吉林省長春市重點名校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

吉林省長春市重點名校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則等于（）A． B． C． D．12．甲、乙兩位射擊運動員的5次比賽成績（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運動員平均成績相同，則成績較穩(wěn)定（方差較小）的那位運動員成績的方差為A．2 B．4 C．6 D．83．設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．4．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是（）A． B． C． D．5．以點為圓心，且經(jīng)過點的圓的方程為()A． B．C． D．6．某校有高一學(xué)生450人，高二學(xué)生480人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取15人，則n為（）A．15 B．16 C．30 D．317．如圖，在等腰梯形中，，于點，則（）A． B．C． D．8．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量D．人的身高與體重9．已知，，，則的最小值為A． B． C． D．410．的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，以為直徑的圓中，，在圓上，，于，于，，記，，的面積和為，則的最大值為______.12．空間一點到坐標(biāo)原點的距離是_______.13．若，則_______.14．一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________.15．?dāng)?shù)列滿足，，則___________．16．已知，函數(shù)的最小值為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為前項和，，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，比較與的大小；（3）設(shè)函數(shù)，，求，和數(shù)列的前項和.18．據(jù)某市供電公司數(shù)據(jù)，2019年1月份市新能源汽車充電量約270萬度，同比2018年增長，為了增強新能源汽車的推廣運用，政府加大了充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的投入.現(xiàn)為了了解該城市充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的使用情況，隨機選取了200個駕駛新能源汽車的司機進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照，，…，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）已知滿意度評分值在內(nèi)的男女司機人數(shù)比為，從中隨機抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為女司機的概率.19．已知數(shù)列的前項和為，點在直線上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項和為，求證：.20．已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足.若，求的值.21．已知數(shù)列的前項和為，點在直線上.數(shù)列滿足且，前9項和為153.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求及使不等式對一切都成立的最小正整數(shù)的值；(3)設(shè)，問是否存在，使得成立？若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)題意,由正弦定理得，再把，，代入求解.【題目詳解】由正弦定理，得，所以．故選:D【題目點撥】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計算即可．【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績波動性小，較為穩(wěn)定（方差較?。约壮煽兊姆讲顬閟1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【題目點撥】莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計總體情況．3、C【解題分析】

首先比較自變量與的大小，然后利用單調(diào)性比較函數(shù)值與的大小.【題目詳解】因為，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.故選C.【題目點撥】已知函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小，可以借助自變量的大小來比較函數(shù)值的大小.4、B【解題分析】

模擬程序運行后,可得到輸出結(jié)果,利用裂項相消法即可求出答案.【題目詳解】模擬程序運行過程如下:0),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),1),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),2),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),3),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),……9),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),10),判斷為是,故輸出,故選:B.【題目點撥】本題主要考查程序框圖,考查裂項相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結(jié)果時,常模擬程序運行以得到結(jié)論.5、B【解題分析】

通過圓心設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點即可．【題目詳解】設(shè)圓的方程為：，又經(jīng)過點，所以，即，所以圓的方程：．故選B【題目點撥】此題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，記住標(biāo)準(zhǔn)方程的一般設(shè)法，代入數(shù)據(jù)即可求解，屬于簡單題目．6、D【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【題目詳解】根據(jù)分層抽樣原理，列方程如下，n450+480解得n＝1．故選：D．【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7、A【解題分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得是的中點，由平面向量的加法運算法則結(jié)合向量平行的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】因為，所以是的中點，可得，故選.【題目點撥】本題主要考查向量的幾何運算以及向量平行的性質(zhì)，屬于簡單題．向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運算比較簡單）8、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的概念來進(jìn)行判斷?！绢}目詳解】對于A選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關(guān)系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關(guān)系；對于C選項，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函數(shù)關(guān)系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。故選：D?！绢}目點撥】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學(xué)生對這些概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。9、C【解題分析】

