遼寧省葫蘆島市興城市2023屆九年級上學期期末考試數(shù)學試卷(含解析)

2022-2023學年遼寧省葫蘆島市興城市九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.2(x-1)=x B.x2-xy=2 C.x22.下列圖形中，是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.一個小球在如圖所示的方格地板上自由滾動，并隨機停留在某塊地板上，每塊地板大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是(

)A.516

B.38

C.7164.“射擊運動員射擊一次，命中靶心”這個事件是(

)A.確定事件 B.隨機事件 C.不可能事件 D.必然事件5.將y=4x2的圖象向右平移3個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線的解析式為(

)A.y=4(x+3)2+1 B.y=4(x+1)2+36.在一個不透明的口袋里放置4個紅球，n個綠球和2個藍球，這些小球除顏色外其余均相同，數(shù)學小組每次摸出一個球記錄下顏色后再放回，并且繪制了綠球出現(xiàn)的頻率圖，則n的值可能是(

)A.2 B.4 C.6 D.97.我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設正方形的邊長是x步，則列出的方程是(

)

A.π(x+3)2-x2=72 B.π(8.如圖，△ABC內接于⊙O，∠C=36°，弦AB是圓內接正多邊形的一邊，則該正多邊形是(

)A.正五邊形

B.正六邊形

C.正十邊形

D.正十二邊形9.如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，點E在線段BC上，CE=5，以點C為圓心，CE長為半徑作弧交AC于點D，交BC的延長線于點F，以點F為圓心，DE長為半徑作弧，交DF于點G，連接CG，過點G作GH⊥BF，垂足為點H，則線段GH的長為(

)A.2 B.3 C.4 D.510.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(-3,0)，與y軸交于點B，其對稱軸為x=-1，以下結論：①abc>0；②當x>-2時，y的值隨x值的增大而增大；③5a+2b+c<0；④拋物線一定經過點(-c3a,0)；⑤關于x的方程axA.1個

B.2個

C.3個

D.4個二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）11.拋物線y=2(x+3)2+5的頂點坐標為______12.已知A(0,3)，B(2,3)是拋物線y=-x2+bx+c上兩點，則b=______13.圓錐的底面直徑是80cm，母線長90cm，則圓錐的全面積為______．14.若關于x的一元二次方程x2+2x+a=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是______．15.如圖，含30°角的直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，點C和點D在量角器的半圓上，若點D在量角器上對應的讀數(shù)是50°，則∠CAD的度數(shù)是______．

16.如圖，△ABC中，∠A=40°，△ABC繞點B順時針旋轉一定的角度得到△A1BC1，若點C恰好在線段A1C1上，A

17.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D在線段AB上運動，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，若△CDE與△BDE相似，則線段DE的長為______．

18.如圖，在△ABC中，AC=4，AB=3，以點C為旋轉中心，將線段BC順時針旋轉60°，得到線段CD，連接AD，則線段AD的最小值為______．

三、解答題（本大題共8小題，共96.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.(本小題10.0分)

解方程：

(1)x2+5x+7=3x+11；

20.(本小題12.0分)

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別是A(1,1)，B(-2,-1)，C(1,-1)，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得到△AB'C'．

(1)畫出△AB'C'，寫出點B'，C'的坐標；

(2)請直接寫出線段AB'與x軸交點的坐標．21.(本小題12.0分)

為慶祝黨的二十大的勝利召開，某校開展了“永遠跟黨走，奮進新征程”為主題的教育活動，活動方式有書法展示、手抄報設計、唱響經典紅歌、愛國主義主題演講(分別用字母A，B，C，D依次表示這四種活動方式)，為了解全體學生最喜歡哪種活動方式(要求必須選擇一種且只能選擇一種)，抽取了部分學生進行調查，并根據(jù)調查結果繪制了以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)以上信息回答下列問題：

(1)這次被調查的學生有多少人？

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)全校共有2400人，請估計該校最喜歡“書法展示”的學生有多少人？

