七年級數(shù)學(xué)（第三章 一次方程與方程組）3.2 一元一次方程的應(yīng)用（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

3.2一元一次方程的應(yīng)用第三章一次方程與方程組學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1建立一元一次方程模型解決實(shí)際問題等積變形問題行程問題儲蓄問題銷售問題配套問題工程問題逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)流程2知1－講感悟新知知識點(diǎn)建立一元一次方程模型解決實(shí)際問題11.列一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟(1)弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y(表示問題里的未知數(shù)；(2)分析題意，找出相等關(guān)系(可借助于示意圖、表格等)；感悟新知(3)根據(jù)相等關(guān)系，列出需要的代數(shù)式，并列出方程；(4)解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值；(5)檢查所得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答案(包括單位名稱)

.知1－講感悟新知知1－講特別提醒列一元一次方程解決實(shí)際問題時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：1.恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)可以簡化運(yùn)算，且單位要統(tǒng)一.2.題中的相等關(guān)系不一定只有一個(gè)，要根據(jù)具體情況選擇；3.求出方程的解后要檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)所求出的解是不是方程的解，又要檢驗(yàn)所求出的解是否符合實(shí)際意義.感悟新知2.常見的兩種基本相等關(guān)系(1)總量與分量關(guān)系問題：總量=各分量的和；(2)余缺問題：表示同一個(gè)量的兩個(gè)不同的式子相等.知1－講知1－練感悟新知利用方程解答下列問題：(1)

x

的3倍與2的和等于x的2倍與1的差，求x

的值；(2)已知整式－3x+2與2x

－1的值互為相反數(shù)，求x

的值.例1知1－練感悟新知解題秘方：直接根據(jù)文字中提示的相等關(guān)系列出方程，求出未知數(shù)的值.知1－練感悟新知解：(1)列方程，得3x+2=2x

－1.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x=－3.(2)根據(jù)題意，得－3x+2+2x

－1=0.移項(xiàng)，得－3x+2x=－2+1.合并同類項(xiàng)，得－x=－1.系數(shù)化為1，得x=1.感悟新知方法點(diǎn)撥列方程解決文字題時(shí)，有的已直接反映了相等關(guān)系；也有的相等關(guān)系通過其他文字揭示，如“互為相反數(shù)”，即兩個(gè)量的和為0等.知1－練知1－練感悟新知某校七年級200名學(xué)生分別到甲、乙兩個(gè)紀(jì)念館參觀，其中到甲紀(jì)念館參觀的學(xué)生人數(shù)比到乙紀(jì)念館參觀的學(xué)生人數(shù)的2倍少10名，問到乙紀(jì)念館參觀的學(xué)生有多少名？例2

知1－練感悟新知解題秘方：用分量的和等于總量列出方程，解決問題.解：設(shè)到乙紀(jì)念館參觀的學(xué)生有x

名，則到甲紀(jì)念館參觀的學(xué)生有(2x－10)名.根據(jù)題意，得2x－10+x=200.解得x=70.答：到乙紀(jì)念館參觀的學(xué)生有70名.感悟新知方法點(diǎn)撥列一元一次方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是審題，尋找相等關(guān)系.知1－練知1－練感悟新知[期末·南京]某制造工廠計(jì)劃若干天完成一批玩具的訂貨任務(wù)，如果每天生產(chǎn)玩具20個(gè)，那么就比訂貨任務(wù)少生產(chǎn)100個(gè)；如果每天生產(chǎn)玩具23個(gè)，那么就可超過訂貨任務(wù)20個(gè)，求原計(jì)劃幾天完成任務(wù).例3知1－練感悟新知解題秘方：不管是余是缺，總量不變是列方程的關(guān)鍵．解：設(shè)原計(jì)劃x

