小波分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)

第8章小波分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)本文檔節(jié)選自：Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，卓金武等編著，北航出版社，2023年4月出版8.1小波分析根本理論8.1.1Fourier變換的局限性8.1.1.1我們把那些定義域和因變域都不是數(shù)值或常量的函數(shù)稱為變換或算子，它們是定義域和值域本身為函數(shù)集的函數(shù)，如傅里葉變換〔FourierTransform〕和拉普拉斯變換〔LaplaceTransform〕，其定義域是時間的函數(shù)，而因變域是頻率的函數(shù)。簡單地說，變換的根本思想仍然是映射，變換是函數(shù)的函數(shù)。8.1.1.2Fourier信號分析的主要目的是尋找一種簡單有效的信號變換方法，使信號包含的重要特征能顯示出來。在小波變換興起之前，F(xiàn)ourier級數(shù)展開和Fourier分析是刻畫函數(shù)空間、求解微分方程、進(jìn)行數(shù)學(xué)計算的有效方法和有效的數(shù)學(xué)工具。從物理直觀上看，一個周期性振動的量可以看成是具有簡單頻率的簡諧振動的疊加。Fourier級數(shù)展開那么是這一物理過程的數(shù)學(xué)描述，F(xiàn)ourier變化和Fourier逆變換公式如下：函數(shù)的連續(xù)Fourier變換定義為的Fourier逆變換定義為從公式上看，F(xiàn)ourier變換是域變換，它把時間域和頻率域聯(lián)系起來，在時間域上難以觀察到的現(xiàn)象和規(guī)律，在頻域往往能十分清楚地顯示出來。頻譜分析的本質(zhì)就是對的加工、分析和濾波等處理。Fourier變換是平穩(wěn)信號分析的最重要的工具。然而在實(shí)際運(yùn)用中，所遇到的信號大多數(shù)并不平穩(wěn)，而是時變頻率信號，這時人們需要知道信號在突變時刻所對應(yīng)的頻率成分，顯然Fourier變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)過程的突變局部，作為積分核的幅值在任何情況下均為1，因此，在頻譜的任一頻點(diǎn)值是由時間過程在整個時間域上上的奉獻(xiàn)決定的；反之，時間過程在某一時刻的狀態(tài)也是由在整個頻率域上奉獻(xiàn)決定的。也就是說，F(xiàn)ourier變換是整體變換，只能反映信號的整體特征，而對信號的局部〔奇異性〕反映不敏感，對描述信號劇烈震蕩的細(xì)節(jié)無能為力[1]。1946年諾貝爾獎獲得者D.Gabor引入了短時傅里葉變換(Short-timeFourierTransform)，雖然短時傅里葉變換隨著窗口在時間軸上滑動可以摳取頻譜上的所有信息，但從本質(zhì)上講，短時傅里葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法，因?yàn)樗褂靡粋€固定的短時窗函數(shù)〔常用Gauss函數(shù)〕，窗口大小缺乏自適應(yīng)功能，窗口位置可以移動，但是形狀不能改變。下面以聲波為例來說明傅里葉變換的局限性。聲音的特征與振幅、時間、頻率以及波形有關(guān)聯(lián)。音強(qiáng)對應(yīng)于振幅大??；音長對應(yīng)于聲波持續(xù)時間；音高對應(yīng)于頻率上下；音質(zhì)不同時波形有別。Fourier變換無法反映信號在哪一時刻有高音，在哪一時刻有低音，因此所有的音符都擠在了一起。小波變換有效地克服了Fourier變換的這一缺點(diǎn)，信號變換到小波域后，小波不僅能檢測到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號相對應(yīng)。可以非常直觀地知道什么時候發(fā)出了什么頻率的音符，如圖8-1所示。圖8-1聲音信號經(jīng)過Fourier變換和Wavelet變換8.1.2伸縮平移和小波變換從事石油信號處理的法國工程師J.Morlet在研究地下巖石油層分布時，于1974年首先提出了小波變換的概念，并且J.Morlet構(gòu)建了光滑柔性的、時頻域局部性能都較好的Morlet小波函數(shù)。