【數學】河南省許濟洛平2024屆高三上學期第二次質量檢測試題（解析版）

河南省許濟洛平2024屆高三上學期第二次質量檢測數學試題一、選擇題1.若復數z滿足，則z的共軛復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由得，故，其實部，虛部為，故在復平面內對應的點為，位于第一象限，故選：A.2.已知集合則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，等價于，解得，即，不等式，等價于，解得，即，所以.故選：B.3.為更好地滿足民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富購物體驗和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經濟.為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經濟發(fā)展環(huán)境、推動消費升級，有關部門對某熱門夜市開展“服務滿意度調查”，隨機選取了100名顧客進行問卷調查，對夜市服務進行評分(滿分100分)，根據評分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數據的第55百分位數為（）A.65 B.72 C.72.5 D.75【答案】D【解析】由題中頻率分布直方圖知區(qū)間，，三個區(qū)間頻率為，所以第數所在區(qū)間為，且設為，則，解得，故D正確.故選：D.4.已知圓O:與x軸交于A，B兩點，點M是直線上任意一點.設，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖，由題可知直線過定點，設為點N.當直線與圓相離時，設M為直線上任意點，連接MA，MB，設MA（或MB）與圓O交于C點，連接CB（CA），則，由外角性質，總有；如圖，當直線與圓相切或相交時，在直線上均存在點M，使.綜上，等價于直線與圓O:相離，則.注意到是的真子集，則p是q的充分不必要條件.故選：A5.已知則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C6.斜率為1的直線l過拋物線的焦點F，且與C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若的面積是，則（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】由題意知拋物線的焦點F坐標為，設直線l的方程為，聯立，得，，設，則，故，又點O到直線的距離為，則，即，故，故選：B7.設，，其中e為自然對數的底數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，當時，，單調遞增，因此，即，令，則，當時，，單調遞減，因此，即所以.故選：D8.小明參加答題闖關游戲，答題時小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個進行答題，答對則闖關成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關失敗的概率是（）A0.24 B.0.14 C.0.077 D.0.067【答案】C【解析】由題意，小明闖關失敗的概率.故選：C.二、選擇題9.已知函數的圖象的一個對稱中心為，其中，則（）A.直線為函數的圖象的一條對稱軸B.函數的單調遞增區(qū)間為，C.當時，函數的值域為D.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象【答案】ACD【解析】由函數的圖象的一個對稱中心為，則，得，即，，又，得，所以．對于A，當時，，所以直線為函數的圖象的一條對稱軸，故A正確；對于B，令，，解得，，故B錯誤；對于C，由，則，所以，故C正確；對于D，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到，故D正確．故選：ACD．10.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，大衍數列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量的總和.大衍數列從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數列的前項和為，其通項公式.則（）參考公式：A.是數列中的項 B.C. D.【答案】ABD【解析】對A：當為偶數時，，解得，不符題意；當為奇數時，，解得，符合題意，故A正確；對B：，故B正確；對C：由題意知，所以，故C錯誤；對D：故D正確；故選：ABD.11.在的展開式中，若第項與第項的二項式系數相等，則（）A.展開式中的系數為B.展開式中所有項的系數的和為C.展開式中系數的絕對值最大的項是第項D.從展開式中任取2項，取到的項都是的整數次冪的概率為【答案】BD【解析】由題知展開式，其中第項與第項二項式系數相等，所以，得，得對A：由展開式，得，所以得的系數，故A錯誤；對B：由的展開式中，令，得展開式中所有項的系數的和為，故B正確；對C：展開式中的系數加絕對值后為，第項系數為，第項系數為，故C錯誤；對D：由，共有項，其中當時，為整數，所以在展開式中任取項，取到的項都是的整數次冪的概率為，故D正確.故選：BD.12.已知則（）A.當時，無最大值B.當時，無最小值C.當時，的值域是(-∞，2]D.當時，的值域是[2，+∞)【答案】AD【解析】對于AB選項，，.，則在上單調遞減，在上單調遞增，故無最大值，則A正確，B錯誤；對于CD選項，.當時，，則在上單調遞增，則此時；當時，注意到，則.令.注意到，均在上單調遞增，則在上單調遞增.因，，則，使.則.即在上單調遞減，在上單調遞增.注意到，則，則，又，則，即在上單調遞減，則，綜上，當時，的值域是[2，+∞).故C錯誤，D正確.故選：AD.三、填空題13.已知雙曲線的離心率為則_____.【答案】1【解析】依題意，雙曲線的離心率，所以.故答案為：114.在平行四邊形中，，，點為線段的中點，則______________.【答案】【解析】，以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，，則，有，，，，，.