天完成任務(wù).依題意得20x+100=23x－20.解得x=40．答：原計(jì)劃40天完成任務(wù)．感悟新知解法提醒“余”是分配中的多余情況，“缺”是分配中的缺少情況，有的題目不會出現(xiàn)“余”或“缺”的字樣，余缺問題中，一般會給出兩個(gè)條件：什么情況下會“余”，“余”多少；什么情況下會“缺”，“缺”多少.知1－練知1－練感悟新知[期中·武漢]列一元一次方程解決下列問題：某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t；如用新工藝，則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100t，新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5，兩種工藝的廢水排量各是多少？環(huán)保限制的最大量是多少？例4

知1－練感悟新知解題秘方：未知的量若以比例的形式出現(xiàn)，則解決問題的關(guān)鍵是求出單位量，通過設(shè)單位量表示總量列方程．知1－練感悟新知解：設(shè)用新工藝的廢水排量為2xt，則用舊工藝的廢水排量為5xt.依題意，得2x+100=5x－200.解得x=100.所以2x=200，5x=500，2x+100=300．答：用新工藝的廢水排量為200t，用舊工藝的廢水排量為500t，環(huán)保限制的最大量是300t．感悟新知方法點(diǎn)撥在比例問題中設(shè)未知數(shù)的方法：遇到比例問題時(shí)，一般先設(shè)1份為未知數(shù)，再用含未知數(shù)的式子表示相關(guān)的量.如當(dāng)已知新工藝的廢水排量∶舊工藝的廢水排量=2∶5時(shí)，可以設(shè)新工藝的廢水排量為2xt，則舊工藝的廢水排量為5xt.知1－練知1－練感悟新知一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字和為9，如果把這個(gè)兩位數(shù)加上63，那么恰好成為原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后組成的兩位數(shù)，求原來的兩位數(shù).例5知1－練感悟新知解題秘方：用各數(shù)位上的數(shù)字表示原數(shù)和新數(shù)，利用兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系列方程.知1－練感悟新知解：設(shè)原來的兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為9－x.根據(jù)題意，得10(9－x)

+x+63=10x+9－x.解得x=8.所以9－x=1.答：原來的兩位數(shù)是18.知1－練感悟新知教你一招：巧設(shè)元解數(shù)字問題的方法：(1)連續(xù)數(shù)設(shè)中間；(2)多位自然數(shù)設(shè)一位；(3)數(shù)字換位設(shè)部分；(4)小數(shù)點(diǎn)移動直接設(shè)；(5)數(shù)字成比例設(shè)比值；(6)特殊關(guān)系特殊設(shè).感悟新知知識儲備用式子表示多位數(shù)時(shí)，這個(gè)多位數(shù)=個(gè)位數(shù)字×1+十位數(shù)字×10+百位數(shù)字×100+千位數(shù)字×1000+萬位數(shù)字×10000+…，如一個(gè)五位數(shù)，個(gè)位、十位、百位、千位、萬位上的數(shù)字分別為a，b，c，d，e，則這個(gè)數(shù)可表示為10000e+1000d+100c+10b+a

或104e+103d+102c+10b+a.知1－練感悟新知知2－講知識點(diǎn)等積變形問題21.等積變形指圖形或物體的形狀發(fā)生變化，但變化前后的面積或體積不變.等積變形問題中的等量關(guān)系：變化前圖形的面積或物體的體積=變化后圖形的面積或物體的體積.感悟新知知2－講2.易錯(cuò)警示等積變形問題中涉及求圓柱體積時(shí)，會用到圓柱底面半徑，讀題時(shí)要看清題目中所給條件是直徑還是半徑.知2－講感悟新知

感悟新知知2－練將裝滿水的底面直徑為40cm，高為60cm的圓柱形水桶里的水全部灌于另一個(gè)底面直徑為50cm的圓柱形水桶里(水不會溢出)，這時(shí)水面的高度是多少厘米？例6

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“容器改變但水的體積沒有變”這一等量關(guān)系解決問題.知2－練感悟新知