數(shù)學(xué)家Meyer，Mallat，Daubechies，K.Chui等人的工作為小波分析的誕生和開展奠定了根底[2]。同時計算機(jī)的開展，也為小波分析的成長提供了有利土壤，有些不能用解析式表示的小波，借助于計算機(jī)得到了廣泛的應(yīng)用。小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。小波分析的核心是小波函數(shù)的構(gòu)建和多尺度分析。小波函數(shù)的主要特質(zhì)是快速衰減性和震蕩性，其子函數(shù)都是相互正交。這里正交的概念不是狹義上的垂直，而是指不能用任意個子小波來表征第個子小波〔假設(shè)母小波函數(shù)經(jīng)過伸縮平移得到個子小波〕。就像平面向量永遠(yuǎn)無法表征立體向量一樣。8.1.2小波(Wavelet)是由英文單詞“Wave〞和“小〞的后綴“-let〞構(gòu)成，表示的是一種長度有限，平均值為0的波形。小波函數(shù)確實(shí)切定義為：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，假設(shè)其Fourier變換滿足條件：〔8-1〕那么稱為一個根本小波、母小波或者容許小波，我們稱式〔8-1〕為小波函數(shù)的可容許條件。表示滿足的函數(shù)空間。更一般地，表示滿足的函數(shù)空間。小波有兩個根本特點(diǎn)：一是“小〞，在空間內(nèi)，我們常選取緊支集或近似緊支集〔具有時域的局限性〕且具有正那么性〔具有頻域的局限性〕的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)做為小波母函數(shù)，這樣的小波母函數(shù)在時頻域都會具有較好的局部特性，即快速衰減性。二是正負(fù)交替的“波動性〞，也即直流分量為零，即震蕩性。如以下圖8-2中圖〔a〕正弦函數(shù)不是小波函數(shù)因?yàn)樗痪哂锌焖偎p性，是無限延伸的；而圖〔b〕也不是小波函數(shù)因?yàn)樗炔痪哂姓?fù)交替的震蕩性也不具有衰減性；圖〔c〕和圖〔d〕為小波函數(shù)，分別是4階復(fù)Gaussian小波的實(shí)部和虛部局部的函數(shù)圖像。圖8-2波形示意圖8.1.2.2將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到子函數(shù)：,,〔8-2〕我們稱為依賴于參數(shù),的小波家族子函數(shù)。上式中，為伸縮因子，用來控制家族子小波圖像的“體形〞〔“胖瘦〞和“高矮〞〕，為平移因子，用來控制小波子函數(shù)的中心位置。由于尺度因子和平移因子是連續(xù)變化的值，因此稱為連續(xù)小波函數(shù)基。它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移得到的一組函數(shù)序列。以下圖8-3為Morlet小波經(jīng)伸縮平移后得到的幾何圖像。圖8-3Morlet小波母函數(shù)經(jīng)過伸縮平移在時頻域的圖像關(guān)于式〔8-2〕兩點(diǎn)說明：〔1〕由同一母小波經(jīng)過伸縮和平移得到的小波家族子函數(shù)序列均是相互正交的?！?〕而不是是為了使所有子小波以及其母函數(shù)具有相等的能量。8.1.2定義符號為內(nèi)積運(yùn)算符。假設(shè)在區(qū)間定義兩個連續(xù)時間實(shí)能量信號和，那么此兩個信號的內(nèi)積表達(dá)式為：。連續(xù)信號在小波基下展開稱為連續(xù)小波變換〔ContinueWaveletTransform，CWT〕，其表達(dá)式為：其中，是的共軛函數(shù)。所謂“共軛〞就是實(shí)部相同虛部相反。顯然，當(dāng)為實(shí)小波函數(shù)時，有：。8.1.3小波變換入門和多尺度分析8.1.3.1小波變換的入門小波知識艱深難懂,一般初學(xué)者難以掌握小波分析的核心思想,孫延奎教授編著的文獻(xiàn)[3]將小波本質(zhì)解說的簡明透徹，通俗易懂，讀者可以系統(tǒng)參閱一下。