2024屆河南省示范性高中數學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆河南省示范性高中數學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．方程表示的曲線是（）A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓2．已知函數，若實數滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．《九章算術》卷五商功中有如下問題：今有芻甍（底面為矩形的屋脊狀的幾何體），下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．下圖網格紙中實線部分為此芻甍的三視圖，設網格紙上每個小正方形的邊長為1丈，那么此芻甍的體積為（）A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈4．一個圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，設圓柱的側面積為，球的表面積為，則()A． B． C． D．15．已知的內角、、的對邊分別為、、，邊上的高為，且，則的最大值是（）A． B． C． D．6．直線的傾斜角為A． B． C． D．7．已知向量，.且，則（）A．2 B． C． D．8．如圖為某班35名學生的投籃成績（每人投一次）的條形統計圖，其中上面部分數據破損導致數據不完全。已知該班學生投籃成績的中位數是5，則根據統計圖，則下列說法錯誤的是（）A．3球以下（含3球）的人數為10B．4球以下（含4球）的人數為17C．5球以下（含5球）的人數無法確定D．5球的人數和6球的人數一樣多9．在三棱錐中，平面，，，點M為內切圓的圓心，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知x，y∈R，且x>y>0，則（）A． B．C． D．lnx+lny>0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為.12．若數列的前4項分別是，則它的一個通項公式是______.13．_____14．已知一組數據、、、、、，那么這組數據的平均數為__________.15．已知數列的通項公式為，若數列為單調遞增數列，則實數的取值范圍是______.16．__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，點，分別為，的中點，且，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.18．已知數列的前n項和為（），且滿足，（）．（1）求證是等差數列；（2）求數列的通項公式．19．如圖，在△ABC中，cosC＝，角B的平分線BD交AC于點D，設∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．（1）求sinA的值；（2）若，求AB的長．20．如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若點E是PC的中點,求證:平面BDE;(2)若點F在線段PA上,且,當三棱錐的體積為時,求實數的值.21．某市電視臺為了宣傳舉辦問答活動，隨機對該市15～65歲的人群抽樣了人，回答問題統計結果如圖表所示．組號

分組

回答正確

的人數

回答正確的人數

占本組的概率

第1組

5

0.5

第2組

0.9

第3組

27

第4組

0.36

第5組

3

(Ⅰ)分別求出的值；(Ⅱ)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2,3,4組每組應各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，電視臺決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎，求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】原方程即即或故原方程表示兩個半圓．2、B【解題分析】

求出函數的定義域，分析函數的單調性與奇偶性，將所求不等式變形為，然后利用函數的單調性與定義域可得出關于實數的不等式組，即可解得實數的取值范圍.【題目詳解】對于函數，有，解得，則函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以，函數為奇函數，由于函數在區(qū)間上為增函數，函數在區(qū)間上為減函數，所以，函數在上為增函數，由得，所以，，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：B.【題目點撥】本題考查函數不等式的求解，解答的關鍵就是分析函數的單調性和奇偶性，考查計算能力，屬于中等題.3、B【解題分析】幾何體如圖：體積為，選B.點睛：(1)解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學會利用反例對概念類的命題進行辨析．4、D【解題分析】

由圓柱的側面積及球的表面積公式求解即可.【題目詳解】解：設圓柱的底面半徑為，則，則圓柱的側面積為，球的表面積為，則，故選：D.【題目點撥】本題考查了圓柱的側面積的求法，重點考查了球的表面積公式，屬基礎題.5、C【解題分析】

由余弦定理化簡可得，利用三角形面積公式可得，解得，利用正弦函數的圖象和性質即可得解其最大值．【題目詳解】由余弦定理可得：，故：，而，故，所以：．故選．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．6、D【解題分析】

把直線方程的一般式方程化為斜截式方程，求出斜率，根據斜率與傾斜角的關系，求出傾斜角.【題目詳解】，設直線的傾斜角為，，故本題選D.【題目點撥】本題考查了直線方程之間的轉化、利用斜率求直線的傾斜角問題.7、B【解題分析】

通過得到，再利用和差公式得到答案.【題目詳解】向量，.且故答案為B【題目點撥】本題考查了向量平行，正切值的計算，意在考查學生的計算能力.8、D【解題分析】

據投籃成績的條形統計圖，結合中位數的定義，對選項中的命題分析、判斷即可．【題目詳解】根據投籃成績的條形統計圖，3球以下（含3球）的人數為，6球以下（含6球）的人數為，結合中位數是5知4球以下（含4球）的人數為不多于17，而由條形統計圖得4球以下（含4球）的人數不少于，因此4球以下（含4球）的人數為17所以5球的人數和6球的人數一共是17，顯然5球的人數和6球的人數不一樣多，故選D.【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查條形統計圖、中位數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、C【解題分析】

