工程問題的應(yīng)用+講義-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級上冊

第五章一元一次方程第三講一元一次方程的應(yīng)用——工程問題利用一元一次方程解決實(shí)際問題的思路：=1\*ROMANI.設(shè)未知數(shù)為x；=2\*ROMANII.用代數(shù)式表示題目中全部數(shù)量關(guān)系；=3\*ROMANIII.確定實(shí)際問題的等量關(guān)系；=4\*ROMANIV.根據(jù)等量關(guān)系列一元一次方程并求解。

解題思路：（1）工程問題是典型的a=bc型數(shù)量關(guān)系，可以知二求一。三個(gè)基本量及其關(guān)系為：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間＝工作總量工作效率工作效率＝工作總量往往在題目條件中不會直接出現(xiàn)，我們可以設(shè)工作問題為單位1（2）配套問題，實(shí)質(zhì)是在工程問題上添加了一個(gè)和關(guān)系或倍關(guān)系。解題的關(guān)鍵是利用該和關(guān)系或倍關(guān)系以一個(gè)未知數(shù)表示兩個(gè)數(shù)量關(guān)系。（3）方案選擇問題，實(shí)質(zhì)是不同方案之間的比較。解題的關(guān)鍵是先確定題目中方案的個(gè)數(shù)，再將不同方案用不同的代數(shù)式表示，依等量關(guān)系列出一元一次方程。（4）雞兔同籠問題，解題的關(guān)鍵是雞、兔每只1頭，而雞每只2腳，兔每只4腳。在前述數(shù)量關(guān)系中尋找等量關(guān)系。（5）、日歷問題，實(shí)質(zhì)是根據(jù)日歷的使用習(xí)慣，每行相鄰兩數(shù)相差1，每列相鄰兩數(shù)相差7，每個(gè)月的日期和星期并不一定相同。（6）比賽積分問題，實(shí)質(zhì)是比賽得失分的積分規(guī)則，關(guān)鍵把握比賽場次（或數(shù)量）的不變性。知識知識點(diǎn)一工程問題例1．（2023七上石家莊期末）某工程，甲獨(dú)做需要12天完成，乙獨(dú)做需要8天完成，該工程要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，現(xiàn)由甲先做2天，乙再參與合做，正好如期完成，求這項(xiàng)工程規(guī)定的完成時(shí)間。該完成此項(xiàng)工程用了x天，則下列方程正確的是（）A.x12+x-28=1B.x+212+x-28=1【解析】設(shè)完成此項(xiàng)工程用了x天。則根據(jù)題意可得，甲獨(dú)做工程用12天，每天的工程量為112，乙獨(dú)做工程用8天，每天的工程量為18，甲先做2天的工程量為2×112=∵甲的工作總量為112x=∴x12+x-28根據(jù)題意還可以列方程：1或者：2×習(xí)習(xí)題1.一件工程，甲單獨(dú)做需要12天完成，乙單獨(dú)做需要8天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作2天后，乙有其他任務(wù)，剩下的工程由甲單獨(dú)完成，則甲還需要多少天才能完成該工程？2.將一批數(shù)據(jù)輸入電腦，甲獨(dú)做需要50分鐘完成，乙獨(dú)做需要30分鐘完成，現(xiàn)在甲獨(dú)需要30分鐘，剩下的部分由甲、乙合作完成，則甲、乙合作需要多少時(shí)間？3.有9人10天完成了一件工作的一半，而剩下的工作要在6天內(nèi)完成，則需要增加的人數(shù)為（）A.4B.5C.6D.84.滿池水的游泳池需要換水，單獨(dú)打開甲管30小時(shí)可將全池水排完，單獨(dú)打開乙管20小時(shí)可將全池水排完，若兩管同時(shí)打開3小時(shí)后，關(guān)閉甲管讓乙管排水3小時(shí)，再打開甲管同時(shí)關(guān)閉乙管，幾小時(shí)后可將余下水放完？【答案】1.7天2.152分鐘3.C4.18知識知識點(diǎn)二配套問題例1.某絲巾廠家70名工人義務(wù)承接了上海進(jìn)博會上志愿者佩戴的手環(huán)、絲巾的制作任務(wù)，已知1名工人平均每天生產(chǎn)手環(huán)180個(gè)或者絲巾120條，一條絲巾要配兩個(gè)手環(huán)，為了使每天生產(chǎn)的絲巾和手環(huán)剛好配套，應(yīng)當(dāng)分配多少名工人生產(chǎn)手環(huán)，多少名工人生產(chǎn)絲巾？