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28.2解直角三角形及其應(yīng)用第二十八章銳角三角函數(shù)第1課時解直角三角形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2解直角三角形的定義直角三角形中的邊角關(guān)系知1-講感悟新知知識點解直角三角形的定義1定義:一般地,直角三角形中,除直角外,共有五個元素,即三條邊和兩個銳角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的過程,叫做解直角三角形.感悟新知特別提醒:(1)在直角三角形中,除直角外的五個元素中,已知其中的兩個元素(至少有一個是邊),可求出其余的三個未知元素(知二求三)
.(2)一個直角三角形可解,則其面積可求.但在一個解直角三角形的題中,如無特別說明,則不包括求面積.知1-講感悟新知知1-講深度理解●已知兩個角不能解直角三角形,因為只有角的條件,三角形邊的大小不唯一,即有無數(shù)個三角形符合條件.●已知一角一邊時,角必須為銳角,因為若已知直角,則不能求解.知1-練感悟新知根據(jù)下列所給條件解直角三角形,不能求解的是()①已知一直角邊及其對角;②已知兩銳角;③已知兩直角邊;④已知斜邊和一銳角;⑤已知一直角邊和斜邊.A.②③B.②④C.只有②
D.②④⑤例1知1-練感悟新知解:①③④⑤能夠求解;②不能求解.解題秘方:緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進(jìn)行解答.答案:C知1-練感悟新知特別提醒:解直角三角形時,求某些未知量的方法往往不唯一,選擇關(guān)系式通常遵循以下原則:1.盡量選擇可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式;2.盡量選擇便于計算的關(guān)系式;3.能用乘法計算的要避免使用除法計算.知1-練感悟新知1-1.如圖,△ABC
中,AB=AC,BC=10,∠B=36°,D為BC
的中點,則AD的長是(
)A.5sin36°B.5cos36°C.5tan36°D.10tan36°C感悟新知知2-講知識點直角三角形中的邊角關(guān)系21.直角三角形中的邊角關(guān)系:在直角三角形ABC
中,∠C
為直角,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,那么除直角∠C
外的五個元素之間有如下關(guān)系:(1)三邊之間的關(guān)系:
a2+b2=c2(勾股定理)
.(2)兩銳角之間的關(guān)系:∠A+∠B=90°.感悟新知
知2-講感悟新知知2-講活學(xué)巧記口訣記憶法有斜求對乘正弦,有斜求鄰乘余弦,無斜求對乘正切.“有斜求對乘正弦”的意思是:在一個直角三角形中,對一個銳角而言,如果已知斜邊長,要求該銳角的對邊長,那么就用斜邊長乘該銳角的正弦,其他的意思可類推.感悟新知知2-講
感悟新知知2-練例2
知2-練感悟新知
解題秘方:緊扣直角三角形的邊角關(guān)系求解.感悟新知知2-練
知2-練感悟新知
知2-練感悟新知知2-練感悟新知根據(jù)下列條件,解直角三角形:(1)在Rt△ABC
中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C
所對的邊分別為a,b,c.∠A=30°,b=12;例3知2-練感悟新知解題秘方:緊扣以下兩種思路去求解:(1)求邊時,一般用未知邊比已知邊(或已知邊比未知邊),去找已知角的某一個銳角三角函數(shù).(2)求角時,一般用已知邊比已知邊,去找未知角的某一個銳角三角函數(shù).知2-練感悟新知
知2-練感悟新知(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C
所對的邊分別為a,b,c.∠A=60°,c=6.
知2-練感悟新知3-1.在Rt△ABC
中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C
所對的邊分別為a,b,c.根據(jù)下列條件解直角三角形:(1)
c=30,b=20;知2-練感悟新知知2-練感悟新知(2)∠B=72°,c=14;知2-練感悟新知
知2-練感悟新知
例4
知2-練感悟新知解題秘方:緊扣“化斜為直法”,通過作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形求解.知2-練感悟新知
知2-練感悟新知教你一招:構(gòu)造直角三角形解非直角三角形問題的方法通過作垂線(高),將斜三角形分割成兩個直角三角形,然后利用解直角三角形求邊或角.在作垂線時,要充分利用已知條件,一般在等腰三角形中作底邊上的高,或過特殊角的一邊上的點作這個角的另一邊的垂線,從而構(gòu)造含特殊角的直角三角形,再利用解直角三角形的相關(guān)知識求解.知2-練感悟新知
B知2-練感悟新知4-2.如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=6,則△ABC
的周長為______________
.解直角三角形條件定義解直角三角形三邊關(guān)系邊角關(guān)系兩銳角關(guān)系依據(jù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用第二十八章銳角三角函數(shù)第2課時應(yīng)用舉例逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2解直角三角形在實際中的應(yīng)用解直角三角形在解仰角和俯角中的應(yīng)用解直角三角形在解方向角中的應(yīng)用解直角三角形在解坡角、坡度中的應(yīng)用知識點解直角三角形在實際中的應(yīng)用知1-講感悟新知11.利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟:(1)畫出平面圖形,將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題;(2)根據(jù)已知條件的特點,靈活選用銳角三角函數(shù)等知識解直角三角形;(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案;(4)得到實際問題的答案.知1-講感悟新知2.解決實際問題時,常見的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式如下表所示:圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式AC=BC·tanα,
