北京市西城外國語學校2024屆數學高一下期末綜合測試模擬試題含解析

北京市西城外國語學校2024屆數學高一下期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直線：，：，若：；，則是的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．等比數列中，，則等于()A．16 B．±4 C．-4 D．43．如圖所示，向量，則（）A． B． C． D．4．如圖，兩點為山腳下兩處水平地面上的觀測點，在兩處觀察點觀察山頂點的仰角分別為，若，，且觀察點之間的距離比山的高度多100米，則山的高度為（）A．100米 B．110米 C．120米 D．130米5．已知函數向左平移個單位長度后，其圖象關于軸對稱，則的最小值為()A． B． C． D．6．中，則A． B． C． D．7．已知函數，且此函數的圖象如圖所示，由點的坐標是（）A． B． C． D．8．角α的終邊上有一點P（a，|a|），a∈R且a≠0，則sinα值為（）A． B． C．1 D．或9．甲、乙兩位同學在高一年級的5次考試中，數學成績統(tǒng)計如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別是，則下列敘述正確的是（）A．，乙比甲成績穩(wěn)定B．，甲比乙成績穩(wěn)定C．，乙比甲成績穩(wěn)定D．，甲比乙成績穩(wěn)定10．已知向量，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數列中，首項，公差，前項和，則使有最小值的_________.12．設函數的部分圖象如圖所示，則的表達式______．13．已知，若直線與直線垂直，則的最小值為_____14．將二進制數110轉化為十進制數的結果是_____________.15．某餐廳的原料支出與銷售額（單位：萬元）之間有如下數據，根據表中提供的數據，用最小二乘法得出與的線性回歸方程，則表中的值為_________.245682535557516．已知向量滿足，則與的夾角的余弦值為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）求函數在上的最小值的表達式；（2）若函數在上有且只有一個零點，求的取值范圍.18．在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.（1）試用，表示：（2）當?取得最小值時，求t的值.19．如圖，四棱錐中，底面，，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，求四棱錐的體積；20．已知數列前項和（），數列等差，且滿足，前9項和為153.（1）求數列、的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求及使不等式對一切都成立的最小正整數的值；（3）設，問是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.21．設全集是實數集，集合，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】因為直線：，：，所以或，即是的必要不充分條件.故選C.點睛：本題考查兩條直線平行的判定；由直線的一般式判定兩直線平行或垂直時，若將一般式化成斜截式，往往需要討論斜率是否存在，為了避免討論，記住以下結論：已知直線，.則或；.2、D【解題分析】分析：利用等比中項求解．詳解：，因為為正，解得．點睛：等比數列的性質：若，則．3、A【解題分析】

根據平面向量的加法的幾何意義、平面向量的基本定理、平面向量數乘運算的性質，結合進行求解即可.【題目詳解】.故選：A【題目點撥】本題考查了平面向量基本定理及加法運算的幾何意義，考查了平面向量數乘運算的性質，屬于基礎題.4、A【解題分析】

設山的高度為，求出AB=2x，根據，求出山的高度.【題目詳解】設山的高度為，如圖，由，有.在中，，有，又由觀察點之間的距離比山的高度多100，有.故山的高度為100.故選A【題目點撥】本題主要考查解三角形的實際應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、A【解題分析】

根據函數的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象關于軸對稱,即為偶函數.，求得的最小值．【題目詳解】把函數向左平移個單位長度后.可得的圖象.再根據所得圖象關于軸對稱,即為偶函數.所以即，當時，的值最小.所以的最小值為：故選：A【題目點撥】本題主要考查函數的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．6、B【解題分析】試題分析：由余弦定理，故選擇B考點：余弦定理7、B【解題分析】

先由函數圖象與軸的相鄰兩個交點確定該函數的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再將點代入函數解析式，并結合函數在該點附近的單調性求出的值，即可得出答案?！绢}目詳解】解：由圖象可得函數的周期∴，得，將代入可得，∴（注意此點位于函數減區(qū)間上）∴由可得，∴點的坐標是，故選：B．【題目點撥】本題考查利用圖象求三角函數的解析式，其步驟如下：①求、：，；②求：利用一些關鍵點求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入關鍵點求出初相，如果代對稱中心點要注意附近的單調性。8、B【解題分析】

根據三角函數的定義，求出OP，即可求出的值．【題目詳解】因為，所以，故選B．【題目點撥】本題主要考查三角函數的定義應用．9、C【解題分析】甲的平均成績，甲的成績的方差；乙的平均成績，乙的成績的方差.∴，乙比甲成績穩(wěn)定.故選C.10、A【解題分析】