設(shè)是一個由兩個元素組成的信號，定義這兩個元素的平均和細(xì)節(jié)為:那么可將作為原信號另一種表示，且原信號可由恢復(fù)如下：信號是的線性變換結(jié)果，可以看出，當(dāng)與非常接近時，會很小，這時可近似地用來表示，由此實(shí)現(xiàn)信號的壓縮。重構(gòu)信號為，誤差信號為。特別地，當(dāng)時，，這時可以實(shí)現(xiàn)信號的無損重構(gòu)。這說明，平均值可以看成是原信號的整體信息，而可以看成是用表示原始信號所喪失的細(xì)節(jié)信息。用近似地表示可以實(shí)現(xiàn)信號壓縮，而且喪失的很小細(xì)節(jié)信息對最終信號的重構(gòu)不會造成影響。對于較多元素的信號，通過如下平均和細(xì)節(jié)運(yùn)算，平均：細(xì)節(jié)：可得到原信號的另一種表示。假設(shè)細(xì)節(jié)信號都很小，那么喪失細(xì)節(jié)信號，可得壓縮后的信號為。用類似的方法對壓縮后的信號進(jìn)行壓縮：平均：細(xì)節(jié)：如果都非常小，那么我們可以用代替原信號。事實(shí)上，即為整個信號所有元素的平均值，它保存了信號最根本的信息。易知，由可以重構(gòu)，由和可以重構(gòu)，于是，由可恢復(fù)，故我們找到了原信號序列的另一種表示：。該序列稱為原始序列的小波變換。為表達(dá)小波分析中多分辨率表示的思想，我們稱原信號為最高分辨率信息，而根據(jù)求平均與細(xì)節(jié)的不同層次將平均信息〔也稱為低頻信息〕與細(xì)節(jié)信息〔也稱為高頻信息〕與分辨率聯(lián)系起來，具體如下：----最高分辨率信息；----次高分辨率低頻信息；----次高分辨率細(xì)節(jié)信息；----最低分辨率低頻信息；----最低分辨率細(xì)節(jié)信息；那么，的小波變換由信號整體平均以及兩個不同分辨率級的細(xì)節(jié)信息組成，因而是的一個多分辨率表示。信號的小波變換過程可以用金字塔(Mallat)算法表示，Mallat算法是小波變換的快速算法。以為例，它的金字塔算法如圖8-3所示。----最低分辨率低頻信息；----最低分辨率細(xì)節(jié)信息；----次高分辨率低頻信息；----次高分辨率細(xì)節(jié)信息；----最高分辨率信息；圖8-4簡易塔式算法上述方法精準(zhǔn)而形象地表現(xiàn)出了小波多尺度分析的根本思想,實(shí)際工程應(yīng)用的小波變換過程與上述算法是不同的，但是上面算法很忠實(shí)地表現(xiàn)了小波分析的根本理念，理解它再去理解小波分析，思路就會豁然開朗。8.1.3首先看一個例子。用haar小波兩層子小波函數(shù)和尺度函數(shù)逼近〔重構(gòu)〕信號。haar小波是最簡單的小波，它的尺度函數(shù)在[01]閉區(qū)間等于1，小波母函數(shù)在[00.5〕半閉區(qū)間等于1，在[0.51]閉區(qū)間等于-1，如以下圖8-5所示：圖8-5Haar小波尺度函數(shù)和小波母函數(shù)符號約定[4]：第層且平移個單位的尺度函數(shù)；第層且平移個單位的小波函數(shù)；第層且平移個單位的尺度系數(shù)；第層且平移個單位的小波系數(shù)；顯然，當(dāng)時，和表示的是拉伸平移之前的尺度函數(shù)和母小波函數(shù)。為了得到各層小波系數(shù)、尺度系數(shù)以及對信號進(jìn)行重構(gòu)，根據(jù)連續(xù)小波變換的定義，將和與連續(xù)信號作內(nèi)積：類似地有：那么原信號可以表示為：即：那么，用haar小波逼近的效果如以下圖8-6所示：圖8-6haar小波逼近效果更一般地，假設(shè)連續(xù)信號位于空間，那么可以分解到以下空間[5]：“〞表示的是“直和〞之意，它有兩重意思。以為例，表示和都是的子集，且與是相互正交。這里的和分別表示低頻概貌和高頻細(xì)節(jié)所在的子空間。對連續(xù)信號進(jìn)行采樣后，對這個信號進(jìn)行小波多尺度分解，其實(shí)質(zhì)就是把采集到的信號分成兩個局部，即高頻局部和低頻局部，而低頻局部通常包含了信號的主要信息，高頻局部那么是信號的細(xì)節(jié)信息，常常與噪聲和擾動信息聯(lián)系在一起。根據(jù)實(shí)際需要，可以繼續(xù)對所得的低頻局部進(jìn)行再分解。