行駛到B處的

時(shí)間為10s.問此車是否超過了該路段16m/s的限制速度？（觀測點(diǎn)C離地面的

距離忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：血心1.41,73^1,73）

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出DB,DA,進(jìn)而解答即可.

【解答】解：由題意得：ZDCA=60°,ZDCB=45°,

在RtACDB中，tanZDCB=DB-DB-i,

DC200

解得：DB=200,

在RtZ\CDA中，tanNDCA=DA二DA芯,

DC200

解得：DA=200?,

，AB=DA-DB=200A/3-200七146米,

轎車速度丫=祁=146=146<16?

t10

答：此車沒有超過了該路段16m/s的限制速度.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是利用

三角函數(shù)求出AD與BD的長度，難度一般.

24.（8.00分）下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正

方形的邊長都是1,請?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必

須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合，具體要求如下：

（1）畫一個(gè)直角邊長為4,面積為6的直角三角形.

（2）畫一個(gè)底邊長為4,面積為8的等腰三角形.

（3）畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形.

（4）畫一個(gè)邊長為2y，面積為6的等腰三角形.

⑴⑵(3)(4)

【分析】（1）利用三角形面積求法以及直角三角形的性質(zhì)畫即可；

（2）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可.

（3）利用三角形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可；

（4）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可.

【解答】解：（1）如圖（1）所示

（2）如圖（2）所示:

（3）如圖（3）所示;

（4）如圖（4）所示.

【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及作圖;

熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

五、推理論證題（9分）

25.（9.00分）如圖，已知AB是。。的直徑，P是BA延長線上一點(diǎn)，PC切。0

于點(diǎn)C,CG是。。的弦，CG1AB,垂足為D.

（1）求證：ZPCA=ZABC.

（2）過點(diǎn)A作AE〃PC交。。于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若cosNP=9,CF=10,

5

求BE的長

【分析】（1）連接半徑OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得：OCJ_PC,由圓周角定理得：Z

ACB=90。，所以NPCA=NOCB,再由同圓的半徑相等可得：ZOCB=ZABC,從而

得結(jié)論；

（2）本題介紹兩種解法：

方法一：先證明NCAF=NACF,則AF=CF=10,根據(jù)cosNP=cosNFAD=&,可得AD=8,

5

FD=6,得CD=CF+FD=16,設(shè)。C=r,OD=r-8,根據(jù)勾股定理列方程可得r的值，

再由三角函數(shù)cos/EAB=坐，可得AE的長，從而計(jì)算BE的長；

AB

方法二：根據(jù)平行線的性質(zhì)得：OC_LAE,ZP=ZEAO,由垂直的定義得：ZOCD=

NEAO=NP,同理利用三角函數(shù)求得：CH=8,并設(shè)AO=5x,AH=4x,表示OH=3x,

OC=3x-8,由OC=OA列式可得x的值，最后同理得結(jié)論.

【解答】證明：（1）連接OC,交AE于H,

1PC是。O的切線，

AOC1PC,

，NPCO=90°,

ZPCA+ZACO=90°,（1分）

VAB是。。的直徑，

.,.ZACB=90°,（2分）

AZACO+ZOCB=90°,

ZPCA=ZOCB,（3分）

VOC=OB,

/.ZOCB=ZABC,

.".ZPCA=ZABC；（4分）

（2）方法一：VAE/7PC,

，/CAF=NPCA,

VAB1CG,

AAC=AG-

...NACF=NABC,（5分）

VZABC=ZPCA,

AZCAF=ZACF,

,\AF=CF=10,（6分）

,.,AE〃PC,

；.NP=NFAD,

cosZP=cosZFAD=A,

5

在RtZ\AFD中，cosNFAD=旭，AF=10,

AF

，AD=8,（7分）

FD=7AF2-AD2=6,

.'.CD=CF+FD=16,

在RtZXOCD中，設(shè)OC=r,OD=r-8,

r2=（r-8）2+162,

r=20,

，AB=2r=40,（8分）

VAB是直徑，

AZAEB=90°,

在RtAAEB中，cosZEAB=-^,AB=40,

AB

；.AE=32,

BE=22=24,

VAB-AE（9分）

方法二：?.?AE〃PC,0C1PC,

AOC±AE,ZP=ZEAO,（5分），

/.ZEAO+ZCOA=90o,

VAB1CG,

/.ZOCD+ZCOA=90o,

/.ZOCD=ZEAO=ZP,（6分）

在《△CFH中,cos/HCF=qi,CF=1O,

CF

，CH=8,（7分）

在RtAOHA中，COSZOAH=M^1,設(shè)AO=5X,AH=4X,