八年級(jí)數(shù)學(xué)（第十二章 一次函數(shù)）12.4 綜合與實(shí)踐  一次函數(shù)模型的應(yīng)用（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

12.4綜合與實(shí)踐?一次函數(shù)模型的應(yīng)用第十二章一次函數(shù)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2一次函數(shù)模型的應(yīng)用選擇方案知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)一次函數(shù)模型的應(yīng)用11.利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的基本模式感悟新知知1－講特別解讀1.若題目中明確給出兩變量的函數(shù)關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式.2.若題目中明確給出兩變量變化關(guān)系的圖象，則由圖象分辨出其函數(shù)類型，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式.感悟新知2.建立函數(shù)模型的一般步驟(1)獲取數(shù)據(jù)；

(2)列表、描點(diǎn)；

(3)觀察、猜想；(4)求出函數(shù)表達(dá)式；

(5)檢驗(yàn)并給出答案.知1－講知1－練感悟新知為提醒人們節(jié)約用水，及時(shí)修好漏水的水龍頭，小王做了一個(gè)水龍頭漏水實(shí)驗(yàn)，他用于接水的量筒最大容量為100毫升.下表是小王同學(xué)在做實(shí)驗(yàn)時(shí)，每隔10秒觀察量筒中水的體積記錄下的數(shù)據(jù)(漏出的水量精確到1毫升)：例1時(shí)間t/秒10203040506070漏出的水量V/毫升25811141720

知1－練感悟新知解題秘方：緊扣建立函數(shù)模型的一般步驟，建立一次函數(shù)模型解決問(wèn)題.知1－練感悟新知解：描點(diǎn)，如圖12.4-1所示.(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出上表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；知1－練感悟新知(2)如果小王同學(xué)繼續(xù)做實(shí)驗(yàn)，試探求多少秒后量筒中的水會(huì)滿而溢出(精確到1秒)；知1－練感悟新知解：由圖12.4-1知V

與t之間是一次函數(shù)的關(guān)系，設(shè)V=kt+b(k

≠0)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)知，當(dāng)t=10時(shí)，V=2；當(dāng)t=20時(shí)，V=5.知1－練感悟新知技巧點(diǎn)撥觀察圖象可知所描各點(diǎn)大致在一條直線上，因此可認(rèn)為兩變量之間存在一次函數(shù)關(guān)系.注意借助其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)表達(dá)式后需利用其余各點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

(3)按此漏水速度，1小時(shí)會(huì)漏水多少升(精確到0.1升)？知1－練感悟新知小明練習(xí)100m短跑，訓(xùn)練時(shí)間與短跑成績(jī)記錄如下：例2

時(shí)間x/月1234成績(jī)y/s15.615.415.215

知1－練感悟新知解題秘方：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)建立一次函數(shù)模型，再利用一次函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)作預(yù)測(cè).知1－練感悟新知方法點(diǎn)撥根據(jù)給定部分因變量隨自變量均勻變化的數(shù)據(jù)信息，可以建立一次函數(shù)模型，利用求得的一次函數(shù)表達(dá)式，可以對(duì)數(shù)據(jù)的鄰近區(qū)域進(jìn)行預(yù)測(cè).但是預(yù)測(cè)只能在數(shù)據(jù)的鄰近區(qū)域，遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)作預(yù)測(cè)是不可靠的.知1－練感悟新知