信號分解的層數(shù)不是任意的，對于長度為的信號最多分解成層。8.1.4小波窗函數(shù)自適應(yīng)分析把小波看成一個窗函數(shù)，利用時間—頻率窗來理解小波變換的時頻局部化能力[6~8]。其中，表示取模運(yùn)算，表示空間內(nèi)的范數(shù)，在中，范數(shù)設(shè)小波母函數(shù)具有有限支撐即小波函數(shù)能量集中的區(qū)間，那么稱(8-3)為時窗中心。稱(8-4)為時窗半徑，稱(8-5)為頻窗中心，稱(8-6)為頻窗半徑。下面計算的時窗和頻窗中心及半徑。利用小波函數(shù)的根本原理，容易知道。由式〔8-3〕~式〔8-6〕，得(8-7)式中，是的窗中心。(8-8)式中，是的窗半徑。類似地，有于是有(8-9)式中，是的窗中心。(8-10)用緊支集或快速衰減為零的乘以信號，可以形象地稱為將信號開了一個窗。顯然，窗口的性能優(yōu)劣關(guān)系著對信號分析能力的強(qiáng)弱。函數(shù)時間—頻域窗口中心是，其中為小波母函數(shù)的頻率。在時—頻相平面上，對于任意固定的平移尺度，都可以作出相應(yīng)的時—頻窗〔2為底，2為高矩行窗口〕，如圖8-7，其面積為：(8-11)由上式可知，小波母函數(shù)與函數(shù)窗口面積是相等的，是一個定值。當(dāng)時窗變寬那么頻窗變小，這種現(xiàn)象稱為海森堡〔Heisenberg〕測不準(zhǔn)原理。當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。圖8-7小波窗函數(shù)示意圖尺度倒數(shù)1/在一定意義上對應(yīng)于的頻率，因?yàn)橹黝l是，而是時—頻窗中心的縱坐標(biāo)。尺度越小，對應(yīng)的頻率越高，時間窗越窄，小波函數(shù)越“瘦〞，衰減得越快。尺度越大，對應(yīng)的頻率越低，時間窗越寬，小波函數(shù)越“胖〞，衰減得越慢。所以處理高頻信號時，變大；處理低頻信號時，變小。這種自適應(yīng)功能很方便對信號進(jìn)行各種處理。基于小波變換的小波分析利用一個可以伸縮平移、面積不變形狀可變的視窗能夠聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)進(jìn)行時頻域處理，既可看到信號的全貌，又可分析信號的細(xì)節(jié)，并且可以保存數(shù)據(jù)的瞬時特性，非常適合探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分。8.1.5夢的凝縮與小波多尺度分解在第7章遺傳算法中，我們已經(jīng)創(chuàng)造性將遺傳算法與弗洛伊德夢的解析法聯(lián)想在一起，表達(dá)了不同領(lǐng)域的知識之間融會貫穿的發(fā)散思維，在這里我們將簡單講解“夢的凝縮〞與“小波多尺度分解〞之間的耦合關(guān)系。在介紹夢的凝縮作用之前，需要預(yù)先介紹一下自然界中的“逆反定律〞。所謂“逆反定律〞可以自定義如下：當(dāng)原來的狀態(tài)或平衡被打破時，物體或系統(tǒng)要對抗現(xiàn)在的力或狀態(tài)，欲保持原來的力或狀態(tài)的一種現(xiàn)象。自然界中符合這條法那么的物體和系統(tǒng)很多，可逆反響中的勒夏特列原理：當(dāng)化學(xué)平衡的條件〔溫度、壓強(qiáng)、濃度等〕被外界打破時，化學(xué)平衡一定會朝著減弱這種反響的方向進(jìn)行移動?？赡娣错懙幕瘜W(xué)平衡移動只能減弱但不能抵消。可逆反響本身的屬性決定平衡會發(fā)生移動但是不會恢復(fù)到平衡移動之前的狀態(tài)。物理學(xué)中的楞次定律，當(dāng)條形磁鐵穿過螺旋形的導(dǎo)電線圈時，線圈產(chǎn)生的磁場力方向一定是阻礙〔但不是阻止〕條形磁鐵運(yùn)動的方向。光的本質(zhì)是電磁破，當(dāng)光在照射過程中如果遇到障礙物，就會發(fā)生衍射，衍射的方向一定是朝著阻礙光線傳播的方向進(jìn)行擴(kuò)展。從眾多例子當(dāng)中，我們可以看見一個共性，當(dāng)系統(tǒng)原有的狀態(tài)或平衡被打破時，系統(tǒng)雖然一定會朝著外界驅(qū)動合力的方向進(jìn)行運(yùn)動，但是一定會受到一個阻力的作用，一個對抗當(dāng)前外界驅(qū)動合力的阻力的作用?！