2024屆遼寧省遼南協(xié)作體高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（A）（解析版）

PAGEPAGE2遼寧省遼南協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（A）一、單選題1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以．故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為，由題意可得：，則，所以對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.3.哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，即所謂的“”問題.1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”成立.哥德巴赫猜想的內(nèi)容是“每一個大于2的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”，則該猜想的否定為（）A.每一個小于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和B.存在一個小于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和C.每一個大于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和D.存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，A，C錯誤;哥德巴赫猜想的否定為“存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”.故選：D.4.習(xí)近平總書記強調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強國，是我們不懈追求的航天夢.我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭把嫦娥五號探測器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則，故，故選：C.5.“”是“”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】可得，則，但是當時，，有可能小于零，此時不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知，設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，且，又，所以有，又在上單調(diào)遞減，所以.故選：A7.已知數(shù)列的前n項和，正項等比數(shù)列滿足，，則使成立的n的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】依題意，，當時，；當時，；所以.所以，設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，，所以，所以，由得，所以的最大值為.故選：D.8.定義在上的函數(shù)滿足，則下列是周期函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，滿足題意.選項A，，是周期函數(shù).而選項B，，選項C，，選項D，，均不是周期函數(shù)，故排除BCD.選項A，證明：設(shè)，，則是以為周期的函數(shù).故選：A.二、多選題9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則向量，夾角是【答案】BD【解析】A選項，由，得，解得，則A錯誤，B選項，由，得，解得，則B正確，C選項，由，因為，所以，解得或，則C錯誤．D選項，由，得，，則，因為，所以，從而向量，的夾角是，故D正確．故選：BD10.已知函數(shù)的最大值為2，則（）A. B.的圖象關(guān)于點對稱C.是圖象的一條對稱軸 D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】易得，則，即A正確；所以，當，，即B錯誤；同理，即C錯誤；，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時單調(diào)遞增，即D正確.故選：AD.11.在正方體中，，，分別為，，的中點，則（）A.直線與直線異面B.直線與平面平行C.三棱錐的體積是正方體體積的D.平面截正方體所得的截面是等腰梯形【答案】ABD【解析】對于A，因為平面，平面，平面，所以與異面，A正確；對于B，取的中點為M，連接、GM，則，，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，同理可得，平面，因為，平面，所以平面平面，又平面，從而平面，B正確；對于C，設(shè)正方體棱長為a，三棱錐的體積，而正方體的體積為，故C錯誤．對于D，連接，，易得，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，故D正確.故選：ABD．12.已知為正實數(shù)，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】A選項，因為為正實數(shù)，則，令，，則，解得，所以，即，即，當且僅當即時等號成立，故的最大值為，A錯誤；B選項，由，得，則，所以，，當且僅當，即時等號成立，此時取得最小值，B正確；選項C，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為，即C正確；選項D，，當且僅當，即，時，等號成立，此時取得最小值，D錯誤．故選：BC．三、填空題13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______．【答案】5【解析】因為等差數(shù)列的前n項和為，且所以，即所以.故答案為：.14.已知，則________．【答案】【解析】因為，而，因此，則，所以.故答案為：15.若直線是函數(shù)圖象在某點處的切線，則實數(shù)_________．【答案】【解析】令，解得，所以切點為，將代入切線得.故答案為：16.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】由，，，根據(jù)余弦定理可得，則，，中E為斜邊AB中點，所以到各點的距離相等，則三棱錐外接球的直徑為，故三棱錐外接球的表面積為．故答案為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1），令，則，故的對稱中心為.令，即的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由題意，，故，，則故在上最小值為，最大值為2.18.已知數(shù)列滿足，，滿足，.（1）證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）求數(shù)列中滿足的所有項的和.（1）證明：由，解得，因為，所以由等差數(shù)列的概念得，數(shù)列是為首項，1為公差的等差數(shù)列.數(shù)列的通項公式為，所以.（2）解：因為，，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，因為，即得到，又，所以，解得，且，所以滿足題意的為數(shù)列的前10項，記的前項和為，則，所以數(shù)列中滿足的所有項的和為.19.中，有，其中分別為角的對邊.（1）求角的大??；（2）設(shè)點是的中點，若，求的面積.解：（1）在中，因為，由正弦定理可得，因為，則，所以，，則，所以，，故.（2）因為，所以所以①又②由①，②得：，所以20.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．（1）已知點G為AF上一點，且，求證：BG與平面DCE不平行；（2）已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體積．（1）證明：因為平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，，又，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則、、、、，所以，，，設(shè)平面DCE的法向量為，則，令，則，所以，因為，且不存在使得與垂直，所以BG與平面DCE不平行；（2）解：設(shè)（且），則，所以，∵直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，∴，化簡得，解得或（舍去）；故．此時梯形ABEF的面積，故．