不等式及其性質(zhì)+第2課時 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊

2.2.1不等式及其性質(zhì)新授課2.2

不等式第2課時1.掌握不等式的性質(zhì)及其推論2.掌握反證法、分析法證明不等式回顧：復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及兩個推論：性質(zhì)1

如果a＞b，那么____________．性質(zhì)2

如果a＞b，c＞0，那么__________．性質(zhì)3如果a＞b，c＜0，那么__________．性質(zhì)4如果a＞b，b＞c，那么__________．性質(zhì)5a＞b?__________．a(chǎn)＋c＞b＋cac＞b

cac＜bca＞c

b＜a推論1如果a＋b＞c，那么__________．推論2如果a＞b，c＞d，那么____________．a(chǎn)＞c－ba＋c＞b＋d知識點：不等式的推論

思考：推論2是同向不等式的可加性，那么有沒有類似的與乘法有關(guān)的性質(zhì)呢？推論3

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．證明

根據(jù)性質(zhì)2有a＞b，c＞0?ac＞bc，c＞d，b＞0?bc＞bd，再根據(jù)性質(zhì)4可知ac＞bd．幾個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向．例1

已知a＞b＞0，0＜c＜d，求證：又因為a＞b＞0，所以根據(jù)推論3可知

，即

．證明：因為0＜c＜d，所以

，思考：為什么要限定a，b都是正數(shù)？n∈N行嗎？n∈Z呢？如果將推論3中c和d換成a和b，多次使用，能得到什么結(jié)果？推論4

如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n＞1）．a(chǎn)2＞b2，a3＞b3，a4＞b4....推論5

如果a＞b＞0，那么．證明假設(shè)，即或，根據(jù)推論4和二次根式的性質(zhì)，得a＜b或a＝b．這都與a＞b矛盾，因此假設(shè)不成立，從而．

假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法.思考：證明推論5中不等式的方法具有什么特征？歸納總結(jié)反證法的一般步驟：(1)假設(shè)結(jié)論的反面是正確的；(2)把假設(shè)當(dāng)作已知條件，通過演繹推理，推導(dǎo)出一個與定義、基本事實、已證的定理、性質(zhì)或已知條相矛盾的結(jié)論；(3)說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原命題的結(jié)論正確.思考：用綜合法證明這個不等式方便嗎？可以用什么方法證明？反證法：假設(shè)不等式

不成立，則

，兩邊平方得，所以

≥5，所以21≥25，該不等式顯然不成立，所以原不等式成立．思考：用綜合法證明這個不等式方便嗎？可以用什么方法證明？方法二：要證明

成立，只需證明展開得10＋＜20，即＜5，這只需證明（）2＜52，即21＜25．因為21＜25成立，所以成立．歸納總結(jié)

上述這種證明方法通常稱為分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為p?q，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件．的證明過程也可簡寫為：因為又因為21＜25成立，所以結(jié)論成立．例2

已知m＞0，求證：證明：因為m＞0，所以3＋m＞0，從而又因為已知m＞0，所以結(jié)論成立．已知a>b>0>c,證明練一練解：因為a>