感悟新知方法點(diǎn)撥等積變形中，類似的問題還有相同體積的水注入不同形狀的容器中，雖然容器的形狀不同，但水的體積沒有改變.知2－練感悟新知知3－講知識點(diǎn)行程問題31.行程問題中的基本關(guān)系式路程=速度×?xí)r間，時(shí)間=路程÷速度，速度=路程÷時(shí)間.感悟新知知3－講2.行程問題中的相等關(guān)系(1)相遇問題中的相等關(guān)系：①若甲、乙相向而行，甲走的路程+乙走的路程=甲、乙出發(fā)點(diǎn)之間的路程；②若甲、乙同時(shí)出發(fā)，甲用的時(shí)間=乙用的時(shí)間.感悟新知知3－講(2)追及問題中的相等關(guān)系：①快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；②若同時(shí)出發(fā)，快者追上慢者時(shí)，快者用的時(shí)間=慢者用的時(shí)間.(3)

航行問題中的相等關(guān)系：順?biāo)?順風(fēng))速度=靜水(無風(fēng))速度+水(風(fēng))速度；逆水(逆風(fēng))速度=靜水(無風(fēng))速度－水(風(fēng))速度.知3－講感悟新知特別提醒1.在行程問題的三個(gè)量(路程、速度、時(shí)間)中，一個(gè)量已知，另一個(gè)量設(shè)元，則第三個(gè)量用來列方程.2.在相遇和追及問題中，若兩者同時(shí)出發(fā)，則時(shí)間相等，利用兩者路程之間的關(guān)系列方程.3.航行問題中涉及順和逆的問題，只要路線相同，則路程不變.知3－練感悟新知甲站和乙站相距1500km，一列慢車從甲站開出，速度為60km/h，一列快車從乙站開出，速度為

90km/h.例7解題秘方：根據(jù)相遇和追及問題中路程之間的關(guān)系列出方程.感悟新知知3－練(1)若兩車相向而行，慢車先開30min，快車開出幾小時(shí)后兩車相遇？

感悟新知知3－練(2)若兩車同時(shí)開出，背向而行，多少小時(shí)后兩車相距1800km？解：設(shè)yh后兩車相距1800km.由題意，得60y+90y+1500=1800.解得y=2.答：2h后兩車相距1800km.感悟新知知3－練(3)若兩車同時(shí)開出，快車在慢車后面同向而行，多少小時(shí)后兩車相距1200km

(此時(shí)快車在慢車的后面)？解：設(shè)zh后兩車相距1200km

(此時(shí)快車在慢車的后面).由題意，得60z+1500－90z=1200.解得z=10.答：10h后兩車相距1200km

(此時(shí)快車在慢車的后面).知3－練感悟新知思路分析(1)設(shè)快車開出

xh后兩車相遇.列表：相等關(guān)系：慢車行駛的路程+快車行駛的路程=1500km.或畫線段示意圖，如圖3.2-1.慢車快車路程/km90x速度/(km/h)6090時(shí)間/hx

知3－練感悟新知(2)設(shè)yh后兩車相距1800km.列表：相等關(guān)系：兩車行駛的路程和+1500km=1800km.或畫線段示意圖，如圖3.2-2.慢車快車路程/km60y90y速度/

(km/h)6090時(shí)間/hyy

知3－練感悟新知(3)設(shè)zh后兩車相距1200km(此時(shí)快車在慢車的后面).相等關(guān)系：慢車行駛的路程+1500km－快車行駛的路程=1200km.知3－練感悟新知方法點(diǎn)撥：(1)分析行程問題時(shí)，可借助圖示、列表來分析數(shù)量關(guān)系，圖示可直觀地找出路程之間的關(guān)系，列表可將路程、速度、時(shí)間的關(guān)系清晰地展示出來.知3－練感悟新知(2)本例是求時(shí)間，我們可設(shè)時(shí)間為未知數(shù)，從路程找相等關(guān)系；如果要求的是路程，那么我們可設(shè)路程為未知數(shù)，從時(shí)間找相等關(guān)系，其依據(jù)是路程、速度和時(shí)間三者間的關(guān)系.如(1)小題若將“幾時(shí)后兩車相遇”改為“相遇時(shí)快車行駛了多少千米”，如果間接設(shè)未知數(shù)，原解題過程不變，將x求出后，再求出90x

