全等動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）①全等，

理由如下：

∵t＝1秒，

∴BP＝CQ＝1×1＝1厘米，

∵AB＝6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴BD＝3cm．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，

∴PC＝4﹣1＝3cm，

∴PC＝BD．

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△BPD≌△CPQ；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

cm/s時(shí)，在某一時(shí)刻也能夠使△BPD與△CPQ全等．

（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)．求經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，并寫(xiě)出第一次相遇點(diǎn)在△ABC的哪條邊上？

②假設(shè)△BPD≌△CPQ，

∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，則BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，

∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝2秒，

∴vQ＝1.5cm/s；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，

由題意，得1.5x＝x+2×6，

解得x＝24，

∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了24×1cm/s＝24cm．

∵24＝16+4+4，

∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AC邊上相遇，

∴經(jīng)過(guò)24秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AC上相遇．2．如圖，在△ABC中，∠ABC為銳角，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，線段CE、BD的位置關(guān)系為

，數(shù)量關(guān)系為

.

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．探究：當(dāng)∠ACB多少度時(shí)，CE⊥BC？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE＝BD．

理由：如圖1，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE．

又BA＝CA，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．

∵∠ACB＝∠B＝45°，

∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．

故答案為：垂直，相等；

②都成立．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△DAB與△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，

∴∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；

（2）當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，CE⊥BD（如圖2）．

理由：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

則∠GAC＝90°，

∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC＝45°，

∴AC＝AG，…（8分）

在△GAD與△CAE中，

∴△GAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠AGC＝45°，

∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，即CE⊥BC．2．如圖，在△ABC中，∠ABC為銳角，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，線段CE、BD的位置關(guān)系為

，數(shù)量關(guān)系為

.

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．探究：當(dāng)∠ACB多少度時(shí)，CE⊥BC？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE＝BD．

理由：如圖1，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE．

又BA＝CA，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．

∵∠ACB＝∠B＝45°，

∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．

故答案為：垂直，相等；

②都成立．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△DAB與△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，

∴∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；

（2）當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，CE⊥BD（如圖2）．

理由：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

則∠GAC＝90°，

∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC＝45°，

∴AC＝AG，…（8分）

在△GAD與△CAE中，

∴△GAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠AGC＝45°，

∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，即CE⊥BC．3．如圖，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝∠BCE＝90°．點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，連接EM、BD交于點(diǎn)N，點(diǎn)N恰好是BD中點(diǎn)，連接AN．

（1）求證：MN＝EN；

（2）連接AM、AE，請(qǐng)?zhí)骄緼N與EM的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．

①寫(xiě)出AN與EM：位置關(guān)系

；數(shù)量關(guān)系

；

②請(qǐng)證明上述結(jié)論．1）證明：∵∠CED＝∠BCE＝90°，

∴BC∥DE，

∴∠MBN＝∠EDN，

∵點(diǎn)N恰好是BD中點(diǎn)，

∴BN＝DN，

在△BMN和△DEN中，

，

∴△BMN≌△DEN（ASA），

∴MN＝EN；（2）①位置關(guān)系：AN⊥EM，數(shù)量關(guān)系：AN＝EM．

故答案為：AN⊥EM，AN＝EM．

②證明：連接AM，AE，

∵△BMN≌△DEN，

∴BM＝DE，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠ABM＝∠ACB＝45°，DE＝CE，

∴BM＝CE，

∵∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠ABM＝∠ACE，在△ABM和△ACE中，

∴△ABM≌△ACE（SAS），

∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，

∴∠BAM+∠CAM＝∠CAE+∠CAM，

即∠MAE＝∠BAC＝90°，

∵M(jìn)N＝EN，

∴AN⊥EM，AN＝EM．4、（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作