三線合一在解幾中的應(yīng)用講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

三線合一的頂級(jí)作用空間立體幾何八大垂直中的第一個(gè)模型就是等腰三角形的三線合一，見到等腰連中線，見到長(zhǎng)度相等想等腰，構(gòu)造等腰三角形，再取中線即可。那在解析幾何中的地位又如何呢？超然也是排在了重要地位之上，解析幾何也就是解析（坐標(biāo)運(yùn)算）+幾何（平面幾何），明顯的發(fā)現(xiàn)三線合一要體現(xiàn)出來(lái)，但是試題中往往不會(huì)直接給出的，需要自己去構(gòu)造、去聯(lián)想，從而用上，再去求解。下面以兩道模擬題目為例說(shuō)明：例1（2020·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？级８木帲┮阎謩e為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則，.試題分析：題目中沒(méi)有圖像，首先做出圖像來(lái)，發(fā)現(xiàn)角平分線+垂線，這就是明顯的三線合一，從而需要延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，結(jié)合原點(diǎn)為的天然中點(diǎn)，就根據(jù)中位線得到的長(zhǎng)，則后續(xù)問(wèn)題就是考查橢圓的定義問(wèn)題。解析如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，由題意知：，且平分，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.由橢圓定義知：，，，又，，，.故答案為：；.變式1：已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸的左側(cè)過(guò)點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）則等于（

）A．4 B．2 C． D．解析：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),作圖如下：因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，且，所以，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，所以.故選：A2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)作的平分線的垂線，垂足是M，，則b＝（

）A． B． C．1 D．2【解析】設(shè)半焦距為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，

由于是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且是的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，故，所以，所以.故選：C.3．（2022上·河南新鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線的右支上，且，過(guò)點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為A．若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】如圖，延長(zhǎng)并交于點(diǎn)B，由平分，且，可得，由，可得．又，，所以，故，，在中，，整理得，即，解得，即該雙曲線的離心率為．故選：C4．（原創(chuàng)題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，直線與C的右支交于一點(diǎn)P，過(guò)作的平分線的垂線，垂足是M，則（

）A． B． C． D．【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，

由于是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且是的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又直線過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)，故,可知，在中，所以.故選：C.例2(2022·湖南雅禮中學(xué)二模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若C與直線y=x有交點(diǎn),且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P,使得∠PF2F1=3∠PF試題分析：本題難點(diǎn)∠PF2F1=3∠PF1F2，如何去處理聯(lián)想到初中的內(nèi)容構(gòu)造等角方法，這是23年上半年給思宇講題時(shí)想出來(lái)的方法，如何出現(xiàn)等角，就是結(jié)合等腰三角形的低角相等，從而構(gòu)造等腰三角形，做大角還是小角的等角，正常應(yīng)該造小角的等角，從而作線段的中垂線，也就是y軸，從而題目立刻變成了兩個(gè)等角的問(wèn)題，從而結(jié)合定義，答案立得.解析：雙曲線C與直線y=x有交點(diǎn),則ba>1,b2a2=雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,則點(diǎn)P在右支上.設(shè)PF1與y軸交于點(diǎn)Q,由對(duì)稱性|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1,所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a.由|QF1|>|OF1|得2a>c,所以e=ca<2又在△PF1F2中,∠PF1F2+∠PF2F1=4∠PF1F2<180°,∠PF1F2<45°,所以c2a=cos∠PF1F2>22,即e=ca>2解題后的野路子猜題收獲：兩道題目都是特殊的情況，例1是最后一個(gè)直角三角形，例2中e的范圍為2<e<2，正常也可以猜得右側(cè)為2，當(dāng)然這只是一種猜測(cè)，也可以不正確，一個(gè)可能的答案方式.變式：已知A，B分別為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足且，求的值．【解析】橢圓C：的頂點(diǎn)，，如圖，

由整理得，則，即，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則，于是有，設(shè)，則，，即有，則，，解得，則，而，解得，在中，由正弦定理得，所以．反思：改題與前面的例題看著及其相似，也是構(gòu)造等角的模型，但是構(gòu)造等角后發(fā)現(xiàn)只是出現(xiàn)了三角形的相似，也出現(xiàn)了∠B的角平分線，但是沒(méi)法正確的應(yīng)用上，考慮其原因是A、B兩點(diǎn)是頂點(diǎn)而不是焦點(diǎn)，故而沒(méi)法利用第一定義，從而考慮的是第三定義，從而問(wèn)題順利轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題，此時(shí)就與條件中的二倍角建立關(guān)系，從而結(jié)合正弦定理，問(wèn)題得解.所犯錯(cuò)誤究其原因，還是盲目自大，一味的想當(dāng)然，導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法解決，從而出現(xiàn)卡脖.變式2：（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的