的值即可，如果直接設(shè)未知數(shù)，解題過程改為：設(shè)相遇時(shí)快車行駛了mkm.知3－練感悟新知

路程/km速度/(km/h)時(shí)間/h慢車1500－m60快車m90

知3－練感悟新知小李和爸爸周末去體育中心晨練，兩人沿400m的跑道勻速跑步，每次總是小李跑了2圈爸爸跑3圈，一次兩人在同地反向而跑，小李最后發(fā)現(xiàn)隔了32s兩人第一次相遇．例8

知3－練感悟新知解題秘方：可將環(huán)形中的相遇或追及問題轉(zhuǎn)化為直線形中的相遇或追及問題．知3－練感悟新知方法點(diǎn)撥環(huán)形運(yùn)動問題中的相等關(guān)系(同時(shí)同地出發(fā))：(1)同向相遇：第一次相遇快者跑的路程－

第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的長度；(2)反向相遇：第一次相遇快者跑的路程+第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的長度.感悟新知知3－練(1)求兩人的速度.解：設(shè)小李的速度為2xm/s，則爸爸的速度為3xm/s．根據(jù)題意得32(2x+3x)

=400.解得x=2.5.所以2x=5，3x=7.5．答：小李的速度為5m/s，爸爸的速度為7.5m/s.感悟新知知3－練(2)若小李和爸爸在同地同向而跑，則過多久兩人首次相遇？解：設(shè)過了ts兩人首次相遇．根據(jù)題意得7.5t－5t=400.解得t=160．答：過了160s兩人首次相遇．感悟新知知3－練一列火車勻速行駛經(jīng)過一座橋，火車完全通過橋共用了50s，整列火車在橋上的時(shí)間為30s，已知橋長

1200m，求火車的長度和速度.例9解題秘方：理解“完全通過橋”和“整列火車在橋上”時(shí)火車的運(yùn)動過程，根據(jù)火車行駛的速度不變列方程.知3－練感悟新知路程/m時(shí)間/s速度/(m/s)完全通過橋1200+x50整列火車在橋上1200－x30解：設(shè)火車的長度為x

m.列表：相等關(guān)系：完全通過橋的速度=整列火車在橋上的速度.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知方法歸納1.火車過橋問題的圖形表示：火車“完全通過橋”是指從火車頭上橋到火車尾離橋，如圖3.2-3；而“整列火車在橋上”是指火車尾上橋到火車頭離橋，如圖3.2-4.知3－練感悟新知2.兩列火車錯(cuò)車問題的相等關(guān)系：相向：兩列火車所行路程的和=兩列火車車身長的和；同向：兩列火車所行路程的差=兩列火車車身長的和.感悟新知知4－講知識點(diǎn)儲蓄問題41.概念儲戶存入銀行的錢叫做本金，銀行付給儲戶的酬金叫做利息，本金和利息的和叫做本息和，每個(gè)時(shí)期利息與本金的比叫做利率.感悟新知知4－講

知4－講感悟新知特別警示儲蓄問題中應(yīng)注意的問題：(1)計(jì)算利息時(shí)不要忘記乘期數(shù)；(2)要注意區(qū)分給出的是年利率還是月利率.感悟新知知4－練為了準(zhǔn)備婷婷6年后上大學(xué)的費(fèi)用50000元，她的父親現(xiàn)在就開始進(jìn)行教育儲蓄，利率如表所示.例10