澳娣炊扫曉谏鐣茖W(xué)領(lǐng)域和自然科學(xué)領(lǐng)域都會有很大的應(yīng)用。實(shí)際生活中，我們經(jīng)常會遇見企業(yè)中下屬不支持上司的做法或決定，但是下屬又不得不依照上司的吩咐去做，這樣下屬雖然外表依照上司吩咐行事，但并不是心悅誠服，內(nèi)心深處會自覺地排斥上司的這個決定。弗洛伊德認(rèn)為，一個人永遠(yuǎn)無法確定地說他已經(jīng)把整個夢完完全全地解析出來。盡管所作的解釋都沒有什么問題，令人滿意，但他仍可能再由同一個夢找出另外一個意義出來，對已經(jīng)解析令人滿意的夢仍可以繼續(xù)分析下去，就會挖掘出更多藏在夢里的意義，也就是說夢可以一層一層往下解析?？梢妷舨皇峭獗砜雌饋砟菢訙\顯簡單，而是經(jīng)過“凝縮〞的，如圖8-8所示。夢的內(nèi)容夢的內(nèi)容容隱意2顯意2隱意1顯意1…………解析解析解析圖8-8夢的逐層分解因此夢的內(nèi)容Dream=顯意1∪顯意2∪顯意3∪顯意4∪……所有看似秘密性夢的隱意局部經(jīng)過逐層解析都會變成顯意。但是實(shí)際當(dāng)中，夢的完整解析是十分困難的事情，原因有兩點(diǎn)：一方面是因?yàn)殡S著夢的解析逐漸深入，夢的顯意和夢的隱意之間相互轉(zhuǎn)化和相互嵌套，涉及夢的情節(jié)越來越復(fù)雜；另一方面是夢在解析過程中，符合“逆反定律〞，會受到夢的情節(jié)看似不符合邏輯、夢醒后遺忘了夢里某個重要細(xì)節(jié)等各方面的阻抗作用以阻止夢繼續(xù)深入解析下去。所以要想徹頭徹尾解析一個夢幾乎是一個不可能事件。從理論上講，如果夢一直分解下去，最終會挖掘到一個人道貌岸然下最原始的劣根性。從這個意義上說，夢不可能也沒有必要一直解析下去。小波多尺度分析就是把信號分解成不同頻率的高頻信號和低頻信號，然后把低頻信號再次分解成次高頻信號和次低頻信號，如此循環(huán)下去直到分解到可分解的層數(shù)，與用解析法解夢如出一轍。8.2小波分析MATLAB程序設(shè)計8.2.1小波分析工具箱函數(shù)指令這里只介紹常用的幾種函數(shù)指令及其最常用的語法格式[9]?！?〕waveinfo函數(shù)【語法格式】waveinfo('wname')【實(shí)現(xiàn)功能】查詢小波函數(shù)的根本信息。例如查詢Haar小波函數(shù)，在命令窗口輸入：>>waveinfo('haar')程序輸出的結(jié)果如下：HAARINFOInformationonHaarwavelet.HaarWaveletGeneralcharacteristics:Compactlysupportedwavelet,theoldestandthesimplestwavelet.scalingfunctionphi=1on[01]and0otherwise.waveletfunctionpsi=1on[00.5[,=-1on[0.51]and0otherwise.……其它小波函數(shù)信息查詢同樣使用此命令，比方查詢Morlet小波函數(shù)和Mexihat函數(shù)，可以鍵入：>>waveinfo('morl')和>>waveinfo('mexh')。通過此命令，可以訪問到小波函數(shù)的表達(dá)式、有效支撐等根本性質(zhì)?！?〕wfilters函數(shù)【語法格式】[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters(’wname’)[F1,F2]=wfilters(’wname’,’type’)【實(shí)現(xiàn)功能】小波濾波器。第一種格式用來計算正交小波或雙正交小波’wname’相關(guān)的4個濾波器。