2021年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(含詳細(xì)解析)

第1頁（共1頁）2021年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1．（4分）若集合，，，則．2．（4分）函數(shù)的反函數(shù)為．3．（4分）若且，則．4．（4分）設(shè)無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為2，若該數(shù)列的公比為，則．5．（4分）在的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．6．（4分）若正方體的棱長為1，則該正方體的外接球的體積為．7．（5分）若圓以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心、長半軸為半徑，則圓的方程為．8．（5分）一個袋中裝有同樣大小、質(zhì)量的10個球，其中2個紅色、3個藍(lán)色、5個黑色，經(jīng)過充分混合后，若從此袋中任意取出4個球，則三種顏色的球均取到的概率為．9．（5分）設(shè)，則不等式的解集為．10．（5分）某展館現(xiàn)有一塊三角形區(qū)域可以布展，經(jīng)過測量其三邊長分別為14、10、6（單位：，且該區(qū)域的租金為每天4元，若租用上述區(qū)域5天，則僅場地的租用費(fèi)約需元（結(jié)果保留整數(shù)）．11．（5分）如圖所示，在直角梯形中，已知，，，，為的中點(diǎn)，設(shè)、分別為線段、上的動點(diǎn)，若、、三點(diǎn)共線，則的最大值為．12．（5分）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間，上有零點(diǎn)，則的取值范圍是．二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13．（5分）曲線的準(zhǔn)線方程是A． B． C． D．14．（5分）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，且，則在以下各項(xiàng)中的可能取值只能是A． B． C． D．15．（5分）如圖，在正四棱柱中，底面邊長，高，為棱的中點(diǎn)，設(shè)，，，則、、之間的關(guān)系正確的是A． B． C． D．16．（5分）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)集上給出下列兩個結(jié)論：①存在、，使得該方程僅有兩個共軛虛根；②存在、，使得該方程最多有6個互不相等的根；其中正確的是A．①與②均正確 B．①正確，②不正確 C．①不正確，②正確 D．①與②均不正確三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）設(shè)為常數(shù)，函數(shù)．（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及頻率；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求此函數(shù)的值域．18．（14分）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線經(jīng)過且與的兩條漸近線中的一條平行，與另一條相交且交點(diǎn)在第一象限．（1）設(shè)為右支上的任意一點(diǎn)，求的最小值；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求到的距離，并求與的交點(diǎn)坐標(biāo)．19．（14分）某商場共有三層樓，在其圓柱形空間內(nèi)安裝兩部等長的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顧客乘用，如圖，一顧客自一樓點(diǎn)處乘Ⅰ到達(dá)二樓的點(diǎn)處后，沿著二樓面上的圓弧逆時針步行至點(diǎn)處，且為弧的中點(diǎn)，再乘Ⅱ到達(dá)三樓的點(diǎn)處，設(shè)圓柱形空間三個樓面圓的中心分別為、、，半徑為8米，相鄰樓層的間距米，兩部電梯與樓面所成角的大小均為．（1）求此顧客在二樓面上步行的路程；（2）求異面直線和所成角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20．（16分）已知無窮數(shù)列的首項(xiàng)為，其前項(xiàng)和為，且，其中為常數(shù)且．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的值；（2）設(shè)，，是否存在正整數(shù)使得數(shù)列中的項(xiàng)成立？若存在，求出滿足條件的所有值，若不存在，請說明理由；（3）求證：數(shù)列中不同的兩項(xiàng)之和仍為此數(shù)列中的某一項(xiàng)的充要條件為存在整數(shù)且，使得．21．（18分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，當(dāng)，時，的最大值為1，且滿足此條件的任意實(shí)數(shù)及的值，使得關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)為實(shí)數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根、且，試將表示為關(guān)于的函數(shù)，并寫出此函數(shù)的定義域．

2021年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1．（4分）若集合，，，則．【解答】解：，，，，故答案為：．2．（4分）函數(shù)的反函數(shù)為．【解答】解：由解得或（舍去），所以，，所以原函數(shù)的反函數(shù)為，，故答案為：，．3．（4分）若且，則．【解答】解：由，且，可得，所以，故答案為：．4．（4分）設(shè)無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為2，若該數(shù)列的公比為，則．【解答】解：由題意可得，且，，故．故答案為：．5．（4分）在的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為28．【解答】解：的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，，1，，8．令，解得，則項(xiàng)的系數(shù)，故答案為：28．6．（4分）若正方體的棱長為1，則該正方體的外接球的體積為．【解答】解：正方體棱長為1，正方體的外接球的半徑，正方體的外接球的體積．故答案為：．7．（5分）若圓以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心、長半軸為半徑，則圓的方程為．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓中，，，則，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則圓的圓心為，半徑，故圓的方程為：，故答案為：．8．（5分）一個袋中裝有同樣大小、質(zhì)量的10個球，其中2個紅色、3個藍(lán)色、5個黑色，經(jīng)過充分混合后，若從此袋中任意取出4個球，則三種顏色的球均取到的概率為．【解答】解：由題設(shè)知：從10個球中任取4個球，共有種取法，滿足三種顏色的球均取到的取法有種，三種顏色的球均取到的概率為，故答案為：．9．（5分）設(shè)，則不等式的解集為．【解答】解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由（1），可得即，解得，．故答案為：．10．