【解析】設(shè)應(yīng)當(dāng)由x名工人生產(chǎn)手環(huán)，則有70-根據(jù)題意可得，手環(huán)生產(chǎn)效率180個(gè)/人/天，每天生產(chǎn)手環(huán)180x，絲巾生產(chǎn)效率120條/人/天，每天生產(chǎn)絲巾12070-x∴120x=4070-40=30（人）所以，由40人生產(chǎn)手環(huán)，由習(xí)習(xí)題1.一套儀器由一個(gè)A部件和三個(gè)B部件構(gòu)成，用1立方米鋼材可做40個(gè)A部件或者240個(gè)B部件?，F(xiàn)要用6立方米鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材制作A部件，才能使生產(chǎn)A、B剛好配套？恰好配成這種儀器多少套？2.某工廠要制作一批糖果盒，已知該工廠共有88名工人，其中女工人數(shù)比男工人數(shù)的2倍少20人，并且每個(gè)工人平均每小時(shí)可以制作盒身50個(gè)或盒底120個(gè)。（1）該工廠有男工、女工各多少人？（2）該工廠原計(jì)劃男工負(fù)責(zé)制作盒身，女工負(fù)責(zé)制作盒底，要求一個(gè)盒身配兩個(gè)盒底，那么調(diào)多少名女工幫男工制作盒身時(shí)，才能使每小時(shí)制作的盒身與盒底恰好配套？3.某車間有62個(gè)工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個(gè)或乙種零件23個(gè)。已知每3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？4.七年級的同學(xué)去植樹，在甲處植樹有27人，在乙處植樹有19人，現(xiàn)在另調(diào)20人加入他們。使得在甲處植樹的人數(shù)是在乙處植樹的人數(shù)的2倍，求應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處的人數(shù)。5.一個(gè)方桌由一個(gè)桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可以做方桌的桌面40個(gè)或做桌腿240條，現(xiàn)有10立方米的木料，那么用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿？【答案】1.A部件4m3；B部件2m3；160套2.（1）男工36人；女工52人；（2）12人3.甲種46人；乙種16人4.給甲17人；給乙3人5.桌面6m3；桌腿4m3知識知識點(diǎn)三方案問題例1.（2020七上鎮(zhèn)江月考）張老師帶領(lǐng)該校七年級“三好生”去開展夏令營活動(dòng)，甲旅行社說：“如果老師買全票一張，則學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠?！币衣眯猩缯f：“包括老師在內(nèi)按全票價(jià)的6折優(yōu)惠?！比羧眱r(jià)為240元，當(dāng)學(xué)生人數(shù)為多少人時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣多？【解析】設(shè)當(dāng)學(xué)生人數(shù)為x人時(shí)兩家旅行社的收費(fèi)一樣多。則根據(jù)題意可得，甲旅行社的費(fèi)用為240+0.5×240x，乙旅行社的費(fèi)用為1+x×240×0.6∴當(dāng)甲、乙兩個(gè)旅行社費(fèi)用一樣多：240+240×0.5x=x=4習(xí)習(xí)題1.在藝術(shù)節(jié)中，甲、乙兩校聯(lián)合準(zhǔn)備文藝匯演。甲、乙兩校共92人（其中甲校人數(shù)多于乙校人數(shù)，且甲校人數(shù)不夠90人）準(zhǔn)備統(tǒng)一購買服裝（一人買一套）。參加演出，下面是服裝廠給出的演出服裝的價(jià)格表：購買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上每套服裝的價(jià)格605040如果兩所學(xué)校分別單獨(dú)購買服裝，一共應(yīng)付5000元。（1）如果甲、乙兩校聯(lián)合起來購買服裝，那么比各自購買服裝節(jié)省了多少錢？（2）甲、乙兩校各有多少名學(xué)生準(zhǔn)備參加演出？（3）如果甲校有9名同學(xué)抽調(diào)去參加科技創(chuàng)新比賽不能參加演出，那么你有幾種購買方案？通過比較，你該如何購買服裝才能最省錢？2.某中學(xué)組織學(xué)生春游，原計(jì)劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；如果租用同樣數(shù)量的60座客車則多出一輛，且其余客車恰好坐滿，已知45座客車日租金為每輛220元，60座客車日租金為每輛300元。