2024屆福建省龍巖一中數(shù)學高一下期末綜合測試試題含解析

2024屆福建省龍巖一中數(shù)學高一下期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知水平放置的是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，那么原中的大小是（）．A． B． C． D．2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B． C． D．3．若，是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列，對于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①，②，③；④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④5．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．6．的值為（）A．1 B． C． D．7．已知a>0,b>0,a,b的等比中項為2，則a+1A．3 B．4 C．5 D．428．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．9．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)，，，，，其中每個數(shù)據(jù)都小于，那么對于樣本，，，，，的中位數(shù)可以表示為（）A． B． C． D．10．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實數(shù)滿足，則的最大值為_______.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的_______．13．已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么__________．14．在中，角所對的邊分別為，，則____15．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為___________。16．已知，是第三象限角，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．定義：對于任意，滿足條件且（是與無關的常數(shù)）的無窮數(shù)列稱為數(shù)列.（1）若，證明：數(shù)列是數(shù)列；（2）設數(shù)列的通項為，且數(shù)列是數(shù)列，求常數(shù)的取值范圍；（3）設數(shù)列，若數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍.18．某中學的高二（1）班男同學有45名，女同學有15名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個4人的課外興趣小組.（1）求課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)；（2）經(jīng)過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是先從小組里選出1名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內剩下的同學中選一名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率；（3）試驗結束后，第一次做試驗的同學得到的試驗數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74，第二次做試驗的同學得到的試驗數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74，請問哪位同學的實驗更穩(wěn)定？并說明理由.19．設和是兩個等差數(shù)列，記（），其中表示，，這個數(shù)中最大的數(shù).已知為數(shù)列的前項和，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求，，的值，并求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列前項和.20．如圖，在三棱柱中，為正三角形，為的中點，，，．（1）證明：平；（2）證明：平面平面．21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間：(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及取最大值時的集合.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)斜二測畫法還原在直角坐標系的圖形，進而分析出的形狀，可得結論．【題目詳解】如圖：根據(jù)斜二測畫法可得：，故原是一個等邊三角形故選【題目點撥】本題是一道判定三角形形狀的題目，主要考查了平面圖形的直觀圖，考查了數(shù)形結合的思想2、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)棱錐體積公式求得結果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為三棱錐三棱錐體積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查棱錐體積的求解，關鍵是能夠通過三視圖確定幾何體為三棱錐，且通過三視圖確定三棱錐的底面和高.3、A【解題分析】

根據(jù)條件可求出，，從而可求出，這樣即可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【題目詳解】由題得；，，所以；；又；的夾角為．故選．【題目點撥】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量長度的求法，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．4、B【解題分析】

設數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義，逐項驗證數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，即可得到結論．【題目詳解】設數(shù)列{an}的公比為q（q≠1）①由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；②由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq2＝2lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；③由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnan+1﹣an不是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}不為等差數(shù)列，不滿足題意；④由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；綜上，為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為①②④故選：B．【題目點撥】本題考查新定義，考查對數(shù)的運算性質，考查等差數(shù)列的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．5、A【解題分析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【題目詳解】由圖像知，，，解得，因為函數(shù)過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【題目點撥】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導公式，屬于基礎題.6、A【解題分析】

利用誘導公式將轉化到，然后直接計算出結果即可.【題目詳解】因為，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查正切誘導公式的簡單運用，難度較易.注意：.7、C【解題分析】

由等比中項得：ab=4，目標式子變形為54【題目詳解】∵a+1等號成立當且僅當a=b=2，∴原式的最小值為5.【題目點撥】利用基本不等式求最小值時，注意驗證等號成立的條件.8、C【解題分析】

將函數(shù)化為，再根據(jù)周期公式可得答案.【題目詳解】因為=，所以最小正周期.故選：C【題目點撥】本題考查了兩角和的正弦公式的逆用，考查了正弦型函數(shù)的周期公式，屬于基礎題.9、C【解題分析】

根據(jù)不等式的基本性質，對樣本數(shù)據(jù)按從小到大排列為，取中間的平均數(shù).【題目詳解】，，則該組樣本的中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均數(shù)，即.【題目點撥】考查基本不等式性質運用和中位數(shù)的定義.10、D【解題分析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