(1)請(qǐng)你為小明的100m短跑成績(jī)y

(s)與訓(xùn)練時(shí)間x(月)的關(guān)系建立函數(shù)模型；知1－練感悟新知解：當(dāng)x=6時(shí)，y=－0.2×6+15.8=14.6.故預(yù)測(cè)小明訓(xùn)練6個(gè)月的100m短跑成績(jī)?yōu)?4.6s.(2)用所求出的函數(shù)表達(dá)式預(yù)測(cè)小明訓(xùn)練6個(gè)月的100m短跑成績(jī)；知1－練感悟新知解：不能.理由：因?yàn)槎膛艿某煽?jī)?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)可能呈某種趨勢(shì)，但在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，受自身的發(fā)展極限的限制，不會(huì)永遠(yuǎn)如此快地提高.(理由合理即可)(3)能用所求出的函數(shù)表達(dá)式預(yù)測(cè)小明訓(xùn)練3年的100m短跑成績(jī)嗎？為什么？感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)選擇方案21.選擇方案選擇方案是指某一問(wèn)題中，符合條件的方案有多種，一般要利用數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)過(guò)分析、猜想、判斷，篩選出最佳方案，涉及的問(wèn)題類型常有利潤(rùn)最大、路程最短、運(yùn)費(fèi)最少、效率最高等，需要建立函數(shù)模型，運(yùn)用方程(組)或不等式的知識(shí)進(jìn)行求解.知2－講感悟新知特別提醒◆解決含多個(gè)變量的問(wèn)題時(shí)，注意分析這些變量之間的關(guān)系，從中選取一個(gè)能影響其他變量的變量作為自變量，然后根據(jù)已知的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)，以此作為解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.◆選擇最佳方案實(shí)際上是在比較的基礎(chǔ)上完成的，它往往是將全部方案一一列舉出來(lái)，然后根據(jù)題意選擇一個(gè)最優(yōu)的方案.感悟新知知2－講2.用一次函數(shù)選擇方案的一般步驟(1)“析”：分析題意，弄清數(shù)量關(guān)系.(2)“列”：列出函數(shù)表達(dá)式、不等式或方程(組).(3)“求”：求出自變量取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小，或函數(shù)的最大(最小)值.(4)“選”：結(jié)合實(shí)際需要選擇最佳方案.注意：在選擇方案時(shí)，要考慮實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整數(shù)解)

.知2－練感悟新知例3[中考·襄陽(yáng)]某社區(qū)活動(dòng)中心為鼓勵(lì)居民加強(qiáng)體育鍛煉，準(zhǔn)備購(gòu)買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x

(

x≥2

)個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用.該社區(qū)附近A，B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元，每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)均為3元，目前兩家超市都在做促銷活動(dòng)：感悟新知知2－練A超市：所有商品均打九折(按標(biāo)價(jià)的90%

)銷售；B超市：買1副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球.設(shè)在A超市購(gòu)買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yA元，在B超市購(gòu)買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB

元.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：知2－練感悟新知解題秘方：緊扣標(biāo)價(jià)與折扣間的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型，用方程、不等式進(jìn)行分類討論.感悟新知知2－練(1)分別寫出yA

和

yB

與x

之間的函數(shù)表達(dá)式.解：由題意得

yA=(10×30+10×3

x)×0.9=27x+270(x

≥2

)，yB=10×30+10×3(

x－2)

=30x+240(

x

≥2)

.感悟新知知2－練(2)若該活動(dòng)中心只在一家超市購(gòu)買，你認(rèn)為在哪家超市購(gòu)買更劃算？解：當(dāng)yA=yB

時(shí)，27x+270=30x+240，得x=10；當(dāng)yA>yB時(shí)，27x+270>30x+240，得x<10；當(dāng)yA<yB

時(shí)，27x+270<30x+240，得x>10.∴當(dāng)2≤x<10時(shí)，在B超市購(gòu)買更劃算；當(dāng)x=10時(shí)，在兩家超市購(gòu)買費(fèi)用一樣；當(dāng)x>10時(shí)，在A超市購(gòu)買更劃算.感悟新知知2－練(3)若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案.解：由題意，若“只在一家超市購(gòu)買”，由于x=15>10，則到A超市購(gòu)買較省錢，此時(shí)yA=27

x+270=27×15+270=675.感悟新知知2－練注意本問(wèn)中沒有限制條件“只在一家超市購(gòu)買”，因此先在B超市購(gòu)買10副羽毛球拍，送20個(gè)羽毛球，然后在A超市購(gòu)買剩下的羽毛球，需(10×15－20

