精算學(xué)基礎(chǔ)課件

復(fù)利理論1

積累函數(shù)(Accumulationfunction)累積函數(shù)：時(shí)間零點(diǎn)的1元在時(shí)間t的累積值,記為a(t)。性質(zhì)：a(0)=1；a(t)通常是時(shí)間的增函數(shù)；當(dāng)利息是連續(xù)產(chǎn)生時(shí)，a(t)是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。

注：一般假設(shè)利息是連續(xù)產(chǎn)生的。2例：常見的幾個(gè)積累函數(shù)（1）常數(shù)：a(t)=1（2）線性：a(t)=1+0.1t（3）指數(shù)：a(t)=(1+0.1)t

34例假設(shè)累積函數(shù)為請(qǐng)計(jì)算t=1時(shí)的500元

，在t=2的累積值是多少。解：5ta(t)011225310實(shí)際利率（effectiverateofinterest）實(shí)際利率i

是時(shí)間零點(diǎn)的1元在期末產(chǎn)生的利息：實(shí)際利率i是期末獲得的利息金額與期初本金之比：6實(shí)際利率經(jīng)常用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整個(gè)時(shí)期視為常數(shù)；通常使用的時(shí)間單位是年。如無(wú)特殊說明，利率是指年利率。7注：例：

把1000元存入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年末存款余額為1050元，求第一年和第二年的實(shí)際利率分別是多少？8問題：整個(gè)存款期間的實(shí)際利率是多少？整個(gè)存款期間的年平均實(shí)際利率是多少？（后面討論）復(fù)利(compoundinterest)復(fù)利：前期的利息收入計(jì)入下一期的本金，即“利滾利”。例：假設(shè)年初投資1000元，年利率為5％，則年末可獲利50元，因此在年末有1050元可以用來投資。第二年按照1050元來計(jì)算，將在年末獲得52.5元利息。9復(fù)利的積累函數(shù)10實(shí)際利率=復(fù)利利率11復(fù)利的實(shí)際利率貼現(xiàn)（discount）累積：在時(shí)間零點(diǎn)投資1元，在時(shí)間

t的累積值是多少？貼現(xiàn)：在時(shí)間零點(diǎn)投資多少，才能在時(shí)間

t累積到1元?時(shí)間t的1元在時(shí)間零點(diǎn)的價(jià)值稱為貼現(xiàn)函數(shù)，記為a-1(t)。120t1a(t)a-1(t)1貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)1314(1+i)累積因子：accumulationfactor

t年累積因子：t-yearaccumulationfactor貼現(xiàn)因子：discountfactorvt

t年貼現(xiàn)因子：t-yeardiscountfactor幾個(gè)術(shù)語(yǔ)：

實(shí)際貼現(xiàn)率：d

實(shí)際貼現(xiàn)率等于一個(gè)時(shí)期的利息收入與期末累積值之比：15期初本金期末累積值利息=期末累積值-期初本金（期初比期末少百分之幾？）（期末比期出多百分之幾？）例年實(shí)際貼現(xiàn)率為d，請(qǐng)計(jì)算年末的1元相當(dāng)于年初的多少？解：令其等于X，則由貼現(xiàn)率的定義，有161-d101實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系1711+i01當(dāng)期利息：i根據(jù)貼現(xiàn)率的定義：?jiǎn)栴}：已知年實(shí)際利率為5%?；卮鹣率鰡栴}：（1）100萬(wàn)元貸款在年末的利息是多少？（2）如果在貸款起始日收取利息，應(yīng)該收取多少利息？（3）年實(shí)際貼現(xiàn)率是多少？（4）寫出累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)。（5）分別用實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率計(jì)算，5年末到期的100萬(wàn)元在時(shí)間零點(diǎn)的價(jià)值是多少？18名義利率？實(shí)際利率：一年復(fù)利一次。名義利率：一年復(fù)利多次，或多年復(fù)利一次。例：3個(gè)月期的存款年利率為1.8%例：3年期的存款年利率為4%19考慮下述兩筆貸款：貸款100萬(wàn)，年利率為12％，年末支付利息12萬(wàn)。貸款100萬(wàn)，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬(wàn)。第一個(gè)12％是年實(shí)際利率，第二個(gè)是年名義利率。20名義利率的各種表述季度的實(shí)際利率為3%：年利率為12%，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息；年利率為12%，每年復(fù)利4次；年利率為12%，每季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息；年利率為12%，每季度復(fù)利一次。相關(guān)術(shù)語(yǔ)利息結(jié)轉(zhuǎn)期：interestconversionperiod；每月結(jié)轉(zhuǎn)一次：convertiblemonthly；每月支付一次：payablemonthly；每月復(fù)利一次：compoundmonthly；2122年名義利率

i(m)

表示每年復(fù)利m次，即每1/m年支付一次利息，每1/m年的實(shí)際利率為i(m)/m。例：i(4)=8%

表示每季度復(fù)利1次，每季度的實(shí)際利率為2%。例：i(12)=6%

表示每月復(fù)利1次，每月的實(shí)際利率為0.5%。例：i(1/5)=10%

表示每5年復(fù)利1次，5年期的實(shí)際利率為50%。例：i(1/2)=9%

表示每2年復(fù)利1次，2年期的實(shí)際利率為18%。名義利率的定義名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系：

23對(duì)名義利率的一種解釋：

名義利率是在1/m時(shí)期內(nèi)與實(shí)際利率（復(fù)利利率）i

等價(jià)的單利利率。例：時(shí)間零點(diǎn)投資100萬(wàn)元，年利率為12%，請(qǐng)?jiān)谙率龈鞣N條件下計(jì)算1個(gè)月末和1年末的累積值：（1）上述利率是單利利率（2）上述利率是實(shí)際利率（復(fù)利利率）（3）上述利率是名義利率，每年復(fù)利12次解：2425

年利率一定的條件下，每年的復(fù)利次數(shù)越多，年實(shí)際利率越高。年名義利率為10%時(shí)，年實(shí)際利率隨復(fù)利次數(shù)的變化情況年復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率110.000%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%問題：年利率i(m)一定的情況下，如果復(fù)利次數(shù)m為無(wú)窮大，年實(shí)際利率會(huì)是多少？年復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率110.00%365(每天)10.52%∞10.52%26名義貼現(xiàn)率定義：d

