2024屆河南省豫北地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆河南省豫北地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則的方程為（）A． B．C． D．2．名小學(xué)生的身高（單位：cm）分成了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組：115，122，105，111，109；乙組：125，132，115，121，119.兩組數(shù)據(jù)中相等的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)、極差 B．平均數(shù)、方差C．方差、極差 D．極差、平均數(shù)3．若扇形的面積為、半徑為1，則扇形的圓心角為（）A． B． C． D．4．已知兩點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．5．等差數(shù)列的首項(xiàng)為.公差不為，若成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的體積是()A． B． C． D．17．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位圓上一點(diǎn)，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢． B． C． D．10．化成弧度制為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角所對的邊為，若，且的外接圓半徑為，則________．12．?dāng)?shù)列中，，以后各項(xiàng)由公式給出，則等于_____.13．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐標(biāo)是．14．已知，那么__________．15．已知兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為_________.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到”，左邊需增乘的代數(shù)式是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值以及取得該最小值時(shí)的值.18．?dāng)?shù)列中，，.前項(xiàng)和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）若，現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.記數(shù)列的前項(xiàng)和，試問：是否能取整數(shù)？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間：(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及取最大值時(shí)的集合.20．記公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知=2，是與的等比中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，等式成立？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)（1,0）的坐標(biāo)即得解.【題目詳解】設(shè)直線的方程為，由題得.所以直線的方程為.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

將甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差全部算出來，并進(jìn)行比較，可得出答案．【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，因此，兩組數(shù)據(jù)相等的是極差和方差，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查樣本的數(shù)字特征，理解極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義并利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】設(shè)扇形的圓心角為α，則∵扇形的面積為，半徑為1，

∴故選B4、C【解題分析】

直接利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【題目詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)，，則，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的模，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．5、A【解題分析】

根據(jù)等比中項(xiàng)定義可得；利用和表示出等式，可構(gòu)造方程求得；利用等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：設(shè)等差數(shù)列公差為，則即：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，涉及到等比中項(xiàng)、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠構(gòu)造方程求出公差，屬于常考題型.6、C【解題分析】

由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為，底面是直角邊長分別為1，的直角三角形，代入體積公式計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為，底面是直角邊長分別為1，的直角三角形，∴三棱柱的體積V．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量．7、C【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【題目詳解】為單位圓上一點(diǎn)，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，考查基本的運(yùn)算求解能力．8、B【解題分析】

利用直線的方程過點(diǎn)分別與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可得：，，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且構(gòu)成，所以，直線斜率一定存在，設(shè)，，：，，則有：，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號成立，的面積為：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線的截距式方程、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

依次判斷各個(gè)函數(shù)的值域，從而得到結(jié)果.【題目詳解】選項(xiàng)：值域?yàn)?，錯(cuò)誤選項(xiàng)：值域?yàn)椋_選項(xiàng)：值域?yàn)?，錯(cuò)誤選項(xiàng)：值域?yàn)椋e(cuò)誤本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查初等函數(shù)的值域問題，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

利用角度化弧度公式可將化為對應(yīng)的弧度數(shù).【題目詳解】由題意可得，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查角度化弧度，充分利用公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或.【解題分析】

利用正弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【題目詳解】由正弦定理可得，所以，，，或，故答案為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理的應(yīng)用，在利用正弦值求角時(shí)，除了找出銳角還要注意相應(yīng)的補(bǔ)角是否滿足題意，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

可以利用前項(xiàng)的積與前項(xiàng)的積的關(guān)系，分別求得第三項(xiàng)和第五項(xiàng)，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意知，數(shù)列中，，且，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，其中解答中熟練的應(yīng)用遞推關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】試題分析：因?yàn)?所以.考點(diǎn)：向量坐標(biāo)運(yùn)算.14、2017【解題分析】，故，由此得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)解析式的求解方法，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式.對于函數(shù)解析式的求法，有兩種，一種是換元法，另一種的變換法.解析中運(yùn)用的方法就是變換法，即將變換為含有的式子.也可以令.等比數(shù)列求和公式為.15、【解題分析】

求出直線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用兩直線垂直時(shí)斜率之積為可得出線段的垂直平分線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出中垂線的方程．【題目詳解】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，其方程為，即.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線方程的求解，有如下兩種方法求解：（1）求出中垂線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式得出中垂線所在直線方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用動(dòng)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等列式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即可作為中垂線所在直線的方程．16、.【解題分析】

從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出．【題目詳解】假設(shè)時(shí)命題成立，則，當(dāng)時(shí)，從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是．故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值.【解題分析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由計(jì)算出的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得該函數(shù)的最小值及其對應(yīng)的值.【題目詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時(shí).【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間、最值的求解，解答的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數(shù),此時(shí)的取值集合為.【解題分析】

（1）利用遞推關(guān)系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：,化簡推出數(shù)列是等比數(shù)列.（3）由,求出,求出,得到通項(xiàng)公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數(shù),需為整數(shù),推出的取值集合為時(shí),取整數(shù)【題目詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數(shù)列.（3）由,,又是等比數(shù)列,,,①當(dāng)時(shí),依次為,.②當(dāng)時(shí),,,,要使取整數(shù),需為整數(shù),令,,,要么都為整數(shù),要么都不是整數(shù),又所以當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為整數(shù),即的取值集合為時(shí),取整數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用遞推公式結(jié)合,為判斷等比數(shù)列,考查數(shù)列前項(xiàng)和的比的問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想的綜合性解題能力.19、（1）,單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）最大值為,取最大值時(shí)，的集合為.【解題分析】

（1）對進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)換為正弦函數(shù)，可得其最小正周期和遞增區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可得正弦函數(shù)的最大值和此時(shí)的的集合.【題目詳解】解：（1）∴.增區(qū)間為：即單調(diào)遞增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)，∴取最大值時(shí)，的集合為.【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角公式和輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）an=2n（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，可以求出公差，這樣就可以求出求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，用裂項(xiàng)相消法求出求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．【題目詳解】解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得：d=2（d≠0），∴an=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，∴=．【題目點(diǎn)撥】本題考查了