2024屆超級(jí)全能生數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆超級(jí)全能生數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．直線與直線平行，則（）A． B．或 C． D．或2．已知，則的值等于()A．2 B． C． D．3．函數(shù)，，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，，則的值為（）A． B．2 C．或 D．或24．某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生3000人,其中高二年級(jí)有學(xué)生800人,高三年級(jí)有學(xué)生1200人,為了調(diào)查學(xué)生的課外閱讀時(shí)長(zhǎng),現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有學(xué)生中抽取75人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為（）A．20 B．25 C．30 D．355．已知，且，則（）A． B． C． D．6．橢圓中以點(diǎn)M(1，2)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A． B． C． D．7．已知向量，滿足：則A． B． C． D．8．若點(diǎn)為圓C：的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．9．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形10．過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，-3)的直線的傾斜角是135°，則y等于()A．1 B．5 C．-1 D．-5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若等比數(shù)列滿足，且公比，則_____.12．設(shè)y＝f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，若當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）＝x2，則f（19）＝_____13．已知一組數(shù)據(jù)，，，的方差為，則這組數(shù)據(jù)，，，的方差為______．14．已知，，，的等比中項(xiàng)是1，且，，則的最小值是______.15．已知向量夾角為，且，則__________．16．的值為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔，速度為，飛行員在處先看到山頂?shù)母┙菫?8°30′，經(jīng)過后又在處看到山頂?shù)母┙菫?1°（1）求飛機(jī)在處與山頂?shù)木嚯x（精確到）；（2）求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到）參考數(shù)據(jù)：，18．如圖，已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為側(cè)棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積19．據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．（1）試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比；（2）假設(shè)球半徑．試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.20．如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面（I）證明：平面AEC⊥平面BED；（II）若∠ABC=120°，AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為21．已知向量.（1）若，求的值；（2）記函數(shù)，求的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

兩直線平行，斜率相等；按，和三類求解.【題目詳解】當(dāng)即時(shí)，兩直線為，，兩直線不平行，不符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線為，兩直線不平行，不符合題意；當(dāng)即時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€平行，所以，解得或，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線平行的斜率關(guān)系，注意斜率不存在和斜率為零的情況.2、D【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義域以及函數(shù)解析式的關(guān)系，代值即可.【題目詳解】故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)的求值問題，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

先根據(jù)單調(diào)性得到的范圍，然后根據(jù)得到的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，考慮對(duì)稱軸和對(duì)稱中心是否在同一周期內(nèi)，分析得到的值.【題目詳解】因?yàn)椋瑒t；又因?yàn)椋瑒t由可知得一條對(duì)稱軸為，又因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則由可知的一個(gè)對(duì)稱中心為；若與是同一周期內(nèi)相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則，則，所以；若與不是同一周期內(nèi)相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則，則，所以.【題目點(diǎn)撥】對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的判斷：對(duì)稱軸：，則圖象關(guān)于對(duì)稱；對(duì)稱中心：，則圖象關(guān)于成中心對(duì)稱.4、B【解題分析】

通過計(jì)算三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例，于是可得答案.【題目詳解】抽取比例為753000=140，高一年級(jí)有【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣的相關(guān)計(jì)算，難度很小.5、A【解題分析】

根據(jù)，，利用平方關(guān)系得到，再利用商數(shù)關(guān)系得到，最后用兩和的正切求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和兩角和的正切公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6、A【解題分析】

先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率．【題目詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，即，即，∴弦所在的直線的斜率為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關(guān)系．在解決弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，涉及到“中點(diǎn)與斜率”時(shí)常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的，屬于中檔題.7、D【解題分析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模運(yùn)算即可求出．【題目詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

根據(jù)題意，先求出直線PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點(diǎn)斜式方程即可，屬于?？碱}型.9、D【解題分析】試題分析：因?yàn)?根據(jù)向量的三角形法則，有,則可知,故四邊形ABCD為平行四邊形.考點(diǎn)：向量的三角形法則與向量的平行四邊形法則.10、D【解題分析】∵過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，-3)的直線的傾斜角是135°，∴，解得。選D。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．【題目詳解】，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于容易題．12、﹣1.【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性分析可得，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，據(jù)此可得，再由函數(shù)的解析式計(jì)算即可.【題目詳解】根據(jù)題意，是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則，又由得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，則，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

利用方差的性質(zhì)直接求解．【題目詳解】一組數(shù)據(jù)，，，的方差為5，這組數(shù)據(jù)，，，的方差為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的性質(zhì)應(yīng)用。若的方差為，則的方差為。14、4【解題分析】

，的等比中項(xiàng)是1，再用均值不等式得到答案.【題目詳解】，的等比中項(xiàng)是1當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為4【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比中項(xiàng)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.15、【解題分析】試題分析：的夾角，，，，.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算.【思路點(diǎn)晴】平面向量的數(shù)量積計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長(zhǎng)問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).16、【解題分析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【題目詳解】,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）14981m（2）【解題分析】

（1）先求出飛機(jī)在150秒內(nèi)飛行的距離，然后由正弦定理可得；（2）飛機(jī)，山頂?shù)暮０蔚牟顬?，則山頂?shù)暮０胃叨葹椋绢}目詳解】解：（1）飛機(jī)在150秒內(nèi)飛行的距離為，在中，由正弦定理，有，∴；（2）飛機(jī)，山頂?shù)暮０蔚牟顬椋?，即山頂?shù)暮０胃叨葹椋绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)；根據(jù)三角形中位線可證得；由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由等腰三角形三線合一可知；由面面垂直的性質(zhì)可知平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅲ）利用體積橋的方式將所求三棱錐體積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)已知長(zhǎng)度和角度關(guān)系分別求得四邊形面積和高，代入得到結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)四邊形為菱形為中點(diǎn)又為中點(diǎn)平面，平面平面（Ⅱ）為正三角形，為中點(diǎn)平面平面，平面平面，平面平面，又平面（Ⅲ）為中點(diǎn)又，，由（Ⅱ）知，【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中線面平行、線線垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問題；涉及到線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用、體積橋的方式求解三棱錐體積等知識(shí)，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）圓錐體積，表面積【解題分析】

（1）由球的半徑可知圓柱底面半徑和高，代入球和圓柱的體積公式求得體積，作比得到結(jié)果；（2）由球的半徑可得圓錐底面半徑和高，從而可求解出圓錐母線長(zhǎng)，代入圓錐體積和表面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)球的半徑為，則圓柱底面半徑為，高為球的體積；圓柱的體積球與圓柱的體積比為：（2）由題意可知：圓錐底面半徑為，高為圓錐的母線長(zhǎng)：圓錐體積：圓錐表面積：【題目點(diǎn)撥】本題考查空間幾何體的表面積和體積求解問題，考查學(xué)生對(duì)于體積和表面積公式的掌握，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析（2）3+25【解題分析】試題分析：（Ⅰ）由四邊形ABCD為菱形知AC⊥BD，由BE⊥平面ABCD知AC⊥BE，由線面垂直判定定理知AC⊥平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）設(shè)AB=x，通過解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來，在RtΔAEC中，用x表示EG，在RtΔEBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐E-ACD的體積為63求出x，即可求出三棱錐E-ACD試題解析：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED（Ⅱ）設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=x因?yàn)锳E⊥EC，所以在RtΔAEC中，可得EG=32x由BE⊥平面ABCD，知ΔEBG為直角三角形，可得BE=22由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=1從而可得AE=EC=ED=6.所以ΔEAC的面積為3，ΔEAD的面積與ΔECD的面積均為5.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3