教育儲蓄年利率1年2.25%3年2.70%6年2.88%

感悟新知知4－練下面有兩種儲蓄方式：(1)先存一個(gè)3年期的，3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個(gè)3年期；(2)

直接存一個(gè)6年期的.你認(rèn)為哪種儲蓄方式開始時(shí)需要存入的本金比較少？感悟新知易錯(cuò)警示本題自動轉(zhuǎn)存時(shí)本金發(fā)生了變化，不再是原始的本金，而是3年后的本息和.存3年要用3年的年利率2.70%，存6年要用6年的年利率2.88%，不要代錯(cuò).知4－練知4－練感悟新知解題秘方：利用本金、利率、期數(shù)、利息、本息和之間的等量關(guān)系列方程分別求出兩種方式的存入金額，比較判斷即可.知4－練感悟新知解：如果按第一種儲蓄方式，設(shè)開始存入x

元.根據(jù)題意，得x(1+2.70%×3)

·(1+2.70%×3)

=50000.解得x≈42788.如果按第二種儲蓄方式，設(shè)開始存入y

元.根據(jù)題意，得y+y×2.88%×6=50000.解得y≈42633.因?yàn)?2633<42788，所以按第二種儲蓄方式開始時(shí)需要存入的本金比較少.感悟新知知5－講知識點(diǎn)銷售問題51.在現(xiàn)實(shí)生活中，購買商品和銷售商品時(shí)，經(jīng)常遇到的幾個(gè)量：進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、折扣、利潤、利潤率.感悟新知知5－講

知5－講感悟新知知識儲備1.利潤率是相對于進(jìn)價(jià)而言的，是利潤占進(jìn)價(jià)的百分比.2.在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上打折時(shí)，打幾折，售價(jià)等于標(biāo)價(jià)乘十分之幾.3.利潤的兩種計(jì)算方式是常用到的相等關(guān)系：售價(jià)－進(jìn)價(jià)=進(jìn)價(jià)×利潤率.感悟新知知5－練[中考·牡丹江]某種商品每件的進(jìn)價(jià)為120元，標(biāo)價(jià)為180元．為了提高銷量，商店準(zhǔn)備打折銷售．若使利潤率為20%，則商店應(yīng)打_______折．例11感悟新知

知5－練知5－練感悟新知解題秘方：根據(jù)“利潤=售價(jià)－進(jìn)價(jià)”列出方程即可求解．

答案：八感悟新知知5－練某商場以每件80元的價(jià)格購進(jìn)了某品牌襯衫500件，并以每件120元的價(jià)格銷售了400件，商場準(zhǔn)備采取促銷措施，將剩下的襯衫降價(jià)銷售.則每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，銷售完這批襯衫正好達(dá)到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)？例12

知5－練感悟新知解題秘方：根據(jù)計(jì)算銷售總額的兩種方式列出方程.解：設(shè)每件襯衫降價(jià)x

元.根據(jù)題意，得120×400+(500－400)×(120－x)

=500×80×(1+45%)

.解得x=20.答：每件襯衫降價(jià)20元時(shí)，銷售完這批襯衫正好達(dá)到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)．感悟新知知識儲備當(dāng)涉及銷售總額的銷售問題時(shí)，銷售總額有兩種計(jì)算方法：(1)銷售總額=單個(gè)售價(jià)×銷售量；(2)銷售總額=成本×(

1+盈利率).知5－練感悟新知知5－練某商店將兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的豆?jié){機(jī)都賣了378元，其中一個(gè)盈利20%，另一個(gè)虧損20%，那么這家商店是盈利還是虧損？盈利或虧損多少元？例13知5－練感悟新知解題秘方：根據(jù)進(jìn)價(jià)高于售價(jià)則虧損，進(jìn)價(jià)低于售價(jià)則盈利，進(jìn)價(jià)等于售價(jià)則不盈不虧進(jìn)行判斷.知5－練感悟新知解：設(shè)盈利20%的豆?jié){機(jī)的進(jìn)價(jià)為x