求三棱錐的外接球的表面積即求球的半徑，則球心到底面的距離為，根據正切和MA的長求PA，再和MA的長即可通過勾股定理求出球半徑R，則表面積.【題目詳解】取BC的中點E，連接AE（圖略）.因為，所以點M在AE上，因為，，所以，則的面積為，解得，所以.因為，所以.設的外接圓的半徑為r，則，解得.因為平面ABC，所以三棱錐的外接球的半徑為，故三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.【題目點撥】此題關鍵點通過題干信息畫出圖像，平面ABC和底面的內切圓圓心確定球心的位置，根據幾何關系求解即可，屬于三棱錐求外接球半徑基礎題目．10、A【解題分析】

結合選項逐個分析，可選出答案.【題目詳解】結合x，y∈R，且x>y>0，對選項逐個分析：對于選項A，，，故A正確；對于選項B，取，，則，故B不正確；對于選項C，，故C錯誤；對于選項D，，當時，，故D不正確.故選A.【題目點撥】本題考查了不等式的性質，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設球的半徑為r,則,，，所以，故答案為.考點：圓柱，圓錐，球的體積公式.點評：圓柱，圓錐，球的體積公式分別為.12、【解題分析】

根據等比數列的定義即可判斷出該數列是以為首項，為公比的等比數列，根據等比數列的通項公式即可寫出該數列的一個通項公式．【題目詳解】解：∵，該數列是以為首項，為公比的等比數列，該數列的通項公式是：，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查等比數列的定義以及等比數列的通項公式，屬于基礎題．13、【解題分析】

將寫成，切化弦后，利用兩角和差余弦公式可將原式化為，利用二倍角公式可變?yōu)?，由可化簡求得結果.【題目詳解】本題正確結果：【題目點撥】本題考查利用三角恒等變換公式進行化簡求值的問題，涉及到兩角和差余弦公式、二倍角公式的應用.14、【解題分析】

利用平均數公式可求得結果.【題目詳解】由題意可知，數據、、、、、的平均數為.故答案為：.【題目點撥】本題考查平均數的計算，考查平均數公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

根據題意得到，推出，恒成立，求出的最大值，即可得出結果.【題目詳解】因為數列的通項公式為，且數列為單調遞增數列，所以，即，所以，恒成立，因此即可，又隨的增大而減小，所以，因此實數的取值范圍是.故答案為：【題目點撥】本題主要考查由數列的單調性求參數，熟記遞增數列的特點即可，屬于?？碱}型.16、【解題分析】

利用誘導公式以及正弦差角公式化簡式子，之后利用特殊角的三角函數值直接計算即可.【題目詳解】.故答案為【題目點撥】該題考查的是有關三角函數化簡求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，差角正弦公式，特殊角的三角函數值，屬于簡單題目.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

(1)取中點，連接，，構造平行四邊形，由線線平行得到線面平行；（2）根據線面角的定義作出線面角，在直角三角形中求出數值.【題目詳解】（1）證明：取中點，連接，，∵為中點，∴，且，又為中點，底面為平行四邊形，∴，，∴，，即為平行四邊形，∴，又平面，且平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴平面平面，過作，則平面，連結，則為直線與平面所成的夾角，由，，，得，由，得，在中，，得，在中，，∴，即直線與平面所成角的余弦值為.【題目點撥】這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關系．求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）當時，由代入，化簡得出，由此可證明出數列是等差數列；（2）求出數列的通項公式，可得出，由可得出在時的表達式，再對是否滿足進行檢驗，可得出數列的通項公式.【題目詳解】（1）當時，，，即，，等式兩邊同時除以得，即，因此，數列是等差數列；（2）由（1）知，數列是以為首項，以為公差的等差數列，，則.，得.不適合.綜上所述，.【題目點撥】本題考查等差數列的證明，同時也考查了數列通項公式的求解，解題的關鍵就是利用關系式進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據二倍角公式及同角基本關系式，求出cos∠ABC，進而可求出sinA；（2）根據正弦定理求出AC，BC的關系，利用向量的數量積公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．【題目詳解】（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），所以cos∠ABC，則sin∠ABC，由cosC，得：sinC，sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．（2）由正弦定理，得，即BCAC；又?AC2?21，∴AC＝5，∴ABAC＝4．【題目點撥】本題考查了二倍角公式、同角基本關系式和正弦定理的靈活運用和計算能力，是中檔題．20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，進一步利用求得最后利用平行線分線段成比例求出λ的值試題解析：（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依據題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，則△PBC為直角三角形，所以，則直角三角形△ABD的面積為，由FM∥PO得：考點：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積21、(Ⅰ)；(Ⅱ)第2組抽人；第3組抽3人；第4組抽1人；（III）.【解題分析】

(Ⅰ)由頻率表中第1組數據可知,第1組總人數為,再結合頻率分布直方圖可知