)×3×0.9=351

(元)，共需費(fèi)用10×30+351=651(元)

.感悟新知知2－練因?yàn)?51<675，所以最省錢的方案是先在B超市購(gòu)買10副羽毛球拍，送20個(gè)羽毛球，然后在A超市購(gòu)買130個(gè)羽毛球.思路點(diǎn)撥方案最優(yōu)問(wèn)題，往往是將所有的方案一一列舉，作出比較.本題選出花費(fèi)最少的方案為最優(yōu)方案.知2－練感悟新知技巧點(diǎn)撥解一次函數(shù)與方程、不等式綜合的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的方法：先讀懂題意，理解題干的條件和各個(gè)問(wèn)題的關(guān)系，并利用題目中的信息建立函數(shù)模型，根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系，建立方程、不等式模型；再分類討論，確定不同情況下自變量的取值范圍及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值范圍，從而得出不同范圍內(nèi)的方案.本例的解答運(yùn)用了分類討論思想，解答的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型.感悟新知知2－練

[三?！刂輂某工廠一天使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種零件，甲機(jī)器生產(chǎn)完5000個(gè)零件后發(fā)生了故障，修理了2小時(shí)，繼續(xù)工作.如圖12.4﹣2表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器的產(chǎn)量與時(shí)間的關(guān)系，已知乙機(jī)器在甲機(jī)器剛維修完后的產(chǎn)量恰好比甲機(jī)器的產(chǎn)量多1000個(gè).例4

知2－練感悟新知解題秘方：(1)由題知甲機(jī)器生產(chǎn)5000個(gè)后維修，可得m

的值，由點(diǎn)E

的坐標(biāo)可得乙機(jī)器的生產(chǎn)效率；知2－練感悟新知解：m=5000，乙機(jī)器的生產(chǎn)效率為1000個(gè)/時(shí).(1)請(qǐng)直接寫出m

的值和乙機(jī)器的生產(chǎn)效率；知2－練感悟新知解題秘方：

(2)根據(jù)圖象得出在b

小時(shí)時(shí)乙機(jī)器的產(chǎn)量比甲機(jī)器多1000個(gè)，列方程求解可得b

的值，由甲機(jī)器修理了2小時(shí)可得a

的值；知2－練感悟新知解：由題知在b

小時(shí)時(shí)乙機(jī)器的產(chǎn)量比甲機(jī)器多1000個(gè)，所以有1000b－5000=1000，解得b=6.所以a=b

－2=4．所以a=4，b=6.(2)求出a

和b的值；知2－練感悟新知解題秘方：

(3)可得甲機(jī)器修理前的生產(chǎn)效率為

5000÷4=1250(個(gè)/時(shí))，根據(jù)題意列式表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器的產(chǎn)量，令t

－

6=x，1－n%=y，根據(jù)n，t

的取值范圍得x≤9，0.9＜y

＜1，x，t，n

都為正整數(shù)，可得5xy

－4x

=4，則x

為5，6，7，再分類討論即可得．知2－練感悟新知(3)已知甲機(jī)器修理后生產(chǎn)效率降低n%(

n是小于10的正整數(shù))，當(dāng)甲總產(chǎn)量追上乙時(shí)，所用的時(shí)間t(小時(shí))恰好是整數(shù)，若機(jī)器一天內(nèi)工作不得超過(guò)15小時(shí)(包括維修時(shí)間)，請(qǐng)求出正整數(shù)n

的值．知2－練感悟新知解：由題易得，甲機(jī)器修理后的生產(chǎn)效率為1250(1－n%)個(gè)/時(shí)，當(dāng)甲追上乙時(shí)，(

t

－6)×1250(1－n%)+5000=1000t(

n

＜10)，且t≤15，令t－

6=x，所以x≤9.令1－

n%=y，所以0.9＜y

＜1，所以1250xy+5000=1000(6+x)，所以5xy

－4x

=4，知2－練感悟新知

知2－練感悟新知某縣大力發(fā)展獼猴桃產(chǎn)業(yè)，預(yù)計(jì)今年A地將采摘200噸，B地將采摘300噸.若要將這些獼猴桃運(yùn)到甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，已知甲倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，乙倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸，從A地運(yùn)往甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從A地運(yùn)往甲倉(cāng)庫(kù)的獼猴桃為x

