2022屆高三二輪練習(xí)卷 數(shù)學(xué)（十六）軌跡方程的求法 答案版

專題十六專題十六軌跡方程的求法XXXXXXXXX1．直接法求軌跡方程1．已知平面上兩定點(diǎn)、，為一動(dòng)點(diǎn)，滿足．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程．【答案】．【解析】設(shè)，由已知，，，得，，∵，∴，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為．2．雙曲線的兩焦點(diǎn)分別是、，其中是拋物線的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)、都在該雙曲線上．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的軌跡方程，并指出其軌跡表示的曲線．【答案】（1）；（2）直線或橢圓，除去兩點(diǎn)、．【解析】（1）由得，焦點(diǎn)．（2）因?yàn)锳、B在雙曲線上，所以，．①若，則，點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線，且當(dāng)時(shí)，與重合；當(dāng)時(shí)，A、B均在雙曲線的虛軸上，故此時(shí)的軌跡方程為；②若，則，此時(shí)，的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，，，中心為的橢圓，其方程為，故的軌跡是直線或橢圓，除去兩點(diǎn)、．2．定義法求軌跡方程1．一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線．【答案】，橢圓．【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得，，當(dāng)與相切時(shí)，有①當(dāng)與相切時(shí)，有②將①②兩式的兩邊分別相加，得，即③移項(xiàng)再兩邊分別平方得④兩邊再平方得，整理得，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓．2．已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得，．．∴動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12，故所求軌跡方程為．3．一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是（）拋物線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】D【解析】令動(dòng)圓半徑為R，則有，則，滿足雙曲線定義，故選D．3．相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程1．點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則由M為線段AB中點(diǎn)，可得，即點(diǎn)B坐標(biāo)可表為，，，，．2．雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴，∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，∵存在，∴，由三角形重心坐標(biāo)公式有，即，∵，∴，已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有，即所求重心的軌跡方程為．3．如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)，則．在直線上，①又，得，即．②聯(lián)解①②得，又點(diǎn)在雙曲線上，，化簡(jiǎn)整理得，此即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．4．參數(shù)法求軌跡方程1．過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)，直線的斜率為，則直線的斜率為．直線OA的方程為，由，解得，即，同理可得．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，消去，得，此即點(diǎn)的軌跡方程．2．設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．【答案】M的軌跡方程為，它表示以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．【解析】解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)(x≠0)，直線AB的方程為x=my+a，由OM⊥AB，得，由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0，所以，，所以，由OA⊥OB，得，所以，故，用代入，得，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為，它表示以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．解法二：設(shè)OA的方程為，代入得，則OB的方程為，代入得，∴AB的方程為，過定點(diǎn)，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外），故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為，它表示以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．解法三：設(shè)，OA的方程為，代入得，則OB的方程為，代入得，由OM⊥AB，得