人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（第十三章 軸對(duì)稱）13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題（學(xué)習(xí)、上課資料）VIP

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第十三章軸對(duì)稱逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2最短路徑問題建橋選址問題知識(shí)點(diǎn)最短路徑問題知1－講11.

直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問題如圖13.4-1，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)C，使CA＋CB最小，這時(shí)點(diǎn)C就是線段AB與直線l的交點(diǎn).知1－講2.

直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問題如圖13.4-2，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)C，使CA＋CB最小，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)C(也可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)C)，此時(shí)點(diǎn)C就是所求作的點(diǎn).知1－講特別解讀●直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問題是根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來設(shè)計(jì)的.●直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問題依據(jù)兩點(diǎn)：一是對(duì)稱軸上任何一點(diǎn)到一組對(duì)稱點(diǎn)的距離相等；二是將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，依據(jù)異側(cè)兩點(diǎn)的方法找點(diǎn).知1－練例1某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線l上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電.解題秘方：扣住兩點(diǎn)是在直線同側(cè)還是異側(cè)兩種類型解決.知1－練解：如圖13.4-3，連接AB，與l的交點(diǎn)即為所求的分支點(diǎn)M.(1)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩側(cè)，如圖13.4-3，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？知1－練解：如圖13.4-4，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1交l于點(diǎn)M，連接BM，此時(shí)AM＋BM最短，則點(diǎn)M即為所求的分支點(diǎn).(2)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同側(cè)，如圖13.4-4，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？知1－練方法點(diǎn)撥：解決“一線兩點(diǎn)”型最短路徑問題的方法當(dāng)兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，連接兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；當(dāng)兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，作其中某一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn).知1－練1-1.如圖，四邊形OABC為正方形，邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，且D的坐標(biāo)為(1，0)，P是OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則“求PD＋PA的最小值”要用到的數(shù)學(xué)依據(jù)是()A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.軸對(duì)稱的性質(zhì)C.兩點(diǎn)之間，線段最短及軸對(duì)稱的性質(zhì)D.以上都不正確C知1－練如圖13.4-5，牧馬營(yíng)地在點(diǎn)P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b處飲水，最后回到營(yíng)地.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其所走的總路程最短.例2知1－練解題秘方：要使其所走的總路程最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”，因此需將三條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.知1－練解：如圖13.4-5，作點(diǎn)P關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)P1，關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2，分別交直線a，b于點(diǎn)A，B，連接PA，PB.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，PA＝P1A，PB＝P2B，則先沿PA到點(diǎn)A處吃草，再沿AB到點(diǎn)B處飲水，最后沿BP回到營(yíng)地，此時(shí)PA＋AB＋PB＝P1A＋AB＋P2B＝P1P2，按這樣的路線放牧所走的總路程最短.知1－練方法點(diǎn)撥：解決“兩線一點(diǎn)”型最短路徑問題的方法分別以兩線為對(duì)稱軸，作已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，將最短路徑轉(zhuǎn)化為連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段.知1－練2-1.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠AMN＋∠ANM的度數(shù).知1－練解：如圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于直線BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，連接AM，AN，則

A′A″的長(zhǎng)即為△AMN的周長(zhǎng)的最小值．作DA的延長(zhǎng)線AH.知1－練∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.知1－練例3如圖13.4-6，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地l1上吃草，然后趕羊到河邊l2處飲水，之后再回到B處的家.假設(shè)山娃趕羊所走的路都是直路，請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一條最短的路線，并指明羊吃草與飲水的位置.知1－練解題秘方：要使總路程最短，需要將三條線段想辦法轉(zhuǎn)化到一條線段上，可通過兩次軸對(duì)稱構(gòu)造出最短路線.知1－練解：如圖13.4-6，作出點(diǎn)A關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)B關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF，分別交l1，l2于點(diǎn)C，點(diǎn)D，連接AC，BD，則A→C→D

→B是山娃所走的最短路線，其中點(diǎn)C是羊吃草的位置，點(diǎn)D是羊飲水的位置.知1－練方法點(diǎn)撥：解決“兩線兩點(diǎn)”型最短路徑問題的方法以兩線為對(duì)稱軸，分別作靠近線的點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，將最短路徑轉(zhuǎn)化為連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段.知1－練3-1.如圖，已知點(diǎn)P，Q在銳角∠AOB內(nèi)部，分別在邊OA，OB上求作點(diǎn)M，N，使得PM＋MN＋NQ的值最小.知1－練解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)P′，點(diǎn)Q關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求．連接PM，QN，此時(shí)，PM＋MN＋NQ的值最小，就是P′Q′的長(zhǎng)．知2－講知識(shí)點(diǎn)建橋選址問題21.

解決“建橋選址”問題，一般用平移的方法，利用平移前后的對(duì)應(yīng)線段相等，把未知的線段轉(zhuǎn)換到一條直線上，再結(jié)合“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題.2.

解決“建橋選址”問題的關(guān)鍵就是要通過平移橋，使除橋外的其他路徑平移后在一條直線上.知2－講特別解讀解決連接河兩邊兩地的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移橋的方法轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題.知2－練如圖13.4-7，從A地到B地要經(jīng)過一條小河(河的兩岸平行)，現(xiàn)要在河上建一座橋(橋垂直于河的兩岸)，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？例4知2－練解題秘方：如圖13.4-8，從A到B要走的路線為A→M→N→B，因?yàn)楹訉扢N不變，所以要使路程最短，只要AM＋BN最小即可；由平移MN到AC可知，連接B，C的線段長(zhǎng)是AM＋BN的最小值，此時(shí)BC與GH的交點(diǎn)N為橋的一端，MN就是所建的橋的位置.知2－練解：(1)如圖13.4-8，過點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬；(2)連接BC，與河岸GH相交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM⊥EF于點(diǎn)M，則MN為所建橋的位置.知2－練4-1.如圖，要求只挖一條水渠把水送到A，B兩地，請(qǐng)你