元.由題意，得(1+20%)

x=378，解得x=315.設(shè)虧損20%的豆?jié){機(jī)的進(jìn)價(jià)為y

元.由題意，得(1－20%)

y=378，解得y=472.5.所以這兩個(gè)豆?jié){機(jī)的進(jìn)價(jià)和是315+472.5=787.5(元)

.因?yàn)檫@兩個(gè)豆?jié){機(jī)共賣了378×2=756(元)，且756－787.5=－31.5(元)，所以這家商店是虧損的，虧損了31.5元.感悟新知方法點(diǎn)撥當(dāng)售價(jià)相同，盈利率與虧損率也相同時(shí)，其結(jié)果一定是虧損，因?yàn)橛唐返倪M(jìn)價(jià)一定小于售價(jià)，虧損商品的進(jìn)價(jià)一定大于售價(jià)，而盈利的錢數(shù)=盈利商品的進(jìn)價(jià)×盈利率，虧損的錢數(shù)=虧損商品的進(jìn)價(jià)×虧損率，故虧損的錢數(shù)大于盈利的錢數(shù).知5－練感悟新知知6－講知識點(diǎn)配套問題61.在配套問題中，配套的物品之間都具有一定的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系可以作為列方程的依據(jù).感悟新知知6－講2.生產(chǎn)配套問題中的基本相等關(guān)系加工(或生產(chǎn))的各種零件、配件的總數(shù)量比等于一套組合件中各種零件、配件的數(shù)量比.感悟新知知6－講3.調(diào)配問題中的基本相等關(guān)系指從甲處調(diào)一些人(或物)到乙處，使之符合一定的數(shù)量關(guān)系，或從第三方調(diào)入一些人(或物)到甲、乙兩處，使之符合一定的數(shù)量關(guān)系，其基本相等關(guān)系為：甲人(或物)數(shù)+乙人(或物)

數(shù)=總?cè)?

或物)數(shù).知6－講感悟新知知識鏈接1.列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審→設(shè)→列→解→驗(yàn)→答.2.配套問題中的關(guān)鍵詞語“剛好”與“最多”要認(rèn)真區(qū)別.感悟新知知6－練[期末·重慶]某制造“機(jī)器人”的車間有28名工人，每人每天可以生產(chǎn)“機(jī)器人”的機(jī)殼500個(gè)或機(jī)腳800個(gè)．1個(gè)機(jī)殼需要配4個(gè)機(jī)腳，為使每天生產(chǎn)的機(jī)殼和機(jī)腳剛好配套．應(yīng)安排生產(chǎn)機(jī)殼和機(jī)腳的工人各多少名？例14

感悟新知解法提醒生產(chǎn)配套問題的關(guān)鍵是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出現(xiàn)，則生產(chǎn)總量的比例等于一套的比例；若配套的方式給出數(shù)量，如m件A

產(chǎn)品與n

件B產(chǎn)品配套，則相等關(guān)系是“A產(chǎn)品的件數(shù)×n=B

產(chǎn)品的件數(shù)×m.”知6－練知6－練感悟新知解題秘方：解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的相等關(guān)系．解：設(shè)安排x

名工人生產(chǎn)機(jī)殼，則安排(28－x)名工人生產(chǎn)機(jī)腳.依題意，得4×500x=800(28－x).解得x=8．則28－x=20.答：應(yīng)安排8名工人生產(chǎn)機(jī)殼，安排20名工人生產(chǎn)機(jī)腳．感悟新知知6－練學(xué)校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人，現(xiàn)調(diào)20人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)是在乙處植樹人數(shù)的2倍，應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處各多少人？例15解題秘方：此類問題多用列表法找相等關(guān)系.知6－練感悟新知

原有人數(shù)增加人數(shù)現(xiàn)有人數(shù)甲處23x