（1）學(xué)生人數(shù)是多少人？原計(jì)劃租用45座客車多少輛？（2）要使每名同學(xué)都有座位，怎樣租用車輛更合算？3.冬天來了，市場上的熱水器開始暢銷了，王涵家計(jì)劃買個(gè)熱水器，銷售商都說自己的商品實(shí)惠，市場上有燃?xì)鉄崴骱吞柲軣崴鲀煞N，燃?xì)鉄崴髅颗_580元，太陽能熱水器每臺3730元。（1）若燃?xì)鉄崴鞯拿簹饷科?0元，每年共需3瓶，太陽能熱水器使用壽命達(dá)到多少年，才和使用燃?xì)鉄崴饕粯雍纤?？?）若太陽能熱水器的使用壽命是20年，燃?xì)鉄崴鞯氖褂脡勖鼮?0年，王涵家計(jì)劃使用30年，請你設(shè)計(jì)一個(gè)最合理的購買方案。【答案】1.（1）節(jié)省1320元；（2）甲校52人；乙校40人；（3）甲、乙兩校聯(lián)合購買91套2.（1）240人；5輛；（2）4輛45座和1輛60座3.（1）15年；（2）先購太陽能用20年，再購燃?xì)馐接?0年知識知識點(diǎn)四雞兔同籠問題例1.（2022七下洛陽期末）我國古代數(shù)學(xué)典籍《孫子算經(jīng)》中有著名的“雞兔同籠”問題，其原文為“今有雞免同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞免各幾何？”【解析】設(shè)雞有x只，則兔子有35-x只。則根據(jù)題意可得，雞有腳2x，兔子有腳435∴2x+4x=2335-23=12（只）所以，雞有23只，兔子有習(xí)習(xí)題1.小明欲買藍(lán)、黑兩種布料共130米，花了506元，其中藍(lán)布料每米3元，黑布料每米5元，兩種布料各買了多少米？2.七年級一班計(jì)劃買數(shù)學(xué)練習(xí)冊和語文練習(xí)冊共26本，已知每本數(shù)學(xué)練習(xí)冊40元，每本語文練習(xí)冊15元，經(jīng)預(yù)算，共需740元。求七年級一班計(jì)劃購買數(shù)學(xué)練習(xí)冊和語文練習(xí)冊各多少本？3.20位同學(xué)在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵。則其中男生人數(shù)比女生人數(shù)多多少人？【答案】1.藍(lán)布72米；黑布58米2.數(shù)學(xué)14本；語文12本3.4人知識知識點(diǎn)五日歷問題例1.（2023七上崇左月考）如果某日歷的某豎列上的相鄰三個(gè)數(shù)之和為27，則自上而下的號數(shù)為（）A.2，9，16B.3，9，15C.16，9，2D.15，9，3【解析】設(shè)某豎列上相鄰三個(gè)數(shù)中中間的數(shù)字為x。則根據(jù)題意可得，最上面的數(shù)字為x-7，最下面的數(shù)字為x+7?！鄕-7x=99-7=29+7=16所以，A項(xiàng)符合題意習(xí)習(xí)題1.如圖1，是2023年10月的日歷，用筆在日歷中任意框出兩組呈對角線交叉的5個(gè)代表日期的數(shù)。如圖2，若設(shè)交叉框中的五個(gè)數(shù)分別為a、b、c、d、m，且a+b+c+d=56，則m的值為。2.爺爺快八十大壽了，小明想在日歷上把這一天圈起來，但不知道是哪一天，于是便去問爸爸，爸爸笑笑說，“在日歷上，那一天的上下左右4個(gè)日期的和正好等于那天爺爺?shù)哪挲g?！眲t小明爺爺生日的日期是（）A.18B.19C.20D.213.小秦在11月份的日歷上圈出了三個(gè)數(shù)，其中最大的數(shù)為n，并求出它們的和為66，則這三個(gè)數(shù)在日歷中的排位位置不可能是（）4.如圖所示是200410月份的日歷?，F(xiàn)在日歷中任意框出4個(gè)數(shù)abcd，請用一個(gè)等式表示a、b、c、d之間的關(guān)系【答案】1.142.C3.B4.a+d=b+c（答案知識知識點(diǎn)六積分問題例1.（2022七上廈門期末）某籃球聯(lián)賽積分規(guī)則如下，比賽勝一場積2分，負(fù)一場積1分。某支球隊(duì)一共打了20場比賽，共積分25分，設(shè)該支球隊(duì)勝場為x場，根據(jù)題意，可列方程（）A.2x+x=25B.2x+20-x=25C.【解析】設(shè)該支球隊(duì)勝x場比賽。則根據(jù)題意可得，球隊(duì)負(fù)20-x場比賽，勝場積分2x，負(fù)場積分∴2x+20-x=25所以，習(xí)習(xí)題1.籃球運(yùn)動(dòng)是最流行的運(yùn)動(dòng)之一，深受青少