(m)

是指每1/m時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率為d

(m)

/m。27對(duì)名義貼現(xiàn)率的一種解釋：

名義貼現(xiàn)率是在1/m時(shí)期內(nèi)

與實(shí)際貼現(xiàn)率d等價(jià)的單貼現(xiàn)率。名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年內(nèi)的實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率，則28例：確定每季度復(fù)利一次的利率，使它等價(jià)于每月復(fù)利一次的6％的貼現(xiàn)率。解：29利息力回顧：年實(shí)際利率可以度量資金在一年內(nèi)的增長(zhǎng)強(qiáng)度（年平均）。名義利率可以度量資金在一個(gè)小區(qū)間（如一個(gè)月）的增長(zhǎng)強(qiáng)度（月平均）。問題：如何度量資金在每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的增長(zhǎng)強(qiáng)度？在名義利率中，如果時(shí)間區(qū)間無(wú)窮小，名義利率就度量了資金在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的增長(zhǎng)強(qiáng)度。稱作利息力。30定義：利息力度量資金在每一時(shí)點(diǎn)上（無(wú)窮小的時(shí)間區(qū)間）增長(zhǎng)的強(qiáng)度。在時(shí)間區(qū)間[t,t+h]的實(shí)際利率為對(duì)應(yīng)的年名義利率為（1年包含1/h個(gè)小區(qū)間）31

為時(shí)刻t的利息增長(zhǎng)強(qiáng)度（即利息力）。定義：設(shè)積累函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，則時(shí)刻t的利息力為32問題：為什么不用a

(t)直接度量利息的增長(zhǎng)強(qiáng)度？復(fù)利在時(shí)刻t的利息力因?yàn)樗詴r(shí)刻t的利息力為復(fù)利的利息力是常數(shù)！與時(shí)間無(wú)關(guān)。稱為復(fù)利的利息力。故累積函數(shù)可以表示為33剩余壽命34

主要內(nèi)容剩余壽命模型死亡力剩余壽命的解析分布整數(shù)剩余壽命生命表分?jǐn)?shù)年內(nèi)的死亡率35剩余壽命模型(TheFutureLifetimeModel)剩余壽命：用符號(hào)

來表示一個(gè)年齡為

歲的個(gè)體，用

或更具體的

來表示該個(gè)體的未來剩余壽命。剩余壽命

是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布函數(shù)為：

對(duì)給定的

，函數(shù)

表示個(gè)體在

年內(nèi)死亡的概率。

的概率密度函數(shù)為=，有：36常用的精算符號(hào)和公式：（1）個(gè)體在

年內(nèi)死亡的概率：（2）個(gè)體在

年內(nèi)生存的概率：（3）歲的個(gè)體生存了

年，并在之后年內(nèi)死亡的概率：

37常用的精算符號(hào)和公式：（4）記

為

歲的個(gè)體在生存至

歲之后，又生存了

年的條件概率，因此：

（5）

38

39預(yù)期剩余壽命：

的未來生存時(shí)間的期望為預(yù)期剩余壽命，記為。按定義有：

用分布函數(shù)可以表示為：（1）特別地當(dāng)

時(shí)，按慣例

，

，

中的

通?？梢月匀ァＲ虼?/p>

表示在1年內(nèi)死亡的概率,表示

歲的人生存了

年，并在之后1年內(nèi)死亡的概率；（2）對(duì)新生兒（即

）來講，相應(yīng)的生存概率

記為生存函數(shù)

；（3）引入分布函數(shù)

，那么

40注：死亡力（Theforceofmortality）的未來剩余壽命

是隨機(jī)變量，由該隨機(jī)變量可定義在時(shí)的死亡力為：在

之后

段時(shí)間內(nèi)死亡概率的另一種表達(dá)式：

的未來生存時(shí)間的期望可表示為41如采用精算符號(hào)，死亡力也可定義為：

對(duì)上式兩邊積分，變形即得：變量

的二階矩有如下表示：42例：已知

，，計(jì)算

及變量

的密度函數(shù)。為表明年齡40和時(shí)間

的區(qū)別，可記為解：

的密度函數(shù)為

即服從上的均勻分布。43例：已知

，，計(jì)算。解：44例：定義隨機(jī)變量

如下：相應(yīng)地記

。給出的表達(dá)式。解：按定義可得：

應(yīng)用分部積分方法，可得：

45剩余壽命的解析分布(AnalyticaldistributionsofT)如果函數(shù)

可用簡(jiǎn)單的公式來表達(dá)，那么就稱變量

有解析分布。解析公式的優(yōu)勢(shì)在于

可通過較少的參數(shù)計(jì)算出來。當(dāng)僅有幾個(gè)參數(shù)需要估計(jì)時(shí)，統(tǒng)計(jì)推斷顯得特別方便。正態(tài)分部模型很常用，部分原因是來自中心極限定理的支持，但更多還是因?yàn)樗跀?shù)學(xué)上容易處理。46DeMoivre律47DeMoivre(1724)假設(shè)人類存在最大年齡

，并假設(shè)

服從0到

之間的均勻分布，即當(dāng)

時(shí)

此時(shí)死亡力有如下形式由上式可知，死亡力是關(guān)于

的增函數(shù)。Gompertz

律48Gompertz(1824)假設(shè)死亡力是指數(shù)增長(zhǎng)的它比DeMoivre律更好地反映了個(gè)體變老的過程，而且取消了存在最大年齡

的假設(shè)。Makeham死亡律49Makeham(1860)提出Makeham死亡律增加了一個(gè)與年齡無(wú)關(guān)的常數(shù)

。如在上式中取或，就得到死亡力為常數(shù)的模型，此時(shí)

的概率分布就是指數(shù)分布。

注：50

由式和，并記

，那么在Makeham模型下生存概率可寫為：Weibull死亡律51

Weibull（1939）建議死亡力以關(guān)于

的多項(xiàng)式方式增長(zhǎng)：，其中參數(shù)

，

。此時(shí)生存概率為整數(shù)剩余壽命(Curtatefuturelifetime)整數(shù)剩余壽命

：

的未來剩余壽命的整數(shù)部分。按照定義有：K的二階矩：52預(yù)期整數(shù)剩余壽命(Curtateexpectationoflife)

