誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)第九章 附有條件的條件平差

第九章附有條件的條件平差一、問(wèn)題的提出在附有參數(shù)的條件平差中，參數(shù)的個(gè)數(shù)u<t，且u個(gè)參數(shù)彼此獨(dú)立。當(dāng)參數(shù)的個(gè)數(shù)u<t，但彼此不獨(dú)立時(shí)，參數(shù)之間一定存在函數(shù)關(guān)系。如圖，當(dāng)選時(shí)，參數(shù)之間存在：于是，該平差問(wèn)題的全部條件方程為：

分析以上條件方程知，前三個(gè)方程是觀測(cè)值和參數(shù)所應(yīng)滿足的條件方程，第四個(gè)方程是參數(shù)之間應(yīng)滿足的條件方程。以這樣的既有觀測(cè)值和參數(shù)所應(yīng)滿足的條件方程，又有參數(shù)之間應(yīng)滿足的條件方程一起平差，稱為附有條件的條件平差。其一般形式為

（1）式中：c=r+u-s二、基礎(chǔ)方程及其求解

1、基礎(chǔ)方程(1)式中方程的個(gè)數(shù)為r+u個(gè)，未知數(shù)的個(gè)數(shù)為n+u個(gè)。由于n>r，所以（1）式有無(wú)窮組解。在這無(wú)窮組解中，我們選取能使的一組解作為最優(yōu)解。為此，組成新函數(shù)：將上式對(duì)V和求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得轉(zhuǎn)置后得：于是，基礎(chǔ)方程為：2、基礎(chǔ)方程的解

由基礎(chǔ)方程的第三式得：（2）將（2）式代入基礎(chǔ)方程，消去改正數(shù)V，得法方程：（3）用左乘（3）式的第一式，得：（4）再以左乘（3）式的第一式并減去第二式，得：令則(5)將(5)式代入(1)式的第二式，得因?yàn)闉闈M秩方陣，所以（6）將（6）式代入（5）式，得（7）按（7）式求出參數(shù)估值后，將（4）式代入（2）式，得三、精度評(píng)定應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律，得因?yàn)樗粤顒t即同理令：則即同理可得其具體表達(dá)式請(qǐng)同學(xué)自己推導(dǎo)。四、平差方法總結(jié)

（1）（1）式為附有條件的條件平差。1、當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)u=0時(shí)，有B=0，C=0。（1）式變?yōu)闂l件平差，即2、當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)u=t，且彼此獨(dú)立時(shí)，有C=0，A=-E，W=-l。（1）式變?yōu)殚g接平差，即3、當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)u<t，且彼此獨(dú)立時(shí)，有C=0。（1）式變?yōu)楦接袇?shù)的條件平差，即4、當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)u>t時(shí)，有A=-E，W=-l。（1）式變?yōu)楦接袟l件的間接平差，即五、平差結(jié)果的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)1、無(wú)偏性將真值代入（1）式得：（2）將（2）式取數(shù)學(xué)期望，得：因?yàn)樗砸驗(yàn)樗陨鲜奖砻鲄?shù)估值是其真值的無(wú)偏估計(jì)。為了證明觀測(cè)值的平差值是其真值的無(wú)偏估計(jì)，先證明改正數(shù)V的期望為零。對(duì)取期望，得于是：上式表明觀測(cè)值的平差值是其真值的無(wú)偏估計(jì)。

再來(lái)證明單位權(quán)方差的估值是其真值的無(wú)偏估計(jì)。引理:設(shè)Y為隨機(jī)向量，其方差陣為，數(shù)學(xué)期望為。則隨機(jī)向量Y的任一二次型的數(shù)學(xué)期望為：（3）根據(jù)（3）式，有：（4）因?yàn)?/p>

所以（4）變?yōu)椋海?）將代入（5）式，得：因?yàn)椋核杂谑怯?上式表明單位權(quán)方差的估值是其真值的無(wú)偏估計(jì)。2、最優(yōu)性

所謂最優(yōu)性，就是指估計(jì)值的方差最小。下面就來(lái)證明參數(shù)估值和觀測(cè)值的估值具有最小方差，即或

或證明思路：構(gòu)造參數(shù)的一個(gè)最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)：（6）然后證明。為此，下面根據(jù)無(wú)偏條件和最優(yōu)條件來(lái)確定系數(shù)和由無(wú)偏條件:知:（7）再來(lái)推導(dǎo)最優(yōu)條件，（6）式應(yīng)用協(xié)方差傳播律，得：

為了求得既能使，又能滿足無(wú)偏條件（7）式的待定系數(shù)和，組成如下新函數(shù)：（8）（8）式分別對(duì)和求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得：（9）由（9）式解得：（10）將（10）式代入（7）式，得：于是可解得：（11）將（11）式代入（9）式的第二式，得：故有：將其代入（11）式，得：