人教版八年級數(shù)學下冊《勾股定理逆定理的拓展問題》期末練習-有答案

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1．由于大風，山坡上的一顆甲樹從A點處被攔腰折斷，其頂點恰好落在一棵樹乙的底部C處，如圖所示，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹的水平距離是12米，求甲樹原來的高度.2．如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，點D到地面的垂直距離DE=32m，求點B到地面的垂直距離BC．3．愛動腦筋的小剛同學用下面的方法也能夠測量出家門前池塘兩端A、B兩點的距離.他是這樣做的：選定一個點P，連接PA、PB，在PM上取一點C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即確定池塘兩端A、B兩點的距離為15m.小剛同學測量的結(jié)果正確嗎？為什么？4．如圖，已知長方體的長為AC=2cm，寬BC=1cm，高AA′=4cm．一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近？最短路程是多少？5．明朝數(shù)學家程大位在《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人起，五尺人高曾記．仕女佳人蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千細索OA懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC=1尺）．將它往前推進兩步（EB⊥OC于點E，且EB=10尺），踏板升高到點B位置，此踏板離地五尺（BD=5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長度．6．一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？7．為了減少交通事故的發(fā)生，《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街道上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條由東向西的城市街道上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路邊車速監(jiān)測儀的正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與車速監(jiān)測儀的距離為50m，問這輛小汽車超速了嗎？8．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點C，從觀測點C測得一小車從點A到達點B行駛了5秒鐘，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73）9．如圖，A、B兩個花圃相距150m，C為水源地，水源地C距離A花圃120m，水源地C距離B花圃90m，為了方便灌溉，某工程隊想修筑水渠．現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為點H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的點H處，再從點H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀并寫出推理過程；（2）按照乙方案，求從水源地點C修筑水渠到點H處，即CH的長度．10．如圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，求：（1）四邊形ABCD的面積；（2）∠ABC的度數(shù)．11．有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，其長AD=80cm，高AB=60cm，水深A(yù)E=40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG=60cm．一小蟲想從魚缸外的A點沿壁爬進魚缸內(nèi)G處吃魚餌．（1）小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才能使爬行的路線最短呢？請你在圖中畫出它爬行的路線，并用箭頭標注．（2）求小蟲爬行的最短路線長．12．如圖，在某海濱城市O附近海面有一股臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于該城市的南偏東20°方向200千米的海面P處，并以20千米/時的速度向P處的北偏西65°PQ的方向移動，臺風侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/時速度不斷擴張．（1）當臺風中心移動4小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米：當臺風中心移動t小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米；（2）當臺風中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風是否侵襲這座海濱城市？請說明理由．(參考數(shù)據(jù)2≈1.41，13．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿同定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile，它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile（1）求PQ，PR的長度；（2）如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？14．有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD=80cm，高AB=60cm，水深A(yù)E=40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線EF上，且EG=60cm，一只螞蟻想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內(nèi)的G處面包屑．（1）該螞蟻應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使路程最短呢？請你畫出它爬行的路線，并用箭頭標注；（2）求螞蟻爬行的最短路線長．15．在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積.小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC(的三個頂點都在正方形的頂點處)，如圖所示，這樣不需要求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上．（2）已知△DEF，DE、EF、DF三邊的長分別為22、13、17①△DEF是否為直角形，并說明理由．②求這個三角形的面積．16．如圖正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，在如圖的網(wǎng)格格點處取A，B，C三點，使AB=22，BC=10，AC=26（1）請你在圖中畫出滿足條件的△ABC；（2）寫出點A到線段BC的距離．17．下面是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長都是1，正方形的頂點稱為格點，如圖1，△ABC的頂點均為網(wǎng)格上的格點．（1）AB=，BC=，AC=．（2）∠ABC=°．（3）在格點上是否存在點P（點P不與點B重合），使∠APC=90°，請在圖中標出所有滿足條件的格點P（用P1、P（4）請在圖2中畫出一個三角形，使三邊長分別為3，10，5，并求此三角形的面積．

答案1．解：如圖所示，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D由題意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米在Rt△BCD中BD=B∴AD=AB+BD=9米在Rt△ACD中AC=C∴AC+AB=19米∴甲樹原來的高度是19米.2．解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=32．∴AD2=AE2+DE2=（32）2+（32）2=36，∴AD=6，即梯子的總長為6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=3，∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴BC=27=3∴點B到地面的垂直距離BC=33m．在Rt△ADE中，運用勾股定理可求出梯子的總長度，在Rt△ABC中，根據(jù)已知條件再次運用勾股定理可求出BC的長．3．解：小剛同學測量的結(jié)果正確，理由如下：∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169，∴PC2+BC2＝PB2，∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2+4．解：如圖：根據(jù)題意，如上圖所示，最短路徑有以下三種情況：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪開，得圖（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪開，得圖（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪開，得圖（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；綜上所述，最短路徑應(yīng)為（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．5．解：設(shè)OB=OA=x尺，則OE=（x-4）尺．在Rt△OBE中，根據(jù)勾股定理，得x解得，x=29∴OA的長度為2926．解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，AB=252答：這個梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA′=20米，BC′=252則：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑動了8米．7．解：小汽車超速了．理由：由勾股定理，得BC=A所以小汽車的速度是40÷2＝20（m/s）．因為20m/s＝72km/h＞70km/h，所以小汽車超速了．8．解：此車沒有超速．理由：過C作CH⊥MN，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC?sin60°=200×32=1003BH=BC?cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=1003米，∴AB=1003﹣100≈73（m），∵60千米/小時=503∴735=14.6（m/s）＜50∴此車沒有超速．9．（1）解：△ABC是直角三角形，理由：由題意可得：AC=120m，BC=90m，AB=150m，∵120∴△ABC是直角三角形；（2）解：根據(jù)題意可得：CH?AB=AC?BC，則150CH=120×90，解得CH=72，答：CH的長度為72m10．（1）解：S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×5×2+12（2）解：因為AB2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2=52=25，所以AB2+BC2=AC2．所以∠ABC=90°11．（1）解：如圖，作點A關(guān)于直線BC的對稱點A'，連接A'G，與BC交于點Q，連接AQ．則AQ→QG為最短路線．（2）解：因為AE=40cm，AA'=120cm，所以A'E=80cm．又因為EG=60cm，所以在Rt△A'EG中，A'G2=802+602=10000．所以A'G=100cm．所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100cm．即最短路線長為100cm．12．（1）100；（60+10t）（2）解：作OH⊥PQ于點H，∴∠OHP=90°，P點在O點南偏東20°，∴OP與南北方向夾角是20°，Q點在P點北偏西65°，∴QP與南北方向夾角是65°，∴∠OPH=65°?20°=45°，在等腰直角三角形OPH中，OP=200千米，根據(jù)勾股定理可算得OH=1002設(shè)經(jīng)過t小時時，臺風中心從P移動到H，則PH=20t=1002解得t=52此時，受臺風侵襲地區(qū)的圓的半徑為：60+10×52≈130.5(千米)∴城市O不會受到侵襲．13．（1）解：PQ的長度16×1.5=24nmile，PR的長度12×1.5=18nmile（2）解：∵RQ2=PR2+PQ2，∴∠RPQ=90°，∵“遠航”號沿東北方向航行，∴“海天”號沿西北方向（或北偏西45°）航行14．（1）解：如圖所示作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′G交BC與點Q，螞蟻沿著A→Q→G的路線爬行時，路程最短．（2）解：∵在直角△A′EG中，A′E