(4)某班準備從最喜歡愛國主義主題演講的甲、乙兩名女生和丙、丁兩名男生中任選兩人參加學校組織的愛國主義演講比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求所選兩人恰好為1名女生和1名男生的概率．22.(本小題12.0分)

如圖，AB為⊙O的直徑，△ACD內接于⊙O，∠ADC=45°，CD交AB于點E．

(1)求∠BAC的度數(shù)；

(2)若點E為OB中點，CE=5，求AE的長．23.(本小題12.0分)

2022年卡塔爾世界杯足球賽開戰(zhàn)，很多商家都緊緊把握這一商機，賽場內外隨處可見“中國制造”的身影，某商家銷售一批“中國制造”的吉祥物“拉伊卜”毛絨玩具，已知每個毛絨玩具“拉伊卜”的成本為40元，銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的1.8倍，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，毛絨玩具“拉伊卜”每天的銷售量y(個)與銷售單價x(元)滿足如圖所示的一次函數(shù)關系．

(1)求y與x的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

(2)每個毛絨玩具“拉伊卜”的售價為多少元時，該商家每天的銷售利潤為2400元？

(3)當毛絨玩具“拉伊卜”的銷售單價為多少元時，該商家每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？24.(本小題12.0分)

如圖，△ABC中，∠B=∠ACB=30°，點O在線段BC上，連接AO，AO=OC，過點C作CD//AB交AO的延長線于點D，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．

(1)求證：AC為⊙O的切線；

(2)若AD=6，求圖中陰影部分的面積．25.(本小題12.0分)

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC中點，點E在射線AD上運動，線段CE繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，連接AF．

(1)當點E與點D重合時，請直接寫出AE與AF的數(shù)量關系；

(2)當點E在線段AD上時，請寫出線段AF，ED，DC的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)若AC=32，ED=1，請直接寫出△ACF的面積．

26.(本小題14.0分)

如圖，拋物線y=ax2+125x+c與x軸交于點A(-1,0)和點B，與y軸交于點C(0,3)，過點C作x軸的平行線交拋物線于點D，點E在直線CD上運動．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點E在線段CD上，點D關于直線OE的對稱點F恰好落在y軸上時，求點E坐標；

