北京西城8中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

北京西城8中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且，則的值為()A．-3 B．3 C．±3 D．52．已知平面向量與的夾角為，且，則（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列中，，，則()．A． B． C． D．4．如果數(shù)列的前項(xiàng)和為，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，則的最大值為（）A． B．1 C． D．6．已知，則比多了幾項(xiàng)（）A．1 B． C． D．7．．若且，直線不通過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，8．若a＜b，則下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B． C．a(chǎn)2+b2＞2ab D．a(chǎn)c2＜bc29．函數(shù)的最小值為(

)A．6 B．7 C．8 D．910．是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝________.12．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_______.13．在棱長均為2的三棱錐中，分別為上的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為________.14．把二進(jìn)制數(shù)1111（2）化為十進(jìn)制數(shù)是______．15．設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，函數(shù)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的根，則的通項(xiàng)公式是________．16．已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量與不共線，且，.（1）若與的夾角為，求；（2）若向量與互相垂直，求的值.18．已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式，；（3）設(shè)，若對于任意的都有，求的最小值.19．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足.（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值；（2）求的值.20．在正四棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值；（3）設(shè)為截面內(nèi)-點(diǎn)（不包括邊界），求到面，面，面的距離平方和的最小值.21．近年來，我國自主研發(fā)的長征系列火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著我國在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為，去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為，火箭的飛行速度為，初始速度為，已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對火箭的速度，假設(shè)，，，是以為底的自然對數(shù)，，.（1）如果希望火箭飛行速度分別達(dá)到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度時(shí)，求的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）.（2）如果希望達(dá)到，但火箭起飛質(zhì)量最大值為，請問的最小值為多少（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）？由此指出其實(shí)際意義.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可．【題目詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)且，所以則解得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，應(yīng)注意求出的b為正值．2、A【解題分析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，將平方運(yùn)算可得結(jié)果．【題目詳解】∵，∴，∴cos=4，∴，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用平面向量的數(shù)量積求模的應(yīng)用問題，考查了數(shù)量積與模之間的轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題目．3、B【解題分析】

通過取倒數(shù)的方式可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】由得：，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列中的項(xiàng)的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式的形式，確定采用倒數(shù)法得到等差數(shù)列.4、B【解題分析】

根據(jù)，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合時(shí)，，可知是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題目詳解】由，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)正弦定理將已知等式化簡得，再根據(jù)差角正切公式以及基本不等式可得結(jié)論.【題目詳解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

由寫出，比較兩個(gè)等式得多了幾項(xiàng).【題目詳解】由題意，則，那么：，又比多了項(xiàng).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查對函數(shù)的理解和帶值計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

因?yàn)榍?，所以，，又直線可化為，斜率為，在軸截距為，因此直線過一二三象限，不過第四象限.故選：D.8、C【解題分析】

利用特殊值對錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行排除，然后證明正確的不等式.【題目詳解】取代入驗(yàn)證可知，A、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；取代入驗(yàn)證可知，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，由于，所以，即成立.故選：C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

直接利用均值不等式得到答案.【題目詳解】，時(shí)等號(hào)成立.故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了均值不等式，屬于簡單題.10、C【解題分析】

由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，即可得到答案．【題目詳解】由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了象限角的表示和終邊相同角的表示，其中解答中熟記終邊相同角的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、120°【解題分析】∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝＝＝－，又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝120°故答案為：120°12、1【解題分析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【題目詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

易證明中,且周長為,其中為定值,故只需考慮的最小值即可.【題目詳解】由題,棱長均為2的三棱錐,故該三棱錐的四個(gè)面均為正三角形.又因?yàn)?故.故.且分別為上的中點(diǎn),故.故周長為.故只需求的最小值即可.易得當(dāng)時(shí)取得最小值為.故周長的最小值為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了立體幾何中的距離最值問題,需要根據(jù)題意找到定量以及變量的最值情況即可.屬于中檔題.14、.【解題分析】

由二進(jìn)制數(shù)的定義可將化為十進(jìn)制數(shù).【題目詳解】由二進(jìn)制數(shù)的定義可得，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二進(jìn)制數(shù)化十進(jìn)制數(shù)，考查二進(jìn)制數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式和數(shù)列的遞推公式，可得，再利用“累加”法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解．【題目詳解】由題意，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，又因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的根，所以，所以，又，對任意的實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的根，所以，又，對任意的實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及誘導(dǎo)公式，數(shù)列的遞推關(guān)系式和“累加”方法等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．16、.【解題分析】

由題意得出，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定出該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題目詳解】設(shè)，整理得，對比可得，，即，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，解題時(shí)要結(jié)合遞推式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法來求解，同時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列定義的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積即可解決．（2）根據(jù)兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為0即可解決．【題目詳解】解：（1）（2）由題意可得：，即，，

.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積，及兩個(gè)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0的情況，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）1【解題分析】

（1）根據(jù)韋達(dá)定理即可。（2）分別對三種情況進(jìn)行討論。（3）帶入，分別對時(shí)三種情況討論?！绢}目詳解】（1）的解集為可得1，2是方程的兩根，則，（2）時(shí)，時(shí)，時(shí)，（3），為上的奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，在時(shí)，取得最大值，即；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，在時(shí)，取得最小值，即；對于任意的都有則等價(jià)于或（）則的最小值為1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了含參數(shù)的一元二次不等式，以及絕對值不等式，在解決含參數(shù)的不等式時(shí)首先要對參數(shù)進(jìn)行討論。本題屬于難題。19、(1)；(2).【解題分析】

(1)構(gòu)造數(shù)列等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式,再進(jìn)行求和,再利用裂項(xiàng)相消求得；

(2)由題出現(xiàn),故考慮用分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行計(jì)算.【題目詳解】(1)由得,即,所以是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,故.所以,故.

(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),，當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),

綜上所述,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列定義的應(yīng)用，考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式與裂項(xiàng)求和及奇偶并項(xiàng)求和的方法，考查了分析問題的能力及邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）（3）【解題分析】

（1）利用在正方體的幾何性質(zhì)，得到，通過線面垂直和面面垂直的判定定理證明.（2）根據(jù)和平面平面，知是在平面上的射影，即為直線與平面所成的角，然后在中求解.（3）如圖所示從向面，面，面引垂線，構(gòu)成一個(gè)長方體，設(shè)到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長方體體對角線長的平方，當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，最小，然后用等體積法求解.【題目詳解】（1）如圖所示：在正方體中且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)?，由?）知平面平面，所以是在平面上的射影，所以即為直線與平面所成的角，在中，所以.（3）如圖所示從向面，面，面引垂線，構(gòu)成一個(gè)長方體，設(shè)到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長方體體對角線長的平方，當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，最小，又因?yàn)椋?，?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何體中線面垂直，面面垂直的判定定理和線面角及距離問題，還考查了空間想象，抽象概括，推理論證的能力，屬于中檔題.21、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）弄清題意，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入齊奧爾科夫斯基公式：，即可得出各個(gè)等級(jí)的速度對應(yīng)的的值；（2）弄清題意與相關(guān)名詞，火箭起飛質(zhì)量即為，將公式變形，分離出，解不等式即可得，的最小值為.【題目詳解】（1）由題意可得，，，且，，當(dāng)達(dá)到第一宇宙速度時(shí)，有，；當(dāng)達(dá)到第