這4個濾波器分別為：Lo_D——分解低通濾波器；Hi_D——分解高通濾波器；Lo_R——重構(gòu)低通濾波器；Hi_R——重構(gòu)高通濾波器；第二種格式返回以下濾波器：如果‘type’=’d’，那么返回分解濾波器Lo_D和Hi_D；如果‘type’=’r’，那么返回重構(gòu)濾波器Lo_R和Hi_R；如果‘type’=’l’，那么返回低通濾波器Lo_D和Lo_R；如果‘type’=’h’，那么返回高通濾波器Hi_D和Hi_R；wfilters函數(shù)應(yīng)用程序清單：%本例需要重點(diǎn)掌握wfilters函數(shù)、stem函數(shù)的用法和底層繪圖技法的屬性設(shè)置clc;clearall;clf;%清屏、清內(nèi)存以及去除當(dāng)前圖形%’db1’,’db2’,……’db45’,’haar’[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters('db45');%stem實(shí)現(xiàn)畫出桿狀圖subplot(221);stem(Lo_D,'color','r');xlim([095]);title('分解低通濾波器','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');subplot(222);stem(Hi_D,'color','r');xlim([095]);title('分解高通濾波器','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');subplot(223);stem(Lo_R,'color','r');xlim([095]);title('重構(gòu)低通濾波器','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');subplot(224);stem(Hi_R,'color','r');xlim([095]);title('重構(gòu)高通濾波器','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');程序輸出的結(jié)果如圖8-9所示：圖8-9小波濾波器〔3〕dwt函數(shù)【語法格式】[cA,cD]=dwt(X,’wname’)或[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)【實(shí)現(xiàn)功能】dwt命令使用特定的小波’wname’或者特定的小波分解濾波器Lo_D和Hi_D執(zhí)行單層一維小波分解。下面來看dwt函數(shù)的一個應(yīng)用程序?qū)嵗?本程序需要重點(diǎn)掌握dwt函數(shù)用法以及圖像分區(qū)畫法的竅門clc;clearall;closeall;clf;a=randn(1,256);b=1.5*sin(1:256);s=a+b;[cal,cd1]=dwt(s,'haar');subplot(311);plot(s,'k-');title('原始信號','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');subplot(323);plot(cal,'k-');title('haar低頻系數(shù)','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');subplot(324);plot(cd1,'k-');title('haar高頻系數(shù)','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');%計算兩個相關(guān)的分解濾波器，并直接使用該濾波器計算低頻和高頻系數(shù)[Lo_D,Hi_D]=wfilters('haar','d');[cal,cd1]=dwt(s,Lo_D,Hi_D);%進(jìn)行單尺度db2離散小波變換并觀察最后系數(shù)的邊緣效果[ca2,cd2]=dwt(s,'db2');%db2也是一種小波函數(shù)subplot(325);plot(ca2,'k-');title('db2低頻系數(shù)','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');subplot(326);plot(cd2,'k-');title('db2高頻系數(shù)','fontsize',10);axistight;xlabel('x');ylabel('y');圖8-10單層一維小波分解示意圖程序輸出的結(jié)果上圖8-10所示。