高中數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線基本知識點與典型題舉例(附答案)

PAGEPAGE4高中數(shù)學(xué)選修2--1圓錐曲線基本知識點與典型題舉例一、橢圓1.橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F第二定義:平面內(nèi)到定點F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0<e<1)的點的軌跡是橢圓,定點叫做橢圓的焦點,定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做橢圓的離心率.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點,,對稱軸軸，軸，長軸長為，短軸長為焦點、、焦距焦距為離心率(0<e<1)例1.F1，F(xiàn)2是定點，且|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則M點的軌跡方程是(A)橢圓(B)直線(C)圓(D)線段例2.已知的周長是16，，B,則動點的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例3.若F(c，0)是橢圓的右焦點，F(xiàn)與橢圓上點的距離的最大值為M，最小值為m，則橢圓上與F點的距離等于的點的坐標(biāo)是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在例4設(shè)F1(-c，0)、F2(c，0)是橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點,若∠PF1F2=5∠PF2F1(A)(B)(C)(D)例5.P點在橢圓上，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，若，則P點的坐標(biāo)是.例13.根據(jù)下列條件，求雙曲線方程:⑴與雙曲線有共同漸近線，且過點(-3，)；⑵與雙曲線有公共焦點，且過點(，2).例14.設(shè)雙曲線上兩點A、B，AB中點M（1，2）求直線AB方程；注：用兩種方法求解（韋達(dá)定理法、點差法）三、.拋物線1.拋物線的定義:平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(點F不在上).定點F叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對稱軸軸軸軸軸焦點頂點原點準(zhǔn)線離心率1注:通徑為2p，這是拋物線的過焦點的所有弦中最短的弦.例15.頂點在原點，焦點是的拋物線方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例16拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標(biāo)是()(A)(B)(C)(D)0例17.過點P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有()(A)4條(B)3條(C)2條(D)1條例18.過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于()(A)2a(B)(C)(D)例19若點A的坐標(biāo)為(3，2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，點P在拋物線上移動，為使|PA|+|PF|取最小值，P點的坐標(biāo)為()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)例20動圓M過點F(0，2)且與直線y=-2相切，則圓心M的軌跡方程是.例21過拋物線y2＝2px的焦點的一條直線和拋物線交于兩點，設(shè)這兩點的縱坐標(biāo)為y1、y2，則y1y2＝_________.例22以拋物線的焦點為圓心，通徑長為半徑的圓的方程是_____________.例23.過點(-1,0)的直線l與拋物線y2=6x有公共點，則直線l的斜率的范圍是.例24設(shè)是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。(Ⅰ)試證:拋物線頂點在圓H的圓周上；(Ⅱ)求圓H的面積最小時直線AB的方程.四、求點的軌跡問題如何求曲線(點的軌跡)方程,它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法（相關(guān)點法）外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標(biāo)有關(guān)的方程(等量關(guān)系)，側(cè)重于數(shù)的運算，一是尋找與動點有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運用。求軌跡方程的一般步驟:建、設(shè)、現(xiàn)（限）、代、化.例25.已知兩點M（－2，0），N（2，0），點P滿足=12，則點P的軌跡方程為（） 例26.⊙O1與⊙O2的半徑分別為1和2，|O1O2|=4，動圓與⊙O1內(nèi)切而與⊙O2外切，則動圓圓心軌跡是()(A)橢圓 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)雙曲線的一支例27.動點P在拋物線y2=-6x上運動,定點A(0,1),線段PA中點的軌跡方程是()（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x（C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x例28.過點（2，0）與圓相內(nèi)切的圓的圓心的軌跡是（）（A）橢圓（B）雙曲線（C）拋物線（D）圓例29.已知的周長是16，，B則動點的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例30.橢圓中斜率為的平行弦中點的軌跡方程為.例31.已知動圓P與定圓C:（x＋2）＋y＝１相外切，又與定直線l：x＝１相切,那么動圓的圓心P的軌跡方程是______________._.五、圓錐曲線綜合問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系⑴直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點坐標(biāo)分別為,則它的弦長注:實質(zhì)上是由兩點間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因為，運用韋達(dá)定理來進行計算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.注:1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。2.當(dāng)涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點差法.3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。