人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（第二十八章 銳角三角函數(shù)）28.2 解直角三角形及其應(yīng)用（學(xué)習(xí)、上課課件）

28.2解直角三角形及其應(yīng)用第二十八章銳角三角函數(shù)第1課時(shí)解直角三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2解直角三角形的定義直角三角形中的邊角關(guān)系知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)解直角三角形的定義1定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.感悟新知特別提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三)

.(2)一個(gè)直角三角形可解，則其面積可求.但在一個(gè)解直角三角形的題中，如無(wú)特別說(shuō)明，則不包括求面積.知1－講感悟新知知1－講深度理解●已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橹挥薪堑臈l件，三角形邊的大小不唯一，即有無(wú)數(shù)個(gè)三角形符合條件.●已知一角一邊時(shí)，角必須為銳角，因?yàn)槿粢阎苯牵瑒t不能求解.知1－練感悟新知根據(jù)下列所給條件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角邊及其對(duì)角；②已知兩銳角；③已知兩直角邊；④已知斜邊和一銳角；⑤已知一直角邊和斜邊.A.②③B.②④C.只有②

D.②④⑤例1知1－練感悟新知解：①③④⑤能夠求解；②不能求解.解題秘方：緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進(jìn)行解答.答案：C知1－練感悟新知特別提醒：解直角三角形時(shí)，求某些未知量的方法往往不唯一，選擇關(guān)系式通常遵循以下原則：1.盡量選擇可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；2.盡量選擇便于計(jì)算的關(guān)系式；3.能用乘法計(jì)算的要避免使用除法計(jì)算.知1－練感悟新知1-1.如圖，△ABC

中，AB=AC，BC=10，∠B=36°，D為BC

的中點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)是(

)A.5sin36°B.5cos36°C.5tan36°D.10tan36°C感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形中的邊角關(guān)系21.直角三角形中的邊角關(guān)系：在直角三角形ABC

中，∠C

為直角，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，那么除直角∠C

外的五個(gè)元素之間有如下關(guān)系：(1)三邊之間的關(guān)系：

a2+b2=c2(勾股定理)

.(2)兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.感悟新知

知2－講感悟新知知2－講活學(xué)巧記口訣記憶法有斜求對(duì)乘正弦，有斜求鄰乘余弦，無(wú)斜求對(duì)乘正切.“有斜求對(duì)乘正弦”的意思是：在一個(gè)直角三角形中，對(duì)一個(gè)銳角而言，如果已知斜邊長(zhǎng)，要求該銳角的對(duì)邊長(zhǎng)，那么就用斜邊長(zhǎng)乘該銳角的正弦，其他的意思可類(lèi)推.感悟新知知2－講

感悟新知知2－練例2

知2－練感悟新知

解題秘方：緊扣直角三角形的邊角關(guān)系求解.感悟新知知2－練

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知知2－練感悟新知根據(jù)下列條件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

所對(duì)的邊分別為a，b，c.∠A=30°，b=12；例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣以下兩種思路去求解：(1)求邊時(shí)，一般用未知邊比已知邊(或已知邊比未知邊)，去找已知角的某一個(gè)銳角三角函數(shù).(2)求角時(shí)，一般用已知邊比已知邊，去找未知角的某一個(gè)銳角三角函數(shù).知2－練感悟新知

知2－練感悟新知(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

所對(duì)的邊分別為a，b，c.∠A=60°，c=6.

知2－練感悟新知3-1.在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

所對(duì)的邊分別為a，b，c.根據(jù)下列條件解直角三角形：(1)

c=30，b=20；知2－練感悟新知知2－練感悟新知(2)∠B=72°，c=14；知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

例4

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“化斜為直法”，通過(guò)作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形求解.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知教你一招：構(gòu)造直角三角形解非直角三角形問(wèn)題的方法通過(guò)作垂線(高)，將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角三角形求邊或角.在作垂線時(shí)，要充分利用已知條件，一般在等腰三角形中作底邊上的高，或過(guò)特殊角的一邊上的點(diǎn)作這個(gè)角的另一邊的垂線，從而構(gòu)造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解.知2－練感悟新知

B知2－練感悟新知4-2.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=6，則△ABC

的周長(zhǎng)為_(kāi)_____________

.解直角三角形條件定義解直角三角形三邊關(guān)系邊角關(guān)系兩銳角關(guān)系依據(jù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用第二十八章銳角三角函數(shù)第2課時(shí)應(yīng)用舉例逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用解直角三角形在解仰角和俯角中的應(yīng)用解直角三角形在解方向角中的應(yīng)用解直角三角形在解坡角、坡度中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用知1－講感悟新知11.利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：(1)畫(huà)出平面圖形，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；(2)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識(shí)解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；(4)得到實(shí)際問(wèn)題的答案.知1－講感悟新知2.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式如下表所示：圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式AC=BC·tanα，