K的期望：預(yù)期整數(shù)剩余壽命即：另有：53定義

為(x)在死亡年內(nèi)活過的時(shí)間（），有：隨機(jī)變量

取值為從0到1之間，期望值近似為1/2，所以有：注：當(dāng)與

獨(dú)立，

服從0到1上均勻分布時(shí)，上式取等，且有54對(duì)于正整數(shù)m，定義為注：可以驗(yàn)證，的取值為；與

相比，

近似描述了死亡年內(nèi)的死亡時(shí)刻。如把每年分成12個(gè)月，當(dāng)死亡在第一個(gè)月內(nèi)發(fā)生，則，但此時(shí)對(duì)應(yīng)的

；如果

和

獨(dú)立，就可以得到

和

相互獨(dú)立；如果

服從0到1上的均勻分布，那么

服從離散型均勻分布。55例：假設(shè)隨機(jī)變量相應(yīng)地記。請(qǐng)給出的表達(dá)式。解：按定義可得，

由

可得，56生命表(Lifetable)

：，表示新生兒的個(gè)數(shù)，表示最大年齡，

表示個(gè)新生兒存活到歲的個(gè)數(shù)。

：，表示個(gè)體活過歲的概率。結(jié)合第一節(jié)，有關(guān)系式：

：，表示在

內(nèi)死亡的個(gè)數(shù)

類似地有，。57本質(zhì)上，生命表是一年期死亡概率

的列表，它完整地決定了

的分布；生命表是為某些特定群體由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)造的，不同群體的未來生存情況可能不同，生命表也不同；考慮相同年齡的不同群體，就有了選擇生命表。58注：選擇生命表(Selecttable)

：被選擇進(jìn)入的年齡。如，表示把作為進(jìn)入年齡，生存年后達(dá)到年齡，在下一年內(nèi)的死亡率。選擇性通常會(huì)導(dǎo)致以下不等式：

通常選擇效應(yīng)經(jīng)過幾年（如

年）之后就消失了，從而可假設(shè)：

稱為選擇期，選擇期結(jié)束之后的生命表稱為終極生命表。59例：給定如下選擇—終極生命表的部分，其中選擇期為2年。由上表，計(jì)算和。解：60

100010001000x+2300.2220.3300.4229906.7389904.5389901.27032310.2340.3520.4599902.8949900.5769897.09133320.2500.3770.5009898.7549896.2809892.54934330.2690.4070.5459894.2909891.6289887.60235340.2910.4410.5969889.4519886.5749882.21436如果生命表僅隨到達(dá)年齡變化，那么該生命表就稱為綜合表在綜合生命表中，的一年期死亡率通常是選擇生命表和終極生命表中相應(yīng)概率的加權(quán)平均；為了簡(jiǎn)便，以下將使用綜合生命表。61注：分?jǐn)?shù)年內(nèi)的死亡率（Probabilitiesofdeathforfractionsofayear）

K的分布可以通過生命表由下式計(jì)算：為使用插值法求T的分布，需要對(duì)死亡率的變化模式給出一些假設(shè)。

62分?jǐn)?shù)年內(nèi)的死亡率

假設(shè)1：線性假設(shè)

63分?jǐn)?shù)年內(nèi)的死亡率

假設(shè)2：常數(shù)假設(shè)

64分?jǐn)?shù)年內(nèi)的死亡率

假設(shè)3：線性假設(shè)（Balducci假設(shè)）

65在以上三種假設(shè)下，死亡力作為年齡的函數(shù)，在整數(shù)點(diǎn)都是不連續(xù)的；在Balducci假設(shè)下，死亡力在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間是單減的，這似乎是不太合理的。66注：例：假設(shè)

，

，分別在本節(jié)假設(shè)1和假設(shè)3下計(jì)算

在

內(nèi)死亡的概率。解：所求概率為

注意到

，所以

由假設(shè)1：

由假設(shè)3：

67人壽保險(xiǎn)68

主要內(nèi)容壽險(xiǎn)的基本類型保額在死亡時(shí)刻支付壽險(xiǎn)的一般類型變額壽險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)類型遞推公式69壽險(xiǎn)的基本類型終身壽險(xiǎn)：投保期限直到死亡為止，在被保險(xiǎn)人死亡年末給付1個(gè)單位?，F(xiàn)值變量：,躉繳凈保費(fèi)（精算現(xiàn)值）：70變量Z的方差：代入，得上式等價(jià)于在計(jì)算躉繳凈保費(fèi)時(shí)，把利息力變?yōu)樵瓉淼?倍，就得到二階矩因此，有時(shí)采用符號(hào)71注：壽險(xiǎn)的基本類型n年期定期壽險(xiǎn)：只對(duì)

n年內(nèi)的死亡有1個(gè)單位給付，給付時(shí)間是死亡年末?，F(xiàn)值變量：躉繳凈保費(fèi)：與終身壽險(xiǎn)類似，有：72壽險(xiǎn)的基本類型n年期生存保險(xiǎn)：以n

年后被保險(xiǎn)人生存為給付條件現(xiàn)值變量：躉繳凈保費(fèi)：Z可以寫成某個(gè)貝努里變量的倍，從而有：73壽險(xiǎn)的基本類型n年期兩全保險(xiǎn)：如果被保險(xiǎn)人在

n年內(nèi)死亡，則在死亡年末給付1個(gè)單位；如果被保險(xiǎn)人活過n

年，那么就在n

年末給付1個(gè)單位?，F(xiàn)值變量：

可視為n年期定期壽險(xiǎn)與生存保險(xiǎn)隨機(jī)變量之和；躉繳凈保費(fèi)：74n年期兩全保險(xiǎn)、n年期定期壽險(xiǎn)、

n年期生存保險(xiǎn)的現(xiàn)值變量分別記作

因?yàn)?，故可見，賣出一份兩全保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)要比分別向兩人賣出一份定期壽險(xiǎn)和一份生存保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)要小。75注：壽險(xiǎn)的基本類型m年延期終身壽險(xiǎn)：現(xiàn)值變量：躉繳凈保費(fèi)：76例：已知，，，計(jì)算解：