噸，A，B兩地運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的獼猴桃費(fèi)用分別為yA

元和yB

元.例5知2－練感悟新知解法提醒當(dāng)調(diào)運(yùn)方案中涉及兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式時(shí)，要比較費(fèi)用的大小，一般要分三種情況利用不等式或方程分類討論求解；而要求得最省錢的調(diào)運(yùn)方案時(shí)，一般先根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系建立函數(shù)，然后利用一次函數(shù)的增減性確定出符合要求的最佳方案.知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“調(diào)運(yùn)過(guò)程中費(fèi)用間的關(guān)系”列出一次函數(shù)表達(dá)式，用比較法求解.知2－練感悟新知解：由題意得，從A地運(yùn)往乙倉(cāng)庫(kù)的獼猴桃為(200－x)噸，從B地運(yùn)往甲倉(cāng)庫(kù)的獼猴桃為(240－x)噸，從B地運(yùn)往乙倉(cāng)庫(kù)的獼猴桃為(60+x)噸.則yA=20x+25(200－x)=-5x+5000，

yB=15(240－x)+18(60+x)=3x+4680.(1)分別求出yA，yB

與x

之間的函數(shù)表達(dá)式；知2－練感悟新知技巧點(diǎn)撥求解調(diào)運(yùn)方案問(wèn)題，常借助表格來(lái)分析問(wèn)題，如本題，調(diào)運(yùn)情況如下表.甲乙總計(jì)Ax200－x200B240－x60+x

300總計(jì)240260500

知2－練感悟新知解：因?yàn)閥A

－yB=

(－5x+5000

)－(3x+4680

)=－8x+320，所以當(dāng)－8x+320＞0，即x

＜40時(shí)，B地的運(yùn)費(fèi)較少；當(dāng)－8x+320=0，即x=40時(shí)，兩地的運(yùn)費(fèi)一樣多；當(dāng)－8x+320＜0，即x＞40時(shí)，A地的運(yùn)費(fèi)較少.(2)試討論A，B兩地的運(yùn)費(fèi)哪個(gè)較少；知2－練感悟新知(3)考慮B地的經(jīng)濟(jì)承受能力，B地的獼猴桃運(yùn)費(fèi)不得超過(guò)4830元，在這種情況下，請(qǐng)問(wèn)怎樣調(diào)運(yùn)才能使兩地運(yùn)費(fèi)之和最少？求出最少運(yùn)費(fèi).知2－練感悟新知解：設(shè)兩地運(yùn)費(fèi)之和為W

元，則W=yA+yB=(－5x+5000)+(3x+4680)=－2x+9680，由3x+4680≤4830，解得x≤50，所以W

的最小值為－2×50+9680=9580.故當(dāng)A地運(yùn)往甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的獼猴桃分別為50噸、150噸，B地運(yùn)往甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的獼猴桃分別為190噸、110噸時(shí)，才能使兩地運(yùn)費(fèi)之和最少，最少運(yùn)費(fèi)是9580元.知2－練感悟新知特別警示由W=－2x+9680可知，W

隨x的增大而減小，切忌忽略第(3)問(wèn)對(duì)x取值范圍的限制，認(rèn)為x=200時(shí)滿足題意.感悟新知知2－練某公司推銷文化衫，設(shè)x(件)是推銷產(chǎn)品的數(shù)量，y(元)是付給推銷員的推銷費(fèi)，如圖12.4﹣3表示公司每月付給推銷員的推銷費(fèi)的兩種方案，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題.例6