(3)點P在拋物線上，點Q在坐標平面內，在點E移動的過程中，當以點E，O，P，Q為頂點的四邊形是正方形時，請直接寫出點答案和解析1.【答案】C

解析：解：A、2(x-1)=x，是一元一次方程，故不符合題意；

B、x2-xy=2，含有兩個未知數(shù)，故不符合題意；

C、x2-2x+1=0，是一元二次方程，故符合題意；

D、x22.【答案】B

解析：解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．

選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．

故選：B．

根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．

本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．

3.【答案】B

解析：解：由圖可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚，

∴黑色方磚在整個地板中所占的比值=616=38，

∴該小球停留在黑色區(qū)域的概率是34.【答案】B

解析：解：射擊運動員射擊一次，命中靶心，這個事件是隨機事件，

故選：B．

必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，能夠確定一個事件是何種事件是解題的關鍵；

5.【答案】C

解析：解：∵二次函數(shù)y=3x2的圖象向右平移3個單位，再向上平移1個單位后，

∴所得圖象的函數(shù)解析式是：y=4(x-3)2+1．

故選：C．

由二次函數(shù)y=46.【答案】D

解析：解：由統(tǒng)計圖可知，黃球出現(xiàn)的頻率為0.6，

∴n4+n+2=0.6，

解得n=9，

經檢驗，n=9是原方程的解．

故選：D．

根據(jù)統(tǒng)計圖可知，黃球出現(xiàn)的頻率為0.67.【答案】B

解析：解：設正方形的邊長是x步，則列出的方程是：π(x2+3)8.【答案】A

解析：解：如圖，連接AO，BO，

∵∠ACB=36°，

∴∠AOB=2∠C=72°，

∴360°÷72°=5，

∴AB是正五邊形的一條邊，

故選：A．

構造弧AB所對的圓周角后即可求得答案．

本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關鍵是構造同弧所對的圓心角，難度不大．

9.【答案】B

解析：解：∵以點F為圓心，DE長為半徑作弧，交DF于點G，

∴FG=DE，

∴∠GCH=∠ACB，

∵GH⊥BF，

∴∠GHC=90°，

∴∠B=∠GHC=90°，

∴△CGH∽△CAB，

∴GH：AB=CG：AC，

∵AC=AB2+BC2=62+82=10，

∴GH：6=5：10，

∴GH=3．

故選：B10.【答案】D

解析：解：①∵函數(shù)開口方向向下，

∴a<0；

∵對稱軸在y軸左側，

∴a、b同號，

∵拋物線與y軸交點在y軸正半軸，

∴c>0，

∴abc>0，

故①正確；

②∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1，

∴當x<-2時，y的值隨x值的增大而增大，

故②錯誤；

③∵圖象與x軸交于點A(-3,0)，對稱軸為直線x=-1，

∴圖象與x軸的另一個交點為(1,0)，

∴a+b+c=0，

∵x=3時，y<0，

∴9a+3b+c<0，

∵10a+4b+2c<0，即5a+2b+c<0，

故③正確；

④∵圖象與x軸的交點為在(-3,0)和(1,0)，

∴ax2+bx+c=0的兩根為-3和1，

∴-3=ca，

∴c=-3a，

∴-c3a=1，

∴拋物線一定經過點(-c3a,0)，

故④正確；

⑤∵拋物線與直線y=-x+1有兩個交點，

∴關于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

故⑤正確．

綜上所述，正確的有①③④⑤共4個，

故選：D．

由題意得到拋物線的開口向上，對稱軸-b2a=-1，判斷a，b與0的關系，根據(jù)拋物線與y軸交點的位置確定c與0的關系，從而得到abc>0，即可判斷①；

根據(jù)函數(shù)性質即可判斷②；

根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c經過點(1,0)以及x=3時，y<0，得到11.【答案】(-3,5)