77例：假設(shè)，，，計(jì)算和解：由定義有

注意到

于是有

可得，78保額在死亡時(shí)刻支付在前面，假設(shè)保額在被保險(xiǎn)人死亡年末給付。該假設(shè)的優(yōu)點(diǎn)在于可直接利用生命表進(jìn)行計(jì)算，缺點(diǎn)在于不能準(zhǔn)確反映保險(xiǎn)實(shí)踐。本節(jié)假設(shè)保額在死亡時(shí)刻T支付。79保額在死亡時(shí)刻支付對(duì)終身壽險(xiǎn)，現(xiàn)值變量

躉繳凈保費(fèi)

對(duì)于

假設(shè)K和S是獨(dú)立的，而且S有均勻分布，那么對(duì)定期壽險(xiǎn)，有類似公式。對(duì)于兩全保險(xiǎn)，80把一年等分成

個(gè)m個(gè)區(qū)間，假設(shè)保額在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)刻對(duì)應(yīng)的那個(gè)區(qū)間末支付，即時(shí)刻

現(xiàn)值變量為對(duì)于假設(shè)和獨(dú)立，且均勻分布，那么從而令

趨于無(wú)窮，可得81注：例：已知，，，計(jì)算：

（1）；

（2）簽發(fā)給(40)的25年期定期壽險(xiǎn)，在時(shí)刻

t時(shí)的保險(xiǎn)給付為

，計(jì)算該壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。82解：，，

83例：已知，，，計(jì)算：

（1）；

（2）計(jì)算現(xiàn)值變量的方差。84解：

（1）

（2）

隨機(jī)變量方差為

85壽險(xiǎn)的一般類型考慮保險(xiǎn)金額隨時(shí)間變化的壽險(xiǎn)。

（假設(shè)保額在被保險(xiǎn)人死亡年末或死亡時(shí)刻給付）用

表示保單簽發(fā)后第

年的保險(xiǎn)金額，那么就有

，

設(shè)保額為

的函數(shù)

，有

以及躉繳凈保費(fèi)有了壽險(xiǎn)的一般類型的概念和結(jié)構(gòu)后，下一節(jié)就可以考慮一些特殊類型的壽險(xiǎn)。86變額壽險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)類型假設(shè)保額在死亡年末給付。遞增終身壽險(xiǎn)，現(xiàn)值變量躉繳凈保費(fèi)

遞增的年定期保險(xiǎn)：現(xiàn)值變量躉繳凈保費(fèi)為的前項(xiàng)之和。87變額壽險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)類型減額定期壽險(xiǎn)，給付從

到0線性減少現(xiàn)值變量躉繳凈保費(fèi)88變額壽險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)類型假設(shè)保額在死亡時(shí)刻給付。保額逐年遞增，現(xiàn)值變量：躉繳凈保費(fèi)：

（利用），與獨(dú)立，且均勻分布得到）保額每年增加

次，每次增加

現(xiàn)值變量：躉繳凈保費(fèi)：89變額壽險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)類型保額連續(xù)增長(zhǎng)，現(xiàn)值變量：躉繳凈保費(fèi)：（通過令趨于無(wú)窮得到）90例：已知，，，計(jì)算解：91遞推公式遞推公式有一些有趣的理論含義。

解釋：歲時(shí)的躉繳凈保費(fèi)是一個(gè)隨機(jī)變量的期望值，在未來一年內(nèi)分兩種情況考慮：如被保險(xiǎn)人死亡就對(duì)應(yīng)于上式右邊第1項(xiàng)，如生存就考慮在歲時(shí)的躉繳凈保費(fèi)，再貼現(xiàn)到歲。92遞推公式

解釋：終身壽險(xiǎn)的第一年末，不論生存或死亡，都要留出。在死亡情形下，需要額外的（和相加得死亡給付1）。保額為

的1年期定期保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)就是

。93遞推公式

解釋：已賺利息有兩個(gè)效應(yīng)，一方面從

到

歲時(shí)，它使得躉繳凈保費(fèi)增加，增加量為，另一方面它提供了虛構(gòu)的一年定期壽險(xiǎn)的保費(fèi)。94生命年金95

主要內(nèi)容生命年金生命年金的基本類型年內(nèi)給付多次的生命年金變額生命年金遞推公式96生命年金

生命年金：受益人生存時(shí)得到的一系列給付生命年金可被視為期限為未來壽命T的年金現(xiàn)值為隨機(jī)變量，記為Y;躉繳凈保費(fèi)是

。97生命年金的基本類型考慮期初付年金終身年金：在受益人生存時(shí)提供1個(gè)單位的年給付額，給付發(fā)生在時(shí)點(diǎn)0,1,2…

K現(xiàn)值：躉繳凈保費(fèi)：98現(xiàn)值還可表示為，其中為事件A的示性函數(shù)對(duì)上式取期望得：上式相當(dāng)于將年金視為一系列生存保險(xiǎn)一個(gè)常用的精算符號(hào)為精算貼現(xiàn)因子99注：躉繳凈保費(fèi)也可以用終身壽險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)來表示，

，取期望得對(duì)于式，有如下解釋：對(duì)于1個(gè)單位的債務(wù)，在生存時(shí)每年初支付利息

d，在死亡年末支付1個(gè)單位，考慮到現(xiàn)值，就可償還債務(wù)。Y的高階矩可通過Z得到，如100注：生命年金的基本類型考慮期初付年金n年定期年金現(xiàn)值：躉繳凈保費(fèi)：101生命年金的基本類型期末付年金：給付發(fā)生在時(shí)點(diǎn)1,2…

K現(xiàn)值：躉繳凈保費(fèi)：102生命年金的基本類型延期m年的期初付年金現(xiàn)值：躉繳凈保費(fèi)：103例：證明以下等式（1）（2）（3）

104例：（1），其中對(duì)應(yīng)（2）（3），再將（2）中的結(jié)論代入化簡(jiǎn)。

105年內(nèi)給付多次的生命年金考慮一年給付m次，每次給付

的生命年金。只要受益人生存，就在時(shí)刻

有給付。躉繳凈保費(fèi)滿足：對(duì)上式的理解：一年給付m次的生命年金可視為兩個(gè)永續(xù)年金之差，其中一個(gè)永續(xù)年金從時(shí)刻0開始，另一個(gè)從時(shí)刻