dwt2函數(shù)實(shí)現(xiàn)單尺度二維離散小波分解的功能，語法格式為：[cA,cH,cVcD]=dwt2(X,’wname’)或[cA,cH,cVcD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)【相關(guān)鏈接】idwt函數(shù)實(shí)現(xiàn)單尺度一維小波重構(gòu)，語法格式為：X=idwt(cA,cD,’wname’)或X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)idwt2函數(shù)實(shí)現(xiàn)單尺度二維小波重構(gòu)，語法格式為：X=idwt2(cA,cH,cVcD,’wname’)或X=idwt2(cA,cH,cVcD,Lo_R,Hi_R)〔4〕wavedec函數(shù)【語法格式】[C,L]=wavedec(X,N,’wname’);[C,L]=wavedec(X,N,Lo_D,Hi_D)【實(shí)現(xiàn)功能】使用給定的小波’wname’或者濾波器Lo_D和Hi_D進(jìn)行多尺度一維小波分解。第一種格式返回信號X在N層的小波分解。N必須是正整數(shù)。輸出的結(jié)果包含分解向量C和相應(yīng)的記錄向量L。第二種格式使用指定的低通和高通分解濾波器，返回分解結(jié)構(gòu)。下面來看wavedec函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例：%本程序需要重點(diǎn)掌握wavedec函數(shù)和wavread函數(shù)的用法clearall;clc;closeall;%函數(shù)wavread讀入聲音文件，擴(kuò)展名.wav不能省略。6144為采樣點(diǎn)數(shù)量。s=wavread('bhk_med.wav',6144);%bhk_med.wav放在當(dāng)前默認(rèn)work文件目錄下%函數(shù)subplot(2,1,1)與subplot(211)實(shí)現(xiàn)效果相同figure;subplot(2,1,1);plot(4000:length(s),s(4000:length(s)),'k-');xlim([40006200]);ylim([-0.080.08]);xlabel('信號序列');ylabel('信號值');title('原始聲音圖像','fontsize',11);[c,l]=wavedec(s(4000:length(s)),2,'db2');%使用db2小波進(jìn)行兩層分解subplot(212);plot(c,'k-');xlim([02200]);ylim([-0.170.17]);title('小波分解結(jié)構(gòu)','fontsize',11);xlabel('低頻系數(shù)&第二層及第一層高頻的信號序列','fontsize',11);ylabel('信號值');程序輸出的結(jié)果如圖8-11所示。圖8-11多尺度一維小波分解示意圖wavedec2函數(shù)實(shí)現(xiàn)二維多尺度分解，語法格式為：[C,S]=wavedec2(X,N,’wname’)或[C,S]=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)格式一使用小波’wname’返回矩陣X尺度為N時的小波分解。輸出是分解向量C和相應(yīng)的記錄矩陣S。N必須是正整數(shù)。【相關(guān)鏈接】waverec函數(shù)實(shí)現(xiàn)一維小波重構(gòu)，語法格式為：X=waverec(C,L,’wname’)或X=waverec(C,L,Lo_R,Hi_R)waverec使用指定小波’wname’或者重構(gòu)濾波器Lo_R和Hi_R進(jìn)行一維多尺度小波重構(gòu)，它返回的是原信號X。waverec2函數(shù)實(shí)現(xiàn)二維小波重構(gòu)，語法格式為：X=waverec2(C,S,’wname’)或X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R)用法與waverec類似?！?