先根據向量的平行求出的值，再根據向量的加法運算求出答案．【題目詳解】向量，，

解得，

∴，

故選A．【題目點撥】本題考查了向量的平行和向量的坐標運算，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解題分析】

求出，然后利用，求出的取值范圍，即可得出使得有最小值的的值.【題目詳解】，令，解得.因此，當或時，取得最小值.故答案為：或.【題目點撥】本題考查等差數列前項和的最小值求解，可以利用二次函數性質求前項和的最小值，也可以轉化為數列所有非正數項相加，考查計算能力，屬于中等題.12、【解題分析】

根據圖象的最高點得到，由圖象得到，故得，然后通過代入最高點的坐標或運用“五點法”得到，進而可得函數的解析式．【題目詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點在函數的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【題目點撥】已知圖象確定函數解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點的縱坐標．（2）由圖象得到函數的周期，進而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運用代點法求解，通過把圖象的最高點或最低點的坐標代入函數的解析式求出的值；②運用“五點法”求解，即由函數最開始與軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令，)確定．13、8【解題分析】

兩直線斜率存在且互相垂直，由斜率乘積為-1求得等式，把目標式子化成，運用基本不等式求得最小值.【題目詳解】設直線的斜率為，，直線的斜率為，，兩條直線垂直，，整理得：，，等號成立當且僅當，的最小值為.【題目點撥】利用“1”的代換，轉化成可用基本不等式求最值，考查轉化與化歸的思想.14、6【解題分析】

將二進制數從右開始,第一位數字乘以2的0次冪,第二位數字乘以2的1次冪,以此類推,進行計算即可.【題目詳解】,故答案為:6.【題目點撥】本題考查進位制,解題關鍵是了解不同進制數之間的換算法則,屬于基礎題.15、60【解題分析】

由樣本中心過線性回歸方程，求得，，代入即可求得【題目詳解】由題知：，，將代入得故答案為：60【題目點撥】本題考查樣本中心與最小二乘法公式的關系，易錯點為將直接代入求解，屬于中檔題16、【解題分析】

由得，結合條件，即可求出，的值，代入求夾角公式，即可求解．【題目詳解】由得與的夾角的余弦值為.【題目點撥】本題考查數量積的定義，公式的應用，求夾角公式的應用，計算量較大，屬基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）求出函數的對稱軸方程，對實數分、、三種情況討論，分析函數在區(qū)間上的單調性，進而可得出函數在區(qū)間上的最小值的表達式；（2）對函數分情況討論：（i）方程在區(qū)間上有兩個相等的實根；（ii）①方程在區(qū)間只有一根；（②；③.可得出關于實數的等式或不等式，即可解得實數的取值范圍.【題目詳解】（1），其對稱軸為，當，即時，函數在區(qū)間上單調遞減，；當，即時，函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，；當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞增，.綜上所述：；（2）（i）若方程在上有兩個相等的實數根，則，此時無解；（ii）若方程有兩個不相等的實數根.①當只有一根在內時，，即，得；②當時，，方程化為，其根為，，滿足題意；③當時，，方程化為，其根為，，滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查二次函數在定區(qū)間上最值的計算，同時也考查了利用二次函數在區(qū)間上零點個數求參數，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）根據即可得出，從而解得；（2）由（1）得，根據得，從而進行數量積的運算得出，配方即可得出當時，取最小值.【題目詳解】（1）∵；∴；∴；（2）∵△ABC是正三角形，且AB＝2；∴；∵；∴；∴∴時，取最小值.【題目點撥】本題考查向量減法、加法的幾何意義，向量的數乘運算，以及向量的數量積運算及計算公式，配方法解決二次函數問題的方法，屬于基礎題.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）根據底面證得，證得，由此證得平面.（2）利用錐體體積公式，計算出所求錐體體積.【題目詳解】（1）證明：底面，平面，，，，，又，平面，平面，平面.（2），，，∴四邊形是矩形，，，又，，，即，.【題目點撥】本小題主要考查線面垂直的證明，考查錐體體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎題.20、（1），；（2），；（3）11.【解題分析】

（1）由數列的前項和結合求得數列的通項公式，再由，可得為等差數列，由已知求出公差，代入等差數列的通項公式得答案；（2）把數列，的通項公式代入，然后利用裂項相消法求和，可得使不等式對一切都成立的最小正整數的值；（3）分為偶數和奇數分類分析得答案．【題目詳解】解：（1）由．故當時，．時，，而當時，，，又，即，為等差數列，于是．而，故，，因此，，即；（2）．．易知單調遞增，由，得，而，故，；（3），①當為奇數時，為偶數．此時，，，．②當為偶數時，為奇數．此時，．，（舍去）．綜