解析：解：y=2(x+3)2+5的頂點坐標為(-3,5)．

故答案為：(-3,5)12.【答案】2

解析：解：將A(0,3)，B(2,3)代入解析式，

得：c=3-4+2b+c=3，

解得b=2c=3，

故答案為13.【答案】5200πcm解析：解：∵圓錐的底面直徑是80cm，

∴底面圓的半徑為40cm，

∴圓錐的底面積為402π=1600π，圓錐的側面積=π×40×90=3600πcm2．

∴圓錐的全面積為1600π+3600π=5200πcm2．

故答案為：14.【答案】a≤1

解析：解：因為關于x的一元二次方程有實根，

所以△=b2-4ac=4-4a≥0，

解之得a≤1．

故答案為a≤1．

在與一元二次方程有關的求值問題中，必須滿足下列條件：

(1)二次項系數(shù)不為零；

(2)在有實數(shù)根下必須滿足△=b2-4ac≥0．

本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c15.【答案】35°

解析：解：如圖，連接OD，

根據(jù)題意得，∠CAB=60°，

∵點D在量角器上對應的讀數(shù)是50°，

∴∠DOB=50°，

∵∠DAB=12∠DOB，

∴∠DAB=25°，

∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=35°，

故答案為：35°．

根據(jù)圓周角定理得出16.【答案】70°

解析：解：∵△ABC中，∠A=40°，△ABC繞點B順時針旋轉一定的角度得到△A1BC1，

∴∠A=∠A1=40°，CB=CB1，

∵A17.【答案】1.5或1.92

解析：解：∵DE⊥BC，

∴∠DEB=90°．

∴∠ACB=∠DEB．

∴DE//AC．

∴△ACB∽△DEB．

∵△CDE與△BDE相似，

(一)當∠B=∠DCB時，∵DE⊥BC，

∴點E是CB的中點．

∴DE是△ABC的中位線．

∴DE=12AC=1.5．

(二)當∠B=∠EDC時，

∴CEDE=DEBE．

由△ACB∽△DEB得DEBE=ACBC=34．

∴CEDE=DEBE=34．

∴CE=3418.【答案】1

解析：解：如圖，把線段AC繞著C順時針旋轉60°得到線段CE，連接DE，

∴△ACE為等邊三角形，

∴AE=AC=4，

在△ADE中，AD+DE≥AE，

∴AD≥AE-DE，

∵以點C為旋轉中心，將線段BC順時針旋轉60°，得到線段CD，

∴△CBA≌△CDE，

∴AB=DE=3，

∴AD≥AE-DE=4-3=1，

∴線段AD的最小值為1．

故答案為：1．

首先把線段AC繞著C順時針旋轉60°得到線段CE，連接DE，可以得到AD≥AE-DE，然后利用旋轉的性質和等邊三角形的性質即可求解．

此題主要考查了旋轉的性質，同時也利用了全等三角形的性質、等邊三角形的性質及三角形的三邊關系，有一定的綜合性．

19.【答案】解：(1)x2+5x+7=3x+11，

x2+2x-4=0，

∵a=1，b=2，c=-4，

∴x=-b±b2-4ac2a=-2±22-4×1×(-4)2×1=-2±252，

∴x解析：(1)先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再根據(jù)公式法求解即可；

(2)先化成一般式找到a、b、c，計算b2-4ac判定根的情況，最后運用求根公式即可求解．

本題考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出20.【答案】解：(1)如圖，△AB'C'即為所求．

點B'(3,-2)，C'(3,1)．

(2)設直線AB'的解析式為y=kx+b，

將A(1,1)，B'(3,-2)代入，

得k+b=13k+b=-2，

解得k=-32b=52，

∴直線AB'的解析式為y=-32x+52，

令y=0，得x=解析：(1)根據(jù)旋轉的性質作圖，即可得出答案．

(2)利用待定系數(shù)法求出直線AB'的解析式，再令y=0，求出x，即可得所求的坐標．

本題考查作圖-旋轉變換、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握旋轉的性質以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．

21.【答案】解：(1)30÷30%=100(人)，

答：這次被調查的學生有100人；

(2)喜歡C的人數(shù)為：100-20-30-15=35(人)，

補全條形統(tǒng)計圖如下：

(3)2400×20100=480(人)，

答：估計該校最喜歡“書法展示”的學生約有480人；

(4)畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中所選兩人恰好為1名女生和1名男生的結果有8種，

∴所選兩人恰好為1名女生和1名男生的概率為812解析：(1)由喜歡B的人數(shù)除以所占百分比即可；

(2)求出喜歡C的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；

(3)由全校共有學生人數(shù)乘以該校最喜歡“書法展示”的學生所占的比例即可；

(4)畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中所選兩人恰好為1名女生和1名男生的結果有8種，再由概率公式求解即可．

本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識，樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

22.【答案】解：(1)連接OC，

∵∠ADC=45°，

∴∠AOC=2∠ADC=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠BAC的度數(shù)為45°；

(2)設OE=x，

∵點E為OB中點，

∴OB=2OE=2x，

∴AO=OC=OB=2x，

在Rt△COE中，CE=5，

∴OE2+OC2=CE2，

∴x2+(2x)2=52解析：(1)連接OC，利用圓周角定理可求出∠AOC=2∠ADC=90°，然后利用等腰直角三角形的性質，即可解答；

(2)設OE=x，根據(jù)線段中點的定義可得AO=OC=OB=2x，然后在Rt△COE中，利用勾股定理進行計算即可解答．

本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．

23.【答案】解：(1)設一次函數(shù)關系式為y=kx+b(k≠0)，

由圖象可得，當x=50時，y=120；x=60時，y=100，

∴50k+b=12060k+b=100，

解得：k=-2b=220，

∵銷售單價不低于成本價且不高于成本價的1.8倍，

∴40≤x≤72

∴y與x之間的關系式為：y=-2x+220(40≤x≤72)；

(2)根據(jù)題意得：(x-40)(-2x+220)=2400，

整理得：x2-150x+5600=0，

解得x=70或x=80，

∵40≤x≤72，

∴x=70，

答：每個毛絨玩具“拉伊卜”的售價為70元時，該商家每天的銷售利潤為2400元；

(3)設該商家每天獲得的利潤為w元，

則w=(x-40)y=(x-40)(-2x+220)=-2x2+300x-8800=-2(x-75)2+2450，

∵-2<0，40≤x≤72，

∴當x=72時，w最大，最大值為解析：(1)設一次函數(shù)關系式為y=kx+b(k≠0)，把x=50時，y=120；x=60時，y=100，代入解析式可得k、b的值解方程組即可得到結論；