（5分）某展館現(xiàn)有一塊三角形區(qū)域可以布展，經(jīng)過測量其三邊長分別為14、10、6（單位：，且該區(qū)域的租金為每天4元，若租用上述區(qū)域5天，則僅場地的租用費(fèi)約需520元（結(jié)果保留整數(shù)）．【解答】解：在中，設(shè)，，，利用，由于，所以．所以，則花費(fèi)用為．故答案為：520元．11．（5分）如圖所示，在直角梯形中，已知，，，，為的中點(diǎn)，設(shè)、分別為線段、上的動點(diǎn)，若、、三點(diǎn)共線，則的最大值為．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．，，，，，設(shè)，，．設(shè)，則，，，，，．、、三點(diǎn)共線，可以設(shè)，，，，．消去可得：．則，，．令．，．則在，上單調(diào)遞減，因此時，取得最大值．12．（5分）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間，上有零點(diǎn)，則的取值范圍是，．【解答】解：在區(qū)間，上有零點(diǎn)，在區(qū)間，上有解，在區(qū)間，上有解，令，（1），，，，，故答案為：，．二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13．（5分）曲線的準(zhǔn)線方程是A． B． C． D．【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程是，故選：．14．（5分）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，且，則在以下各項(xiàng)中的可能取值只能是A． B． C． D．【解答】解：，可得，整理得：，將選項(xiàng)代入，只有成立，故選：．15．（5分）如圖，在正四棱柱中，底面邊長，高，為棱的中點(diǎn)，設(shè)，，，則、、之間的關(guān)系正確的是A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，連接，因?yàn)楦?，為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵谡睦庵?，底面邊長，所以，所以為等邊三角形，所以，，連接，在△中，，，，由余弦定理可得，所以，所以．故選：．16．（5分）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)集上給出下列兩個結(jié)論：①存在、，使得該方程僅有兩個共軛虛根；②存在、，使得該方程最多有6個互不相等的根；其中正確的是A．①與②均正確 B．①正確，②不正確 C．①不正確，②正確 D．①與②均不正確【解答】解：對于方程，若，，方程化為，即，得，即方程僅有兩個共軛虛根，故①正確；當(dāng)，時，方程為，該方程有4個實(shí)數(shù)根，分別為，1，，2，有2個純虛跟，為，，共6個互不相等的根，故②正確．故選：．三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）設(shè)為常數(shù)，函數(shù)．（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及頻率；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求此函數(shù)的值域．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以函?shù)，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)是頻率；（2）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，即，即，所以，所以，當(dāng)時，，，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?8．（14分）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線經(jīng)過且與的兩條漸近線中的一條平行，與另一條相交且交點(diǎn)在第一象限．（1）設(shè)為右支上的任意一點(diǎn)，求的最小值；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求到的距離，并求與的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）由雙曲線，得，，則，，設(shè)，，其中，且，，當(dāng)時，；（2），的漸近線方程為，由題設(shè)可知，直線的方程為．到直線的距離．聯(lián)立，得，即，代入，得．與的交點(diǎn)坐標(biāo)為．19．（14分）某商場共有三層樓，在其圓柱形空間內(nèi)安裝兩部等長的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顧客乘用，如圖，一顧客自一樓點(diǎn)處乘Ⅰ到達(dá)二樓的點(diǎn)處后，沿著二樓面上的圓弧逆時針步行至點(diǎn)處，且為弧的中點(diǎn)，再乘Ⅱ到達(dá)三樓的點(diǎn)處，設(shè)圓柱形空間三個樓面圓的中心分別為、、，半徑為8米，相鄰樓層的間距米，兩部電梯與樓面所成角的大小均為．（1）求此顧客在二樓面上步行的路程；（2）求異面直線和所成角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【解答】解：（1）過點(diǎn)作1樓面的垂線，垂足是，則落在圓柱底面圓上，連接，則即為在圓柱下底面上的射影，故即為與樓面所成的角，即，，可得，中，，故是等腰直角三角形，故，，故弧的長為，故此顧客在二樓面上步行的路程為米；（2）由（1）可知，，兩兩互相垂直相交，于是以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖示：則，0，，，8，，，，，，，，故，，，，0，，設(shè)異面直線和所成角的大小為，則，即，故異面直線和所成角的大小為．20．（16分）已知無窮數(shù)列的首項(xiàng)為，其前項(xiàng)和為，且，其中為常數(shù)且．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的值；（2）設(shè)，，是否存在正整數(shù)使得數(shù)列中的項(xiàng)成立？若存在，求出滿足條件的所有值，若不存在，請說明理由；（3）求證：數(shù)列中不同的兩項(xiàng)之和仍為此數(shù)列中的某一項(xiàng)的充要條件為存在整數(shù)且，使得．【解答】解：（1）由得數(shù)列是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，故，，；（2）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，解得，又因?yàn)?，所以，故，所以，，則，當(dāng)，2，3，4，5，6，7，8時，，不等式成立，當(dāng)時，時，不等式都不成立，所以滿足條件的所有的的值為1，2，3，4，5，6，7，8；（3）①先證必要性：任取等差數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，，，存在使得，則，得，故存在使得，使得，，再整：反證法證明：假設(shè)當(dāng)時，不成立，則恒成立，對于不同的兩項(xiàng)，，應(yīng)存在，使得，即，所以，又因?yàn)槭切∮诘恼麛?shù)，故，所以假設(shè)不成立，故，②再證充分性：當(dāng)，，，任取等差數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，，，則，因?yàn)榍?，所以，綜上①②可得，原結(jié)論成立．21．（18分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，當(dāng)，時，的最大值為1，且滿足此條件的任意實(shí)數(shù)及的值，使得關(guān)