知2－練感悟新知解題秘方：從圖象中獲取求函數(shù)表達(dá)式的信息并通過(guò)圖象信息選擇支付方案.知2－練感悟新知解：設(shè)這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式分別為y1=k1x(

k1≠0)，y2=k2x+b(

k2≠0).由y1

關(guān)于x

的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(30，600)，得600=30k1，解得k1=20，所以y1關(guān)于x

的函數(shù)表達(dá)式為y1=20x(

x≥0).由y2

關(guān)于x

的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，300)，點(diǎn)(30，600)，得b=300，600=30k2+b，解得k2=10，所以y2

關(guān)于x

的函數(shù)表達(dá)式為y2=10x+300(

x≥0).(1)分別求y1，y2

關(guān)于

x的函數(shù)表達(dá)式；知2－練感悟新知解：y1

的付費(fèi)方案是不推銷產(chǎn)品沒有推銷費(fèi)，每推銷1件產(chǎn)品得推銷費(fèi)20元；y2

的付費(fèi)方案是保底工資300元，另外每推銷1件產(chǎn)品再得推銷費(fèi)10元.(2)解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費(fèi)的；知2－練感悟新知解：①當(dāng)平均每月推銷產(chǎn)品的數(shù)量等于30件時(shí)，兩種方案都可以.②當(dāng)平均每月推銷產(chǎn)品的數(shù)量多于30件時(shí)，選擇y1

的付費(fèi)方案；③當(dāng)平均每月推銷產(chǎn)品的數(shù)量少于30件時(shí)，選擇y2

的付費(fèi)方案.(3)如果你是推銷員，應(yīng)如何選擇付費(fèi)方案？知2－練感悟新知思路點(diǎn)撥(1)由待定系數(shù)法結(jié)合特殊點(diǎn)求解即可；(2)根據(jù)兩直線與y軸的交點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際進(jìn)行分析；(3)根據(jù)業(yè)務(wù)能力，結(jié)合(2)中兩種方案的付費(fèi)方式進(jìn)行解答.感悟新知知2－練某商店銷售10臺(tái)A型電腦和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型電腦和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.例7知2－練感悟新知解法提醒在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)、最大銷量等問(wèn)題，解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出函數(shù)的表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)的增減性確定其最大值，且要注意自變量的取值范圍和問(wèn)題的實(shí)際意義.知2－練感悟新知解題秘方：從列方程組求方程組解中獲取求一次函數(shù)關(guān)系式的數(shù)據(jù)，并根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求方案.感悟新知知2－練(1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn)；

知2－練感悟新知詳解根據(jù)“銷售10臺(tái)A型電腦和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元”可得10a+20b=4000；根據(jù)“銷售20臺(tái)A型電腦和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元”可20a+10b=3500.感悟新知知2－練(2)該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍.設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x

臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y

元.①求y

關(guān)于x

的函數(shù)關(guān)系式；解：根據(jù)題意得y=100x+150

(100－x

)，即y=－50x+15000.感悟新知知2－練②該商店購(gòu)進(jìn)A型電腦、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？

感悟新知知2－練③實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m(0<m<100)元，且限定商店最多購(gòu)進(jìn)A型電腦70臺(tái).若商店保持兩種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及(2)中的條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)電腦銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案.知2－練感悟新知特別警示本題③中，容易忽視一次函數(shù)隨m

值變化，其增減性也發(fā)生變化，不會(huì)利用分類討論求解而產(chǎn)生錯(cuò)誤.感悟新知知2－練

知2－練感悟新知詳解y=(100+m)x+150·(100－x)=(100+m)x+15000－150x=(100+m－150)x+15000=(m－50)x+15000.感悟新知知2－練

感悟新知知2－練[中考·郴州]某工廠有甲種原料130kg，乙種原料144kg，現(xiàn)用這兩種原料生產(chǎn)出A，B兩種產(chǎn)品共30件，已知生產(chǎn)每件A產(chǎn)品需甲種原料5k