開始。106為使用

表示

，用到

和

的關(guān)系，以及

，得到引入那么實(shí)踐中常用的近似為，該近似僅在利息力較小時(shí)適用。107注：例：已知

，

，計(jì)算從65歲開始，每月初支付1000元的生存年金的精算現(xiàn)值。解：108例：已知

，

，

，

計(jì)算解：109例：證明可表示為解：110例：已知

，

，

，計(jì)算

和。解：

，111變額生命年金考慮在時(shí)刻0,1,2…

K給付的生命年金。現(xiàn)值：躉繳凈保費(fèi)：考慮在時(shí)刻給付的生命年金。躉繳凈保費(fèi)的形式與上式類似。連續(xù)給付的生命年金可通過令m趨于無(wú)窮而得到。記時(shí)刻t

時(shí)的年金支付率為

?，F(xiàn)值：躉繳凈保費(fèi)：112生命年金的標(biāo)準(zhǔn)類型對(duì)于上一節(jié)的變額年金，令躉繳凈保費(fèi)：與有關(guān)系：現(xiàn)考慮一年給付m次，而給付額按年度遞增的情況躉繳凈保費(fèi)：113生命年金的標(biāo)準(zhǔn)類型在上式中令m趨于無(wú)窮，就得到相應(yīng)的連續(xù)生命年金（支付率

）的躉繳凈保費(fèi)或者通過對(duì)現(xiàn)值隨機(jī)變量取期望得到躉繳凈保費(fèi)：114遞推公式

可見躉繳凈保費(fèi)等于在x歲的給付1，加上x+1歲的躉繳凈保費(fèi)的現(xiàn)值，再減去預(yù)期的死亡所得。

躉繳凈保費(fèi)可視為一項(xiàng)永續(xù)年金的現(xiàn)值，減去每年內(nèi)的死亡所得。115壽險(xiǎn)凈保費(fèi)116

主要內(nèi)容凈保費(fèi)壽險(xiǎn)的基本類型一年支付多次保費(fèi)壽險(xiǎn)的一般類型保費(fèi)返還的保單117凈保費(fèi)（netpremium）保費(fèi)繳納方式可分為三種：（1）躉繳保費(fèi)，即一次性繳納（2）分期繳納保費(fèi)，每期繳費(fèi)相同（也稱為水平保費(fèi)或均

衡保費(fèi)）（3）分期繳納保費(fèi)，每期繳費(fèi)可以不同當(dāng)保費(fèi)繳納滿足等價(jià)原理時(shí)，就稱為凈保費(fèi)。118等價(jià)原理（equivalenceprinciple）定義損失變量

L

為保險(xiǎn)人保險(xiǎn)給付現(xiàn)值減去未來保費(fèi)收入現(xiàn)值之差。損失變量的期望為0時(shí)，就稱滿足等價(jià)原理119例假設(shè)年齡為40歲的人投保定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)期間為10年，保險(xiǎn)金額為

C，在死亡年末支付，當(dāng)被保險(xiǎn)人生存時(shí)，在每年初支付保費(fèi)

，支付期限最多10年。此時(shí)保險(xiǎn)人的損失變量

L為：根據(jù)等價(jià)原理有120例假設(shè)利率

i=4%,(40)的個(gè)體，死亡分布滿足DeMoivre律，最大年齡

ω=100。年繳凈保費(fèi)為多少？解：121壽險(xiǎn)的基本類型終身壽險(xiǎn)與定期壽險(xiǎn)生存保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn)延期生命年金122終身壽險(xiǎn)與定期壽險(xiǎn)

（wholelifeandterminsurance）終身壽險(xiǎn)：對(duì)保額為1個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)給付在死亡年末支付，年繳凈保費(fèi)用

來表示。保險(xiǎn)人的損失變量為由等價(jià)原理可得年繳凈保費(fèi)：123終身壽險(xiǎn)與定期壽險(xiǎn)

（wholelifeandterminsurance）把保費(fèi)支付視為兩個(gè)永續(xù)年金之差（一個(gè)從時(shí)刻0開始支付，另一個(gè)從時(shí)刻

K+1開始支付），可得：124125公式1：從債務(wù)償還的不同角度看123……K

K+1d

d

d……d

d

d1直觀解釋：初始本金1，一方面可購(gòu)買生命年金，年支付額為。另一方面，每年初得到利息，最后得到本金1，分?jǐn)偟矫磕瓿蹙褪潜ＹM(fèi)。126公式2：從債務(wù)償還的不同角度看123……K

K+1……直觀解釋：死亡年末債務(wù)為1，對(duì)應(yīng)的現(xiàn)值為。一方面購(gòu)買保險(xiǎn)，每年的保費(fèi)為。另一方面，每年初支付利息，最后支付的本金分?jǐn)偟矫磕瓿?。終身壽險(xiǎn)與定期壽險(xiǎn)

（wholelifeandterminsurance）定期壽險(xiǎn)：一份保險(xiǎn)期限為

n

，保額為1個(gè)單位，保險(xiǎn)給付在死亡年末支付的定期壽險(xiǎn)，用

表示年繳凈保費(fèi)。保險(xiǎn)人的損失變量為：年繳凈保費(fèi)為：127生存保險(xiǎn)（pureendowment）保額為1個(gè)單位，保險(xiǎn)期限為

n的生存保險(xiǎn)，年繳凈保費(fèi)用

來表示。保險(xiǎn)人的損失變量為：年繳凈保費(fèi)為：128兩全保險(xiǎn)（endowment）年繳凈保費(fèi)為：由于，那么類似前面的兩個(gè)公式，對(duì)兩全保險(xiǎn)有：129延期生命年金（deferredlifeannuities）設(shè)保費(fèi)在延期內(nèi)繳納，年金給付從時(shí)刻