AG=AC+BEBC=DC－BD=

AD·(tanα

－tanβ

)知1－講感悟新知AB=DE=AE·tanβ，

CD=CE+DE=AE·(tanα

+tanβ

)知1－講感悟新知知1－講感悟新知特別提醒1.當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，可利用解直角三角形的知識(shí)直接求解.2.在解直角三角形時(shí)，若相關(guān)的角不是直角三角形的內(nèi)角，應(yīng)利用平行線的性質(zhì)或互余、互補(bǔ)的角的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角，再利用解直角三角形的知識(shí)求解.3.問(wèn)題中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的直角三角形，當(dāng)其中一個(gè)直角三角形不能求解時(shí)，可考慮分別由兩個(gè)直角三角形找出含有相同未知元素的關(guān)系式，運(yùn)用方程求解.知1－練感悟新知例1如圖28.2-12所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶(hù)朝南，該樓內(nèi)一樓住戶(hù)的窗臺(tái)離地面的距離CM

為2m，窗戶(hù)CD高1.8m.現(xiàn)計(jì)劃在樓Ⅰ的正南方距樓Ⅰ30m處新建一居民樓Ⅱ.當(dāng)正午時(shí)刻太陽(yáng)光線與地面成30°角時(shí)，要使樓Ⅱ的影子不影響樓Ⅰ所有住戶(hù)的采光，新建樓Ⅱ最高只能建多少米？知1－練感悟新知解題秘方：將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題建模成解直角三角形問(wèn)題.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

D感悟新知例2知1－練

感悟新知知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問(wèn)題.感悟新知知1－練

感悟新知知1－練

知2－練感悟新知2-1.如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA

的垂線PB上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA等于(

)A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C感悟新知知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解仰角和俯角中的應(yīng)用2知2－講1.仰角和俯角的定義：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.知2－講感悟新知特別提醒●仰角和俯角是視線相對(duì)于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.●當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中遇到仰角或俯角時(shí)，要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中，注意確定水平線.感悟新知知2－講2.示圖(如圖28.2-14)：感悟新知知2－練例3如圖28.2-15，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿CD

的高度，先在教學(xué)樓的底端A處，觀測(cè)到旗桿頂端C

的仰角∠CAD=60°，然后爬到教學(xué)樓上的B

處，觀測(cè)到旗桿底端D

的俯角是30°，已知教學(xué)樓AB

高4m.感悟新知知2－練解題秘方：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題求解.感悟新知知2－練(1)

求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD；(結(jié)果保留根號(hào))

感悟新知知2－練(2)

求旗桿CD

的高度.

知3－練感悟新知3-1.如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物D

點(diǎn)的俯角α

為45°，C點(diǎn)的俯角β

為58°，BC

為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB約為_(kāi)____

m．(

sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，結(jié)果保留整數(shù))

.16感悟新知知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解方向角中的應(yīng)用3知3－講方向角的定義：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.感悟新知知3－講特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點(diǎn)的指北方向線起，按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講感悟新知特別提醒1.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.2.觀測(cè)點(diǎn)不同，所得的方向角也不同，但各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換.感悟新知知3－講2.示圖：如圖28.2-16所示，目標(biāo)方向線OA，OB，OC

的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°，其中南偏東45°習(xí)慣上又叫做東南方向，北偏東45°習(xí)慣上又叫做東北方向，北偏西45°習(xí)慣上又叫做西北方向，南偏西45°習(xí)慣上又叫做西南方向.感悟新知例4知3－練

感悟新知知3－練解題秘方：建立數(shù)學(xué)模型后，用“化斜為直法”，將斜三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題求解.感悟新知知3－練

(1)分別求出A

與C

及B

與C

的距離；(結(jié)果保留根號(hào))知3－練感悟新知

感悟新知知3－練

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知4-1.

[中考·眉山]如圖，一漁船在海上A

處測(cè)得燈塔C

在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔C

在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C

的最短距離是_________海里.

感悟新知知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解坡角、坡度中的應(yīng)用4知4－講1.坡角與坡度(坡比)的定義：(1)坡角：坡面與水平面所成的夾角，如圖28.2-18中的α.感悟新知知4－講(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h

和水平長(zhǎng)度l

的