21.在平面直角坐標系中，銳角、的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點分別為，.已知點的縱坐標為，點的橫坐標為.（1）求的值；（2）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，且，求周長的最大值.解：（1）因為，是銳角，所以，在第一象限，又因為，在單位圓上，點的縱坐標為，點的橫坐標為，所以，，所以，.故.（2）由（1）中結(jié)論可得，又，∴，由余弦定理可得，即，∵，∴，∴，當且僅當時，等號成立，∴，即當為等邊三角形時，周長最大，最大值為6.22.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率．（1）求曲線在處的曲率的平方；（2）求余弦曲線曲率的最大值；解：（1）因為，則，，所以，故.（2）因為，則，，所以，則，令，則，，設(shè)，則，顯然當時，，單調(diào)遞減，所以，則最大值為1，所以的最大值為1．遼寧省遼南協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（A）一、單選題1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以．故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為，由題意可得：，則，所以對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.3.哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，即所謂的“”問題.1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”成立.哥德巴赫猜想的內(nèi)容是“每一個大于2的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”，則該猜想的否定為（）A.每一個小于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和B.存在一個小于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和C.每一個大于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和D.存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，A，C錯誤;哥德巴赫猜想的否定為“存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”.故選：D.4.習(xí)近平總書記強調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強國，是我們不懈追求的航天夢.我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭把嫦娥五號探測器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則，故，故選：C.5.“”是“”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】可得，則，但是當時，，有可能小于零，此時不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知，設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，且，又，所以有，又在上單調(diào)遞減，所以.故選：A7.已知數(shù)列的前n項和，正項等比數(shù)列滿足，，則使成立的n的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】依題意，，當時，；當時，；所以.所以，設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，，所以，所以，由得，所以的最大值為.故選：D.8.定義在上的函數(shù)滿足，則下列是周期函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，滿足題意.選項A，，是周期函數(shù).而選項B，，選項C，，選項D，，均不是周期函數(shù)，故排除BCD.選項A，證明：設(shè)，，則是以為周期的函數(shù).故選：A.二、多選題9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則向量，夾角是【答案】BD【解析】A選項，由，得，解得，則A錯誤，B選項，由，得，解得，則B正確，C選項，由，因為，所以，解得或，則C錯誤．D選項，由，得，，則，因為，所以，從而向量，的夾角是，故D正確．故選：BD10.已知函數(shù)的最大值為2，則（）A. B.的圖象關(guān)于點對稱C.是圖象的一條對稱軸 D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】易得，則，即A正確；所以，當，，即B錯誤；同理，即C錯誤；，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時單調(diào)遞增，即D正確.故選：AD.11.在正方體中，，，分別為，，的中點，則（）A.直線與直線異面B.直線與平面平行C.三棱錐的體積是正方體體積的D.平面截正方體所得的截面是等腰梯形【答案】ABD【解析】對于A，因為平面，平面，平面，所以與異面，A正確；對于B，取的中點為M，連接、GM，則，，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，同理可得，平面，因為，平面，所以平面平面，又平面，從而平面，B正確；對于C，設(shè)正方體棱長為a，三棱錐的體積，而正方體的體積為，故C錯誤．對于D，連接，，易得，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，故D正確.故選：ABD．12.已知為正實數(shù)，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】A選項，因為為正實數(shù)，則，令，，則，解得，所以，即，即，當且僅當即時等號成立，故的最大值為，A錯誤；B選項，由，得，則，所以，，當且僅當，即時等號成立，此時取得最小值，B正確；選項C，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為，即C正確；選項D，，當且僅當，即，時，等號成立，此時取得最小值，D錯誤．故選：BC．三、填空題13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______．【答案】5【解析】因為等差數(shù)列的前n項和為，且所以，即所以.故答案為：.14.已知，則________．【答案】【解析】因為，而，因此，則，所以.故答案為：15.若直線是函數(shù)圖象在某點處的切線，則實數(shù)_________．【答案】【解析】令，解得，所以切點為，將代入切線得.故答案為：16.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】由，，，根據(jù)余弦定理可得，則，，中E為斜邊AB中點，所以到各點的距離相等，則三棱錐外接球的直徑為，故三棱錐外接球的表面積為．故答案為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1），令，則，故的對稱中心為.令，即的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由題意，，故，，則故在上最小值為，最大值為2.18.已知數(shù)列滿足，，滿足，.（1）證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）求數(shù)列中滿足的所有項的和.（1）證明：由，解得，因為，所以由等差數(shù)列的概念得，數(shù)列是為首項，1為公差的等差數(shù)列.數(shù)列的通項公式為，所以.（2）解：因為，，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，因為，即得到，又，所以，解得，且，所以滿足題意的為數(shù)列的前10項，記的前項和為，則，所以數(shù)列中滿足的所有項的和為.19.中，有，其中分別為角的對邊.（1）求角的大?。唬?）設(shè)點是的中點，若，求的面積.解：（1）在中，因為，由正弦定理可得，因為，則，所以，，則，所以，，故.（2）因為，所以所以①又②由①，②得：，所以20.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．（1）