n開始，年給付額為1個(gè)單位，那么該延期生命年金在時(shí)刻

x+n

的精算現(xiàn)值為

，從而年繳凈保費(fèi)為

。130例已知

，，其中

，

。計(jì)算

和

。解：按定義

，

131例已知

，

，計(jì)算

，

，和

。解：

對(duì)應(yīng)的利率滿足，因此有132例驗(yàn)證下式成立（注：左下角的20表示保費(fèi)最多繳納20次）。證明：按定義133例已知，

，。計(jì)算。解：

按定義得

求解得到：134一年支付多次保費(fèi)當(dāng)每年等額繳納

m次保費(fèi)時(shí)，可通過符號(hào)里的上標(biāo)(m)表示。年繳凈保費(fèi)符號(hào)：，，，。上述凈保費(fèi)可用

，

，來代替凈保費(fèi)公式中的分母

，

而得到。例：（1）（2）（3）（4）135完全連續(xù)人壽保險(xiǎn)如果保額在死亡時(shí)刻支付，而每年內(nèi)保費(fèi)支付次數(shù)趨于無(wú)窮大，就得到完全連續(xù)的壽險(xiǎn)模型，年繳凈保費(fèi)符號(hào)為（僅舉兩例）：136比較與將，代入得：展開得到：同理對(duì)于其它保險(xiǎn)，就有：137例已知，，，計(jì)算和。解：首先，138例已知，，計(jì)算。解：

注意到

，

從而得到139壽險(xiǎn)的一般類型記

為保單簽發(fā)后第

j

年末的保險(xiǎn)給付，假設(shè)每年繳納保費(fèi)為

,表示時(shí)刻

k

的保費(fèi)。保險(xiǎn)人的損失變量為：滿足等式的保費(fèi)即為凈保費(fèi)。推廣到一般情況，如果允許

取負(fù)值，該模型就包含了生存保險(xiǎn)和生命年金。

140例記π為關(guān)于

(x)的

n年期定期壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)，假設(shè),。證明：。證：由等價(jià)原理，可得從而141保費(fèi)返還的保單（policieswithpremiumrefund）設(shè)有兩全保險(xiǎn)，滿期保額為1個(gè)單位，期限

n

年。如果被保險(xiǎn)人在

n

年內(nèi)死亡，已繳保費(fèi)就無(wú)息返還，確定年繳凈保費(fèi)。令P

為年繳凈保費(fèi)，保險(xiǎn)人的損失變量為

保險(xiǎn)人的期望損失為應(yīng)用等價(jià)原理，就得到年繳凈保費(fèi)為

142例對(duì)

于(x)，考慮

n

年期的定期壽險(xiǎn)，如死亡發(fā)生在第

k+1年內(nèi)，那么第

k+1年末的給付為

，求該壽險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)。解：

按定義，保險(xiǎn)給付的現(xiàn)值變量為,

與期初支付的終身生命年金比較，可見躉繳凈保費(fèi)為143例對(duì)

(x)，考慮20年期的定期壽險(xiǎn)，保額為5000元。另外如在20年期內(nèi)死亡發(fā)生，就返還保費(fèi)。分以下兩種情況分別計(jì)算該壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)。

（1）無(wú)利息返還保費(fèi)。

（2）有利息返還保費(fèi)。

144例解：

（1）記π1為年繳凈保費(fèi)，那么按等價(jià)原理就得

（2）記π2為年繳凈保費(fèi)，那么

145例對(duì)(x)，考慮

n

年期的延期年金，每年給付為1個(gè)單位，首次支付出現(xiàn)在

x+n。年繳凈保費(fèi)在前

n

年內(nèi)支付。如死亡發(fā)生在前

n

年內(nèi)，那么死亡給付為有利息返還已繳保費(fèi)。計(jì)算年繳凈保費(fèi)。解：

記π為年繳凈保費(fèi)，那么按等價(jià)原理就得求解得146壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金147

主要內(nèi)容兩全保險(xiǎn)與定期保險(xiǎn)的比較遞推關(guān)系終身壽險(xiǎn)與兩全保險(xiǎn)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金總損失在各保單年度的分?jǐn)?48壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金(netpremiumreserve)考慮一份繳納凈保費(fèi)的保單。在保單簽發(fā)時(shí)，保險(xiǎn)人損失

L

的期望為0。在保單簽發(fā)之后的時(shí)刻，未來保費(fèi)與未來保險(xiǎn)給付的期望現(xiàn)值一般并不相等。假設(shè)

T>t，定義隨機(jī)變量

tL

為在時(shí)刻t

時(shí)未來保險(xiǎn)給付現(xiàn)值減去未來保費(fèi)現(xiàn)值的差額，假設(shè)tL

不恒為0，tL

的期望就是在時(shí)刻

t時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金，記為

tV。該定義也可視為責(zé)任準(zhǔn)備金的前瞻公式。149兩全保險(xiǎn)與定期保險(xiǎn)的比較給定一份保險(xiǎn)期限為

n

，保額為1個(gè)單位的兩全保險(xiǎn)，在第

k

年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金記為

，表示如下：由凈保費(fèi)的定義，顯然

。相應(yīng)地，定期壽險(xiǎn)第

k

年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金記為

150例：假設(shè)保額為1000單位，初始年齡

x=40，保險(xiǎn)期限

n=10，凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為

（或

），k=0,1,…9。假設(shè)

i=4%，死亡率滿足DeMoivre律，ω=100。解：

經(jīng)計(jì)算得到兩全保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)為88.96，定期壽險(xiǎn)的

年繳凈保費(fèi)為17.225。

凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的變化如下表所示。15115207.84805698.150135.180.017.24269721.4477126.021.326.60433745.99158116.082.335.93076771.89244105.303.145.21956799.2533593.613.754.46813828.1543180.944.063.67365858.7153267.223.972.83306891.0463952.363.681.94305925.2775236.272.891.00000961.5487318.850.01.6由上表可見，兩全保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金穩(wěn)定增加，最后趨近于保險(xiǎn)金額。定期保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金非常小，幾乎沒有變化。在開始幾年，由于保費(fèi)略多于相應(yīng)的一年期定期壽險(xiǎn)的保費(fèi)，因此責(zé)任準(zhǔn)備金逐漸增加。由于被保險(xiǎn)人生存時(shí)保險(xiǎn)人沒有給付義務(wù)，因此在接近保險(xiǎn)期末時(shí)，責(zé)任準(zhǔn)備金逐漸減少。遞推關(guān)系(recursiveconsiderations)回到人壽保險(xiǎn)的一般類型。按定義，第

k

年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金記為將式代入上式，并記作為求和下標(biāo)，得到與的關(guān)系如下：153遞推關(guān)系(recursiveconsiderations)令

h=1可得到凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推關(guān)系：上式表示在時(shí)刻

k

時(shí)，凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金與保費(fèi)之和，等于年末所需資金的期望現(xiàn)值（在死亡情況下為

ck+1，在生存情況下

k+1V），該式也可寫成如下形式：在每種情況下都需要額度為

的資金；如被保險(xiǎn)人死亡，則需要額外的額度為

的資金，稱它為在險(xiǎn)凈保額（netamountatrisk）。154儲(chǔ)蓄保費(fèi)(savingpremium)與風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)(riskpremium)式表明保費(fèi)可以分解成兩部分，。