〕wrcoef函數(shù)【語法格式】X=wrcoef(‘type’,C,L,’wname’,N)X=wrcoef(‘type’,C,L,Lo_R,Hi_R,N)【實(shí)現(xiàn)功能】wrcoef基于小波分解結(jié)構(gòu)[C,L]，以及指定的小波’wname’或者重構(gòu)濾波器Lo_R和Hi_R進(jìn)行一維小波系數(shù)的單支重構(gòu)。第一種格式基于小波分解結(jié)構(gòu)[C,L]在N層計算重構(gòu)系數(shù)向量。N為正整數(shù)?！畉ype’決定重構(gòu)的系數(shù)是低頻〔‘type’=’a’〕還是高頻〔‘type’=’d’〕。第二種格式必須根據(jù)指定的重構(gòu)濾波器進(jìn)行系數(shù)重構(gòu)。wrcoef函數(shù)應(yīng)用實(shí)例：%本程序需要重點(diǎn)掌握wrcoef函數(shù)的用法和分段函數(shù)的圖形畫法clc;closeall;clearall;N=1000;t=1:N;sig1=sin(0.3*t);%生成正弦信號sig2(1:500)=((1:500)-1)/500;sig2(501:N)=(1000-(501:1000))/500;%生成三角波信號x=sig1+sig2;[c,l]=wavedec(x,2,'db6');%進(jìn)行兩層小波分解a2=wrcoef('a',c,l,'db6',2);a1=wrcoef('a',c,l,'db6',1);%重構(gòu)第1~2層逼近系數(shù)d2=wrcoef('d',c,l,'db6',2);d1=wrcoef('d',c,l,'db6',1);%重構(gòu)第1~2層細(xì)節(jié)系數(shù)subplot(511);plot(x,'linewidth',2);ylabel('原始信號');xlabel('信號序列');subplot(512);plot(a2,'linewidth',2);ylabel('a2');xlabel('信號序列');subplot(513);plot(a1,'linewidth',2);ylabel('a1');xlabel('信號序列');subplot(514);plot(d2,'linewidth',2);ylabel('d2');xlabel('信號序列');subplot(515);plot(d1,'linewidth',2);ylabel('d1');xlabel('信號序列');程序輸出的結(jié)果如圖8-12所示。圖8-12一維小波系數(shù)單支重構(gòu)示意圖【相關(guān)鏈接】wrcoef2函數(shù)實(shí)現(xiàn)二維小波系數(shù)的單支重構(gòu)，用法與wrcoef類似，語法格式：X=wrcoef2(‘type’,C,S,’wname’,N)或X=wrcoef2(‘type’,C,S,Lo_R,Hi_R,N)。8.2.2小波分析程序設(shè)計綜合案例本案例是對RGB圖像進(jìn)行多尺度分解然后重構(gòu)。內(nèi)容涉及數(shù)字圖像的程序載入、圖像顯示、格式轉(zhuǎn)換、wavedec2函數(shù)以及wrcoef2函數(shù)等用法。小波分析程序?qū)崿F(xiàn)的核心在于將原始數(shù)據(jù)或圖片以及視頻文件進(jìn)行分解，對分解后的分量進(jìn)行復(fù)雜的預(yù)處理，然后反變換合成。MATLAB小波分析工具箱已經(jīng)將大量實(shí)用的命令集成，調(diào)用很方便。下面來看一段程序：clc;closeall;clearall;%從D盤讀入原始RGB圖像X0=imread('d:\MathLogo.jpg');X=rgb2gray(X0);%將真彩色圖像轉(zhuǎn)換成灰度圖像因?yàn)檎娌噬珗D像是三維數(shù)據(jù)[c,s]=wavedec2(X,4,'sym5');%重構(gòu)尺度1~4的低頻局部a1=wrcoef2('a',c,s,'sym5',1);a2=wrcoef2('a',c,s,'sym5',2);a3=wrcoef2('a',c,s,'sym5',3);a4=wrcoef2('a',c,s,'sym5',4);%繪制尺度1~4的圖形,并隱藏邊框和坐標(biāo)軸subplot(4,2,1);image(a1);title('1尺度低頻');boxoff;axisoff;subplot(4,2,2);image(a2);tit