2024屆黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達標(biāo)檢測模擬試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達標(biāo)檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列滿足,,則（）A． B． C． D．3．在中，已知，.若最長邊為，則最短邊長為（）A． B． C． D．4．在中，已知角的對邊分別為，若，，，，且，則的最小角的正切值為（）A． B． C． D．5．若角α的終邊過點P(-3，-4)，則cos(π-2α)的值為()A． B． C． D．6．如圖為A、B兩名運動員五次比賽成績的莖葉圖，則他們的平均成績和方差的關(guān)系是（）A．， B．，C．， D．，7．若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A．0 B．2 C． D．38．在中，，，，則的面積是（）．A． B． C．或 D．或9．如圖，扇形的圓心角為，半徑為1，則該扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．10．已知直線l過點且與直線垂直，則l的方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，，如果解此三角形有且只有兩個解，則的取值范圍是_____．12．若點為圓的弦的中點，則弦所在的直線的方程為___________.13．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則角最大值為______.14．甲船在島的正南處，，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛?cè)?，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.15．已知，，則________16．已知點，點，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐中，平面平面為等邊三角形，，且，分別為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積.18．如圖，在三棱錐中，分別為棱上的中點.（1）求證：平面；（2）若平面，求證：平面平面.19．某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機抽樣133個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組

頻數(shù)

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計

133

（Ⅰ）請在上表中補充完成頻率分布表（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并在圖中畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標(biāo)準乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點值是2．33作為代表．據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．20．在正方體中.（1）求證：；（2）是中點時，求直線與面所成角.21．已知圓.（1）求圓的半徑和圓心坐標(biāo)；（2）斜率為的直線與圓相交于、兩點，求面積最大時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

先利用韋達定理得到關(guān)于a,b的方程組，解方程組即得a,b的值，即得解.【題目詳解】由題得，所以a+b=7.故選：A【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解集，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、C【解題分析】試題分析：由題意可得,所以,故,選C.考點：本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本運算.3、A【解題分析】試題分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，為最長邊，為最短邊，由正弦定理：，解得.考點：正弦定理.4、D【解題分析】

根據(jù)大角對大邊判斷最小角為，利用正弦定理得到，代入余弦定理計算得到，最后得到.【題目詳解】根據(jù)大角對大邊判斷最小角為根據(jù)正弦定理知：根據(jù)余弦定理：化簡得：故答案選D【題目點撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.5、C【解題分析】

由三角函數(shù)的定義得，再利用誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式求解.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義，可得，則，故選C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及二倍角的余弦公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，直接計算出平均值與方差，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，，所以；又，，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查平均數(shù)與方差的比較，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解題分析】

采用參變分離法對不等式變形，然后求解變形后的函數(shù)的值域，根據(jù)參數(shù)與新函數(shù)的關(guān)系求解參數(shù)最值.【題目詳解】因為不等式對一切恒成立，所以對一切，，即恒成立．令．易知在內(nèi)為增函數(shù)．所以當(dāng)時，，所以的最大值是．故選C．【題目點撥】常見的求解參數(shù)范圍的方法：（1）分類討論法（從臨界值、特殊值出發(fā)）；（2）參變分離法（考慮新函數(shù)與參數(shù)的關(guān)系）.8、C【解題分析】，∴，或．（）當(dāng)時，．∴．（）當(dāng)時，．∴．故選．9、C【解題分析】

以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個半球，利用球面的表面積公式及圓的表面積公式即可求得．【題目詳解】由已知可得：以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個半球，其中半球的半徑為1，故半球的表面積為：故答案為：C【題目點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的概念，以及球的表面積的計算，其中解答中熟記旋轉(zhuǎn)體的定義，以及球的表面積公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