為儲(chǔ)蓄保費(fèi)，用于增加凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金，

從年初的

變到年末的

。為風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)，它是一年期定期壽險(xiǎn)的保費(fèi)，保險(xiǎn)金額為在險(xiǎn)凈保額。從而在第

k+1年內(nèi)的運(yùn)行狀況可解釋為儲(chǔ)蓄與一年期定期壽險(xiǎn)的組合。當(dāng)然，這里假設(shè)被保險(xiǎn)人在時(shí)刻k

生存。155156引用上一節(jié)的數(shù)值實(shí)例，下表給出了凈保費(fèi)的分解，分為儲(chǔ)蓄保費(fèi)和風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)。兩全保險(xiǎn)定期壽險(xiǎn)074.1714.791.2216.00175.2413.710.9716.26276.4312.530.7016.53377.7411.220.4216.81479.189.780.1217.10580.778.18-0.1917.41682.536.43-0.5217.74784.474.49-0.8718.09886.602.36-1.2418.46988.960.00-1.6218.85遞推關(guān)系(recursiveconsiderations)把式寫成：

可見保費(fèi)與責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的利息之和，用于調(diào)整（增大

或減小）責(zé)任準(zhǔn)備金，并提供風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)。在式兩邊乘以(1+i)，得到類似等式：157例考慮(x)從

x+n

歲開始，年給付額為1個(gè)單位的延期年金，等額年繳凈保費(fèi)在前

n

年內(nèi)支付，并且在

x+n

歲之前死亡時(shí)，死亡給付額為凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。確定年繳凈保費(fèi)及第

k

年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。解：由式及

可得年繳凈保費(fèi)為

上式兩邊乘以

vk，并對(duì)

k=0,1,…,n-1求和，得到

把代入上式，得到

求和得第k

年責(zé)任準(zhǔn)備金為158例關(guān)于

(x)的某種保險(xiǎn)，當(dāng)(x)在

n

年內(nèi)死亡時(shí)，年末給付1個(gè)單位再加上凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。假設(shè)期滿時(shí)責(zé)任準(zhǔn)備金為1，給出等額年繳凈保費(fèi)公式及第

k

年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。解：此時(shí)，由可得

上式兩邊乘以

vk

，并對(duì)

k=0,1,…,n-1求和，得到求和得第k

年末的責(zé)任準(zhǔn)備金為159例關(guān)于(x)的某種保險(xiǎn)，假設(shè)

，

，

，

。證明

。證：由和題設(shè)可得：

變形可得

再由，遞推得到：

，

最后得到：160終身壽險(xiǎn)與兩全保險(xiǎn)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金對(duì)于終身壽險(xiǎn)，第

k

年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金記為

kV，由定義有：經(jīng)過變換可得到幾個(gè)等價(jià)公式（見下頁(yè)）。161162幾個(gè)等價(jià)公式：——凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金等于保額減去未來保

費(fèi)及未賺利息的期望現(xiàn)值?！獌舯ＹM(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金是未來保費(fèi)不足部分

的期望現(xiàn)值。163等價(jià)公式推廣到兩全保險(xiǎn)：回溯公式設(shè)關(guān)于(x)的保單在開始的

h

年內(nèi)保額都是1個(gè)單位，保費(fèi)為

P，這里

h

小于或等于保單繳費(fèi)期，那么責(zé)任準(zhǔn)備金的回溯公式為：

其中

hkx為保險(xiǎn)成本積累值。現(xiàn)考慮

(x)的兩份保單，保費(fèi)分別為

P1

和

P2

，那么就有164回溯公式的應(yīng)用考慮兩全保險(xiǎn)和繳費(fèi)

n

次的終身壽險(xiǎn)，按定義，對(duì)兩全保險(xiǎn)

，而對(duì)終身壽險(xiǎn)

，因此可得：比較定期保險(xiǎn)和終身壽險(xiǎn)，注意到對(duì)定期保險(xiǎn)有，

則有：165例假設(shè)，，。

計(jì)算。解：

，因此

，，從而

166例假設(shè)，，。計(jì)算。解：

直接由式可得

或者由兩邊同乘

得

兩邊同除以得167例假設(shè)，。計(jì)算。解：由式可得

，

，

168總損失在各保單年度的分?jǐn)倢?duì)于

k=0,1,…，記

為保險(xiǎn)人在第

k+1年內(nèi)發(fā)生的損失，選擇年初時(shí)刻

k

作為參考點(diǎn)。分以下三種情況考慮：

（1）被保險(xiǎn)人在時(shí)刻

k

之前死亡，即在第

k+1年之前死亡；

（2）被保險(xiǎn)人在第

k+1年內(nèi)死亡；（3）被保險(xiǎn)人在第

k+1年之后仍生存。隨機(jī)變量

為169總損失在各保單年度的分?jǐn)傆么鷵Q，應(yīng)用等式，可得：

如果被保險(xiǎn)人在時(shí)刻

k

生存，那么

是保額為在險(xiǎn)凈保額的

一年期定期壽險(xiǎn)導(dǎo)致的損失。170總損失在各保單年度的分?jǐn)偙ｋU(xiǎn)人的總損失可表示成，求和范圍為從0到

K

。

方差假設(shè)被保險(xiǎn)人在時(shí)刻

x+h（

h

為整數(shù)）生存，定義損失變量

。與上式類似，下式成立171172k兩全保險(xiǎn)定期壽險(xiǎn)01290515114199181394027393128643529211876435841097052240101406123193797535868281318043907457合計(jì)43229108465引用本章前面的數(shù)例，可得到下表：可見兩全保險(xiǎn)的