例32.AB為過橢圓=1中心的弦，F(xiàn)(c，0)為橢圓的右焦點，則△AFB的面積最大值是()(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例33若直線y＝kx＋2與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）,,,,例34.若雙曲線x2－y2=1右支上一點P(a,b)到直線y=x的距離為，則a＋b的值是().或(D)2或－2例35拋物線y=x2上的點到直線2x-y=4的距離最近的點的坐標(biāo)是())(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)例36拋物線y2=4x截直線所得弦長為3，則k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例37如果直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍是.例38已知拋物線上兩點關(guān)于直線對稱，且，那么m的值為.例39雙曲線3x2-y2=1上是否存在關(guān)于直線y=2x對稱的兩點A、B?若存在，試求出A、B兩點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.高中數(shù)學(xué)選修2--1圓錐曲線基本知識點與典型題舉例答案一、橢圓例1.D例2.B例3.C先考慮M+m=2a，然后用驗證法例4.B∵，∴.例5(3,4)或(-3,4)例6.(1)或;(2);(3)或;(4)或.例7.≤二、雙曲線：例8.B例9.C例10.D例11.A假設(shè),由雙曲線定義且,解得而由勾股定理得[點評]考查雙曲線定義和方程思想.例12例13.⑴設(shè)雙曲線方程為(λ≠0),∴∴,∴雙曲線方程為;⑵設(shè)雙曲線方程為∴,解之得k=4,∴雙曲線方程為評注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為(λ≠0)，當(dāng)λ>0時，焦點在x軸上；當(dāng)λ<0時，焦點在y軸上。與雙曲線共焦點的雙曲線為(a2+k>0，b2-k>0)。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想.例14解題思路分析：法一：顯然AB斜率存在設(shè)AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0當(dāng)△>0時，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則∴k=1，滿足△>0∴直線AB：y=x+1法二：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴∴∴AB：y=x+1代入得：△>0評注：法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點差法，當(dāng)涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。在利用點差法時，必須檢驗條件△>0是否成立。（2）此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗是否滿足所有條件.本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心設(shè)A、B、C、D共圓于⊙OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點。因此只需證CD中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設(shè)C（x3,y3），D（x4,y4），CD中點M（x0,y0）則∴M（-3，6）∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中點，M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上評注：充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視.三、拋物線：例15.B()例16.B例17B(過P可作拋物線的切線兩條，還有一條與x軸平行的直線也滿足要求。)例18.C作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點，且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為p,q，則p=q=|FK|,例19.解析：運用拋物線的準(zhǔn)線性質(zhì).答案：B例20.x2=8y例21－p2例22例23例24.解：由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：.又設(shè)，則其坐標(biāo)滿足消去x得由此得因此,即.故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H（）是AB的中點，故由前已證OH應(yīng)是圓H的半徑，且.從而當(dāng)k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時，直線AB的方程為：x=2p.注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般方法是聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，必須討論二次項系數(shù)和判別式△，利用韋達(dá)定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關(guān)系．求解有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為簡潔．此題設(shè)直線方程為x=ky+2p；因為直線過x軸上是點Q(2p，0)，通常可以這樣設(shè)，可避免對直線的斜率是否存在討論．2．凡涉及弦的中點及中點弦問題，利用平方差法；涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡化運算．3．在引入點參數(shù)(本題中以AB弦的兩個端點的坐標(biāo)作為主參數(shù))時，應(yīng)盡量減少參數(shù)的個數(shù)，以便減少運算量．由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O這個關(guān)系對于解決此類問題十分有用．4．列出目標(biāo)函數(shù)，|OH|=P，運用函數(shù)思想解決解析幾何中的最值問題是解決此類問題的基本思路，也可利用基本不等式a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時“=”成立求解．四、求點的軌跡問題例25.B例26.D例27.C例28.A例29.B例30.9x+16y=0(橢圓內(nèi)部分)例31.y２＝－8x五、圓錐曲線綜合問題例32解析：∵S△AFB=2S△AOF，∴當(dāng)點A位于短軸頂點處面積最大.答案：D例33.