(2)根據(jù)每個毛絨玩具“拉伊卜”利潤×銷售利潤=2400列出方程，解方程取在40≤x≤72的值即可；

(2)設該公司日獲利為w元，根據(jù)每天的總利潤=每個毛絨玩具“拉伊卜”利潤×銷售利潤列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質和自變量的取值范圍求函數(shù)最值．

本題考查了二次函數(shù)的應用，在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．

24.【答案】(1)證明：如圖，過點O作OE⊥AC于點E，

∵∠B=∠ACB=30°，

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，

∵AO=OC，

∴∠CAO=∠ACB=30°，

∴∠BAD=∠BAC-∠CAO=90°，

∵CD//AB，

∴∠ODC=∠BAD=90°，∠DCO=∠B=30°=∠ECO，

∵OE⊥AC，

∴∠OEC=90°=∠ODC，

在△OCE和△OCD中，

∠OEC=∠ODC∠ECO=∠DCOOC=OC，

∴△OCE≌△OCD(AAS)，

∴OE=OD，

∵⊙O是以O為圓心，OD為半徑，

∴OE為半徑，

又OE⊥AC，

∴AC為⊙O的切線；

(2)解：由(1)得，∠ODC=90°，∠DAC=30°，

∵AD=6，

∴CD=AD?tan30°=6×33=23，

∵∠OCD=30°，

∴OD=CD?tan30°=23×33=2解析：(1)過點O作OE⊥AC于點E，根據(jù)等腰三角形的性質、三角形內角和定理及角的和差求出∠BAD=90°，根據(jù)平行線的性質得出∠ODC=∠BAD=90°，∠DCO=30°=∠ECO，利用AAS證明△OCE≌△OCD，則OE=OD，進而得出OE為半徑，根據(jù)切線的判定定理即可得解；

(2)解直角三角形得出CD=23，OD=2，根據(jù)陰影部分的面積=四邊形ODCE的面積25.【答案】(1)解：AE=AF，理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC中點，

∴AD=DC=BD，AD⊥DC，

∵點E與點D重合時，

∴AE=EC，

∵線段CE繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，

∴EC=CF，EC⊥CF，

∴AE=CF，AE//CF，

∴四邊形AECF是正方形，

∴AE=AF；

(2)解：AF-ED=DC，理由如下：

過點C作CG⊥AC，交AD的延長線于點G，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵D為BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠DAC=45°，

∵∠ACG=90°，

∴∠AGC=45°，∠DCG=45°，

∴AC=GC，DC=DG，

∵∠ACG=∠ECG，

∴∠FCA=∠ECG，

∵EC=FC，

∴△ACF≌△GCE(SAS)，

∴AF=EG，

∵EG-ED=DG=DC，

∴AF-ED=DC；

(3)解：當E在線段AD上，由(2)可知，△ACF≌△GCE，

∴△ACF的面積=△GCE的面積，

∵AC=32，ED=1，

∴CD=AD=DG=3，

∴EG=ED+DG=1+3=4，

∴△ACF的面積=△GCE的面積=12EG×CD=12×4×3=6，

當當E在射線AD上，△ACF的面積=△GCE的面積=解析：(1)根據(jù)直角三角形的性質和正方形的判定和性質解答即可；

(2)過點C作CG⊥AC，交AD的延長線于點G，根據(jù)直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質得出邊長關系，進而解答即可．

本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．

26.【答案】解：(1)∵拋物線y=ax2+125x+c與x軸交于點A(-1,0)，與y軸交于點C(0,3)，

∴a-125+c=0c=3，

解得a=-