故答案為：15.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱(不包含端點)上一動點，則三棱錐的體積的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題知以點為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，，，設，，得，則，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離，又因為，所以，由題知，所以為等邊三角形，其面積，所以三棱錐的體積，故答案為：.16.已知定義在上的函數滿足為的導函數，當時，，則不等式的解集為_______________.【答案】【解析】令，所以，因為，所以，化簡得，所以在上是偶函數，因為，因為當，，所以，在區(qū)間上單調遞增，又因為為偶函數，所有在上單調遞減，由，得，又因為，所以，所以，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：.四、解答題17.已知的三個角的對邊分別為，且（1）求B；（2）若，求的面積.解：（1）在中，因為由正弦定理可得：所以所以整理得又，所以，所以得因為，所以；（2）由（1）知，，又，在中，由余弦定理，得，所以，解得或（舍去），所以的面積.18.已知正項數列的前n項和為，且滿足.（1）求的通項公式；（2）已知設數列的前n項和為當n∈時，，求實數λ的范圍.條件:①，且等差數列；②；③請從這三個條件中任選一個，并將其序號填寫在答題卡對應位置，并完成解答.解：（1）若選①，因數列中，，所以數列{}為等比數列.設{}的公比為q，則，由題意得，又，可得，即，則有，因為，解得，故；若選②，因為，所以.所以.當時，有，且，.所以數列{}是首項,公比的等比數列，所以；若選③，由，所以，所以.當時，，所以所以，數列{}為以首項，公比的等比數列，所以；（2）由（1）可知:數列滿足，數列的前n項和，則，兩式相減可得:，所以.不等式,注意到數列為遞增數列，當n為偶數時，，取，可得；當n為奇數時，，取，可得.綜上，實數λ取值范圍是.19.黨的二十大以來，國家不斷加大對科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)持續(xù)投入研發(fā)的信心.某科技企業(yè)在國家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過不斷的研發(fā)和技術革新，提升了企業(yè)收益水平.下表是對2023年1~5月份該企業(yè)的利潤y(單位：百萬)的統計.月份1月2月3月4月5月月份編號x12345利潤y(百萬)712131924（1）根據統計表，求該企業(yè)的利潤y與月份編號x的樣本相關系數(精確到0.01)，并判斷它們是否具有線性相關關系（，則認為y與x的線性相關性較強，，則認為y與x的線性相關性較弱.）；（2）該企業(yè)現有甲、乙兩條流水線生產同一種產品.為對產品質量進行監(jiān)控，質檢人員先用簡單隨機抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產品進行初檢，再從中隨機選取3件做進一步的質檢，記抽到“甲流水線產品”的件數為，試求的分布列與期望.附：相關系數解：（1）由統計表數據可得:所以所以相關系數，因此，兩個變量具有很強的線性相關性.（2）由題意知，的可能取值為因為，，所以的分布列為：所以20.如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.（1）證明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取EC的中點H，連結BD交AC于點O，連結HO、HF.因為四邊形ABCD為菱形，則AC⊥BD.又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AE⊥BD.因為AE?平面AEC，AC?平面AEC，且AE∩AC=A，所以BD⊥平面AEC.因為H、O分別為EC、AC的中點，所以HO∥EA，且又AE∥DF，且.所以HO∥DF，且HO=DF，所以四邊形HODF為平行四邊形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.因為HF?平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.（2）解：取CD中點M，連接AM.因為菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以ACD為正三角形，又M為CD中點，所以AM⊥CD，因為AB∥CD，所以AM⊥AB.因為AE⊥平面ABCD，AB，AM?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AM.如圖，以A為原點，AB，AM，AE所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系.不妨設AB=AD=AE=2DF=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，，E(0，0，2)，因為AM⊥平面ABE，所以為平面ABE的一個法向量，設平面CEF的法向量為，因為，所以，不妨令，得.設平面ABE與平面CEF夾角為θ，則，所以平面ABE與平面CEF夾角的余弦值為.21.已知函數.（1）當時，求的圖象在點處的切線方程;（2）當時，證明：.（1）解：當時，，則所以，又因為，故所求切線方程為，即.（2）證明：因為的定義域是，所以當時，設，則，設則在上恒成立，所以在上是增函數，則，又因為，因為，所以，又因為，所以，所以在上存在唯一零點，也是在上的唯一零點，所以，即，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以由于，所以，，，所以，所以，所以當時，，即成立.22.已知橢圓E的左、右焦點為，過的直線交橢圓于，兩點，的周長為.（1）求橢圓的方程;（2）點，分別為橢圓的上、下頂點，過直線上任意一點作直線和，分別交橢圓于，兩點.證明：直線過定點.（1）解：由題意知，