AG=AC+BEBC=DC-BD=
AD·(tanα
-tanβ
)知1-講感悟新知AB=DE=AE·tanβ,
CD=CE+DE=AE·(tanα
+tanβ
)知1-講感悟新知知1-講感悟新知特別提醒1.當(dāng)實際問題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時,可利用解直角三角形的知識直接求解.2.在解直角三角形時,若相關(guān)的角不是直角三角形的內(nèi)角,應(yīng)利用平行線的性質(zhì)或互余、互補的角的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角,再利用解直角三角形的知識求解.3.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形,當(dāng)其中一個直角三角形不能求解時,可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的關(guān)系式,運用方程求解.知1-練感悟新知例1如圖28.2-12所示,某居民樓Ⅰ高20m,窗戶朝南,該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺離地面的距離CM
為2m,窗戶CD高1.8m.現(xiàn)計劃在樓Ⅰ的正南方距樓Ⅰ30m處新建一居民樓Ⅱ.當(dāng)正午時刻太陽光線與地面成30°角時,要使樓Ⅱ的影子不影響樓Ⅰ所有住戶的采光,新建樓Ⅱ最高只能建多少米?知1-練感悟新知解題秘方:將實際應(yīng)用問題建模成解直角三角形問題.知1-練感悟新知
知1-練感悟新知
D感悟新知例2知1-練
感悟新知知1-練解題秘方:在建立的非直角三角形模型中,用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問題.感悟新知知1-練
感悟新知知1-練
知2-練感悟新知2-1.如圖,要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離,可以在小河邊取PA
的垂線PB上的一點C,測得PC=100米,∠PCA=35°,則小河寬PA等于(
)A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C感悟新知知識點解直角三角形在解仰角和俯角中的應(yīng)用2知2-講1.仰角和俯角的定義:在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫做仰角,視線在水平線下方的角叫做俯角.知2-講感悟新知特別提醒●仰角和俯角是視線相對于水平線而言的,不同位置的仰角和俯角是不同的,可巧記為“上仰下俯”.●當(dāng)實際問題中遇到仰角或俯角時,要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中,注意確定水平線.感悟新知知2-講2.示圖(如圖28.2-14):感悟新知知2-練例3如圖28.2-15,在數(shù)學(xué)活動課中,小敏為了測量校園內(nèi)旗桿CD
的高度,先在教學(xué)樓的底端A處,觀測到旗桿頂端C
的仰角∠CAD=60°,然后爬到教學(xué)樓上的B
處,觀測到旗桿底端D
的俯角是30°,已知教學(xué)樓AB
高4m.感悟新知知2-練解題秘方:將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解.感悟新知知2-練(1)
求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD;(結(jié)果保留根號)
感悟新知知2-練(2)
求旗桿CD
的高度.
知3-練感悟新知3-1.如圖,有甲乙兩座建筑物,從甲建筑物A點處測得乙建筑物D
點的俯角α
為45°,C點的俯角β
為58°,BC
為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6m,則甲建筑物的高度AB約為_____
m.(
sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,結(jié)果保留整數(shù))
.16感悟新知知識點解直角三角形在解方向角中的應(yīng)用3知3-講方向角的定義:指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.感悟新知知3-講特別警示:方向角和方位角不同,方位角是指從某點的指北方向線起,按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角,變化范圍為0°~360°,而方向角的變化范圍是0°~90°.知3-講感悟新知特別提醒1.解決實際問題時,可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形來求解.2.觀測點不同,所得的方向角也不同,但各個觀測點的南北方向線是互相平行的,通常借助此性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換.感悟新知知3-講2.示圖:如圖28.2-16所示,目標(biāo)方向線OA,OB,OC
的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°,其中南偏東45°習(xí)慣上又叫做東南方向,北偏東45°習(xí)慣上又叫做東北方向,北偏西45°習(xí)慣上又叫做西北方向,南偏西45°習(xí)慣上又叫做西南方向.感悟新知例4知3-練
感悟新知知3-練解題秘方:建立數(shù)學(xué)模型后,用“化斜為直法”,將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題求解.感悟新知知3-練
(1)分別求出A
與C
及B
與C
的距離;(結(jié)果保留根號)知3-練感悟新知
感悟新知知3-練
知3-練感悟新知
知3-練感悟新知4-1.
[中考·眉山]如圖,一漁船在海上A
處測得燈塔C
在它的北偏東60°方向,漁船向正東方向航行12海里到達(dá)B處,測得燈塔C
在它的北偏東45°方向,若漁船繼續(xù)向正東方向航行,則漁船與燈塔C
的最短距離是_________海里.
感悟新知知識點解直角三角形在解坡角、坡度中的應(yīng)用4知4-講1.坡角與坡度(坡比)的定義:(1)坡角:坡面與水平面所成的夾角,如圖28.2-18中的α.感悟新知知4-講(2)坡度(坡比):我們通常把坡面的鉛直高度h
和水平長度l
的
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