（43229）遠(yuǎn)小于定期壽險(xiǎn)的

（108465）。例25歲的人投保終身壽險(xiǎn)，保額為1個(gè)單位，保費(fèi)最多繳納20次。已知i=0.06,,,,,,。

計(jì)算：(1)，

；

(2)；

(3)。173例解：(1)經(jīng)過19年后，還剩最后一次保費(fèi)。而經(jīng)過20年后，就不再有

保費(fèi)。按準(zhǔn)備金的定義，可得

(2)(3)代入給定條件，計(jì)算得到174例關(guān)于

(x)的3年期的兩全保險(xiǎn)，保額為3個(gè)單位，年繳凈保費(fèi)為0.94個(gè)單位。當(dāng)

i=0.20時(shí)，計(jì)算得到的各年度準(zhǔn)備金如下

計(jì)算：(1)qx

和qx+1

；(2)；(3)。175年度年末準(zhǔn)備金10.6621.5633.00例解：

注意到，

，

(1)，

，

(2)176例解：

(2)對(duì)兩全保險(xiǎn)最后一年，沒有隨機(jī)性，所以

。

最后得到：

(3)

即

只取對(duì)應(yīng)于

k=0的一項(xiàng)。由以上兩式，即得177損失模型178

主要內(nèi)容基本概念隨機(jī)變量隨機(jī)變量的數(shù)字特征損失次數(shù)模型泊松分布二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布損失金額模型指數(shù)分布伽馬分布逆高斯分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布帕累托分布179隨機(jī)變量隨機(jī)變量：取值依賴于隨機(jī)現(xiàn)象的觀察結(jié)果的變量，通常用大寫字母（如X、N）來表示。隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)：隨機(jī)變量X的取值不超過實(shí)數(shù)x的概率，即F(x)=Pr(X

x)隨機(jī)變量的類型：離散型隨機(jī)變量：只能取有限個(gè)或可列個(gè)值的隨機(jī)變量

（如保單的索賠次數(shù)N）連續(xù)型隨機(jī)變量：其取值布滿一個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量（如損失金額X的取值范圍是區(qū)間（0，＋

））180隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值（期望值）描述隨機(jī)變量的平均取值，代表著其取值的平均水平。隨機(jī)變量X的均值通常用E(X)表示當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量，其取值為

的概率為

（i=1,2,…），則當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其取值范圍為（

，＋

），f(x)為其密度函數(shù)，則181均值密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)具有下述關(guān)系：兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的均值具有下述關(guān)系：（1）

，其中k為常數(shù)（2）

（3）若X與Y相互獨(dú)立，則

182方差、標(biāo)準(zhǔn)差方差：描述了隨機(jī)變量取值的分散程度兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的方差具有下述關(guān)系：（1）

，其中k為常數(shù)（2）若X與Y相互獨(dú)立，則標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根183變異系數(shù)184隨機(jī)變量X的變異系數(shù)CV是標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比率n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的變異系數(shù)是單個(gè)隨機(jī)變量的變異系數(shù)的

即：

變異系數(shù)通常用來描述一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的相對(duì)大小，因此，風(fēng)險(xiǎn)集合中所包含的相互獨(dú)立的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)越多，其相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)越小。隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩是指隨機(jī)變量的k次冪的均值，即

顯然，均值為隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩。隨機(jī)變量X的k階中心矩定義為顯然，方差為隨機(jī)變量的二階中心矩。185原點(diǎn)矩和中心矩偏度系數(shù)隨機(jī)變量X的偏度系數(shù)定義為

其中，

是X的三階中心矩，

為X的標(biāo)準(zhǔn)差。n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的偏度系數(shù)是單個(gè)隨機(jī)變量的偏度系數(shù)的

，因此隨機(jī)變量之和的偏度系數(shù)隨著n的變化呈反方向變化。對(duì)稱分布：偏度系數(shù)為零；(如正態(tài)分布)右偏分布：偏度系數(shù)大于零；左偏分布，偏度系數(shù)小于零。186損失次數(shù)模型泊松分布二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布187泊松分布均值=方差變異系數(shù)=偏度系數(shù)當(dāng)時(shí)，，這就意味著泊松分布接近于對(duì)稱分布。188，k＝0，1，2，…… 假設(shè)損失次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布，則發(fā)生k次損失的概率為：189泊松分布的幾個(gè)重要性質(zhì)：可加性：兩個(gè)獨(dú)立同分布的泊松隨機(jī)變量之和仍然是

泊松隨機(jī)變量。可分解性。如果保險(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，則在一個(gè)固定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)事故次數(shù)服從泊松分布。

當(dāng)參數(shù)

較大時(shí)，泊松分布趨于對(duì)稱分布，所以可以用正態(tài)分布近似

二項(xiàng)分布

假設(shè)損失次數(shù)N服從參數(shù)為m和q的二項(xiàng)分布,則發(fā)生k次損失的概率為：均值方差變異系數(shù)偏度系數(shù)母函數(shù)

P(z)=E(zN)=(1-q)z0+qz1=1-q+qz=1+q(z-1)190，k＝0，1，2，…，m，其中m為整數(shù)，0<q<1 二項(xiàng)分布的性質(zhì)當(dāng)m足夠大，q充分小，使得mq保持適當(dāng)?shù)拇笮r(shí)，近似于參數(shù)為

的泊松分布。方差小于其均值，這是它與泊松分布和負(fù)二項(xiàng)分布在實(shí)際應(yīng)用中的主要區(qū)別。泊松分布的方差等于均值，而負(fù)二項(xiàng)分布的方差大于均值。假設(shè)每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生損失的概率均為q，則二項(xiàng)分布可以描述m個(gè)獨(dú)立同分布的風(fēng)險(xiǎn)所組成的風(fēng)險(xiǎn)集合的損失次數(shù)。如果用二項(xiàng)分布描述損失次數(shù)，則意味著損失次數(shù)存在一個(gè)最大值，這就是二項(xiàng)分布的參數(shù)m。191二項(xiàng)分布的概率函數(shù)192

當(dāng)固定參數(shù)q時(shí)，二項(xiàng)分布隨