直線2x–3y+1=0的斜率為則直線l的斜率為所以直線l的方程為故選A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由余弦定理寫出c與x的等式，再由有兩個正解，解出x的取值范圍【題目詳解】根據(jù)余弦定理：代入數(shù)據(jù)并整理有，有且僅有兩個解，記為則：【題目點撥】本題主要考查余弦定理以及韋達定理，屬于中檔題．12、；【解題分析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點連線垂直于弦．【題目詳解】圓標(biāo)準方程為，圓心為，，∵是中點，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【題目點撥】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，常常要用垂徑定理，如弦長（其中為圓心到弦所在直線的距離）．13、【解題分析】

根據(jù)余弦定理列式，再根據(jù)基本不等式求最值【題目詳解】因為所以角最大值為【題目點撥】本題考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題14、【解題分析】

根據(jù)條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對稱軸及可求解出最值.【題目詳解】假設(shè)經(jīng)過小時兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當(dāng)小時時甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【題目點撥】本題考查解三角形的實際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是通過題意將示意圖畫出來，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.15、【解題分析】

直接利用反三角函數(shù)求解角的大小，即可得到答案.【題目詳解】因為，，根據(jù)反三角函數(shù)的性質(zhì)，可得.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了三角方程的解法，以及反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

直接利用兩點間的距離公式求解即可．【題目詳解】點A（2，1），B（5，﹣1），則|AB|．故答案為：．【題目點撥】本題考查兩點間的距離公式的應(yīng)用，基本知識的考查．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見詳解；（2）.【解題分析】

（1）由面面垂直可得線面垂直，再推證面面垂直即可；（2）根據(jù)垂直于平面AMO，即可由棱錐的體積公式直接求得體積.【題目詳解】（1）在中，因為，且O為AB中點，故AB，因為平面VAB平面ABC，且平面VAB平面ABC，因為CO平面ABC，又AB，故CO平面VAB；又CO平面MOC，故平面MOC平面VAB.即證.（2）由（1）可知CO平面VAB，故三棱錐底面MAO上的高為，又因為分別為的中點，故故.故三棱錐的體積為.【題目點撥】本題考查由線面垂直推證面面垂直，以及三棱錐體積的求解，屬基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理，在平面中找的平行線，轉(zhuǎn)化為線線平行的證明；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為平面.【題目詳解】（1），分別是，的中點，；又平面，平面，平面.（2），，；平面，；又平面，平面，平面，又平面，平面平面.【題目點撥】本題考查了面面垂直的證明，難點在于轉(zhuǎn)化為線面垂直,方法：結(jié)合已知條件，選定其中一個面為垂面，在另外一個面中找垂線，不行再換另外一個面.19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)公式：頻率=頻數(shù)÷樣本容量可補充完成頻率分布表，然后作出頻率分布直方圖；（Ⅱ）直徑誤差不超過3．33mm的頻率有3．53,3．53,3．53，所以這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率3．53+3．53+3．53=3．9；（Ⅲ）由平均值公式可求得試題解析：（Ⅰ）分組

頻數(shù)

頻率

[4．95,4．97）

43

3．43

[4．97,4．99）

53

3．53

[4．99,5．34）

53

3．53

[5．34,5．33]

53

3．53

合計

433

4

（Ⅱ）設(shè)誤差不超過3．33的事件為，則．（Ⅲ）考點：4．頻率分布直方圖；5．求數(shù)值的平均值20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）連接，證明平面，進而可得出；（2）連接、、，設(shè)，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，設(shè)，則角和均為直線與平面所成的角，從而可得出，即可求出所求角.【題目詳解】（1）如下圖所示，連接，在正方體中，平面，平面，，四邊形為正方形，，，平面，平面，；（2）連接、、，設(shè)，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，設(shè)，設(shè)正方體的棱長為，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，在平面內(nèi)，，，，，則、、、四點共面，為的中點，，且，平面，平面，，由勾股定理得，連接，設(shè)，則直線與面所成角為，則，，由連比定理得，則，因此，直線與面所成角為.【題目點撥】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．21、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為；（2）或．【解題分析】

（1）將圓的方程化為標(biāo)準方程，可得出圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）設(shè)直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離，計算出直線截圓的弦長，利用基本不等式可得出的最大值以及等號成立時對應(yīng)的