化簡條件得，化簡，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，知，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取得等號，所以，即的最小值為，故選C．【題目點撥】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

由題意可得，化簡后利用正弦定理將“邊化為角“即可．【題目詳解】解：的面積為，，，故選：C．【題目點撥】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

可設(shè)，表示出S關(guān)于的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題.【題目詳解】設(shè)，則，，，當(dāng)時，.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的實際運用，三角函數(shù)最值問題，意在考查學(xué)生的劃歸能力，分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.12、【解題分析】

直接運用空間兩點間距離公式求解即可.【題目詳解】由空間兩點距離公式可得：.【題目點撥】本題考查了空間兩點間距離公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.13、【解題分析】

對兩邊平方整理即可得解.【題目詳解】由可得：，整理得：所以【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系及二倍角的正弦公式，考查觀察能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于較易題．14、【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因為一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，所以，這一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，2，4，5，7，9，因此這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：.故答案為：【題目點撥】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解題分析】

利用遞推公式求解即可.【題目詳解】由題得.故答案為2【題目點撥】本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列中的項，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、5【解題分析】

變形后利用基本不等式可得最小值．【題目詳解】∵，∴4x-5>0,∴當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即時，有最小值5【題目點撥】本題考查利用基本不等式求最值，湊出可利用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，使用基本不等式時要注意“一正二定三相等”的法則．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3），，【解題分析】

（1）利用基本元的思想，將已知轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得的值，從而求得數(shù)列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得表達(dá)式，判斷出，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，由此得到.（3）首先求得，當(dāng)時，根據(jù)的表達(dá)式，求得的表達(dá)式.利用分組求和法求得當(dāng)時的表達(dá)式，并根據(jù)的值求得的分段表達(dá)式.【題目詳解】（1）為等差數(shù)列，，得，∴（2）∵，∴，又，∴.（3）由分段函數(shù)，可以得到：，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，又符合上式所以.【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列基本量的計算，考查裂項求和法、分組求和法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1），中位數(shù)的估計值為75（2）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率和為1計算，再判斷中位數(shù)落在第三組內(nèi)，再計算中位數(shù).（2）該組男司機3人，女司機2人.記男司機為：，，，女司機為：，.排列出所有可能，計算滿足條件的個數(shù)，相除得到答案.【題目詳解】解：（1）根據(jù)頻率和為1得.則.第一組和第二組的頻率和為，則中位數(shù)落在第三組內(nèi).由于第三組的頻率為0.4，所以中位數(shù)的估計值為75.（2）設(shè)事件：隨機抽取2人進(jìn)行座談，2人均為女司機.的人數(shù)為人.∴該組男司機3人，女司機2人.記男司機為：，，，女司機為：，.5人抽取2人進(jìn)行座談有：，，，，，，，，，共10個基本事件.其中2人均為女司機的基本事件為.∴.∴隨機抽取2人進(jìn)行座談，2人均為女司機的概率是.【題目點撥】本題考查了中位數(shù)和概率的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）先利用時，由求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列，得出該數(shù)列的公比，可求出；（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式得出，并將裂項為，利用裂項法求出，于此可證明出所證不等式成立.【題目詳解】（1）由題可得.當(dāng)時，，即.由題設(shè)，，兩式相減得.所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.（2），則，所以因為，所以，即證.【題目點撥】本題考查利用求通項，以及裂項法求和，利用求通項的原則是，另外在利用裂項法求和時要注意裂項法求和法所適用數(shù)列通項的基本類型，熟悉裂項法求和的基本步驟，都是?？碱}型，屬于中等題．20、（1）；（2）63【解題分析】

（1）求出公差和首項，可得通項公式；（2）由得公比，再得，結(jié)合通項公式求得.【題目詳解】（1）由題意等差數(shù)列的公差，，，∴；（2）由（1），∴，，∴，.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，掌握基本量法是解題基礎(chǔ).21、(1);(2)1