對所求式子平邊平方，再將代入，從而將問題轉化為求【題目詳解】∵∵，∴，∴，等號成立當且僅當.故答案為：.【題目點撥】本題考查條件等式下利用基本不等式求最值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意等號成立的條件.12、【解題分析】

按照程序框圖運行程序，直到a的值滿足a>100時，輸出結果即可.【題目詳解】第一次循環(huán)：a=3；第二次循環(huán)：a=7；第三次循環(huán)：a=15；第四次循環(huán)：a=31；第五次循環(huán)：a=63；第六次循環(huán)：a=127，a>100，所以輸出a.所以本題答案為127.【題目點撥】本題考查根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結構計算輸出結果的問題，屬于基礎題.13、.【解題分析】分析：由，均為單位向量，它們的夾角為，求出數(shù)量積，先將平方，再開平方即可的結果.詳解：∵，故答案為.點睛：平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.14、【解題分析】

利用正弦定理將邊角關系式中的邊都化成角，再結合兩角和差公式進行整理，從而得到.【題目詳解】由正弦定理可得：即：本題正確結果：【題目點撥】本題考查李用正弦定理進行邊角關系式的化簡問題，屬于常規(guī)題.15、3；【解題分析】

由三視圖還原幾何體，根據(jù)垂直關系和勾股定理可求得各棱長，從而得到最長棱的長度.【題目詳解】由三視圖可得幾何體如下圖所示：其中平面，，，，，，四棱錐最長棱為本題正確結果：【題目點撥】本題考查由三視圖還原幾何體的相關問題，關鍵是能夠準確還原幾何體中的長度和垂直關系，從而確定最長棱.16、.【解題分析】試題分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系知，，化簡整理得①，又因為②，聯(lián)立方程①②即可解得：，，又因為是第三象限角，所以，故.考點：同角三角函數(shù)的基本關系.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)題中的新定義代入即可證出.（2）設，，，代入通項解不等式組，使即可求解.（3）首先根據(jù)可求時，，當時，，根據(jù)題中新定義求出成立，可得，再驗證恒成立即可求解.【題目詳解】（1），且，則滿足，則數(shù)列是數(shù)列.綜上所述，結論是：數(shù)列是數(shù)列.（2）設，，則，得，，，則數(shù)列的最大值為，則（3），當時，當時，，由，得，當時，恒成立，則要使數(shù)列是數(shù)列，則的取值范圍為.【題目點撥】本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.18、(1)男、女同學的人數(shù)分別為3人，1人；(2)；(3)第二位同學的實驗更穩(wěn)定，理由見解析【解題分析】

（1）設有名男同學，利用抽樣比列方程即可得解（2）列出基本事件總數(shù)為12，其中恰有一名女同學的有6種，利用古典概型概率公式計算即可（3）計算出兩位同學的實驗數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，問題得解【題目詳解】（1）設有名男同學，則，∴，∴男、女同學的人數(shù)分別為3人，1人（2）把3名男同學和1名女同學記為，則選取兩名同學的基本事件有，，，，，，，，，，，共12種，其中恰有一名女同學的有6種，∴選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為（3），，因，所以第二位同學的實驗更穩(wěn)定.【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣比例關系及古典概型概率計算公式，還考查了樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差計算，考查方差與穩(wěn)定性的關系，屬于中檔題19、（1）；（2），，，；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)題意，化簡得，運用已知求公式，即可求解通項公式；（2）根據(jù)題意，寫出通項，根據(jù)定義，令，可求解，，的值，再判斷單調遞減，可求數(shù)列的通項公式；（3）由（1）（2）的數(shù)列、的通項公式，代入數(shù)列中，運用錯位相減法求和.【題目詳解】（1）∵，∴，當時，，化簡得，∴，當時，，，∵，∴，∴是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴.（2），，，當時，，∴單調遞減，所以.（3）作差，得【題目點撥】本題考查（1）已知求公式；（2）數(shù)列的單調性；（3）錯位相減法求和；考查計算能力，考查分析問題解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）連結交于，連結，先證明，再證明平；（2）取的中點為，連結，，，先證明平面，再證明平面平面．【題目詳解】證明：（1）連結交于，連結，由于棱柱的側面是平行四邊形，故為的中點，又為的中點，故是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中點為，連結，，，在中，，由，知為正三角形，故，又，