九年級圓的基礎(chǔ)知識點(diǎn)、經(jīng)典例題與課后習(xí)題

圓

【學(xué)問梳理】

1.圓的有關(guān)概念和性質(zhì)

（1）圓的有關(guān)概念

①圓：平面上到定點(diǎn)的間隔.等于定長的全部點(diǎn)組成的圖形叫做圓，其，中

定點(diǎn)為圓心，定長為半徑.

②?。簣A上隨意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,

小于半圓的弧稱為劣弧.

③弦：連接圓上隨意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.

（2）圓的有關(guān)性質(zhì)

①圓是軸對稱圖形；其對稱軸是隨意一條過圓心的直線；圓是中心對稱圖

形，對稱中心為圓心.

②垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.

說明：依據(jù)垂徑定理及推論可知對于一個圓和一條直線來說，假如具備:

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所

對的劣弧。

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。

③弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

?。簣A上隨意兩點(diǎn)間的局部叫做川沙，簡稱弧，用符號表示，

以為端點(diǎn)的弧記為“工方”，讀作“圓弧”或“弧”。

半圓：直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半網(wǎng)。

優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做俅弧

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做多機(jī)。（為了區(qū)分優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字

母表示。）

④弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，假如兩個圓心角，兩條弧,

兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓

周角是直角；90”的圓周角所對的弦是直徑.

⑤等圓：可以完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，可以相互重合的弧叫做等呱。

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做網(wǎng)心、曲.

⑧弦心距:從圓心到弦的間隔叫做掌心'E艮

（3）對圓的定義的理解：

①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）

2.及圓有關(guān)的角

（1）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的

度數(shù).

（2）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別和圓相交的角，叫圓周角。圓周角的

度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半.

(3)圓心角及圓周角的關(guān)系：

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它.所對的圓心角的一

半.

(4)圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形.

圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，它的一個外角等于.它相鄰內(nèi)角的對角.

3.點(diǎn)及圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

假如圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的間隔為d,則

①點(diǎn)在圓上?;

②點(diǎn)在圓內(nèi)<>d<r;

③點(diǎn)在圓外?d>r.

其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個點(diǎn)共圓，方法

就是證明這幾個點(diǎn)及一個定點(diǎn)、的間隔相等。

4.確定圓的條件：

1.理解確定一個圓必需的具備兩個條件：

圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

經(jīng)過一點(diǎn)可以作多數(shù)個圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作多數(shù)個圓，其圓心在這個兩點(diǎn)

線段的垂直平分線上.

2.經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種狀況：

(1)經(jīng)過同始終線上的三點(diǎn)不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同始終線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個圓.

定理：不在同始終線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做

這個三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的間隔相等.

5.直線及圓的位置關(guān)系

1.直線和圓相交、相切相離的定義：

(1)相交：直線及圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割

線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切

線，惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相離.

2.直線及圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。0的半徑為r,圓心0到直線的間隔為d；

①d<r<>直線L和。0相交.

②<>直線L和。0相切.

③d>r<>直線L和。0相離.

3.切線的總斷定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

4.切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

假如一條直線具備下列三個條件中的隨意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心.

5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形

的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.

6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的間隔相等.

(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的協(xié)助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的

這個內(nèi)角.

6.圓和圓的位置關(guān)系.

1.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

(1)外離：兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時,叫做這

兩個圓外離.

(2)外切：兩個圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)以外，每個圓上的點(diǎn)都在

另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)相交：兩個圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這個兩個圓相交.

(4)內(nèi)切：兩個圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)以外，一個圓上的都在另

一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做

這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.

2.兩圓位置關(guān)變的性質(zhì)及斷定：

(1)兩圓外離<>d>

(2)兩圓外切<>

(3)兩圓相交<><d<(R>r)

(4)兩圓內(nèi)切<>(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<>d<(R>r)

3.相切兩圓的性質(zhì)：

假如兩個圓相切,那么切點(diǎn)肯定在連心線上.

4.相交兩圓的性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

7.圓內(nèi)接四邊形

若四邊形的四個頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這

個圓叫做這個四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

②圓內(nèi)接四邊形隨意一個外角等于它的內(nèi)錯角.

8.弧長及扇形的面積

1.圓周長公式：

圓周長2?R(R表示圓的半徑)

2.弧長公式：

弧長(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))

3.扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

4.弓形定義：

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點(diǎn)到弦的間隔叫做弓形高.

5.圓的面積公式.

圓的面積S=（R表示圓的半徑）

6.扇形的面積公式：

扇形的面積（R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）

弓形的面積公式:（如圖5）

（2）當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，S弓形=5扇形+5二角形

（3）當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，

例題解析

【例題1】如圖1，。。是AABC的外接圓，A3是直徑，若NBOC=80。，則NA

等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

圖1圖2圖3

【例題2】如圖2,以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦及小圓相切于點(diǎn)C,

若大圓半徑為

10,小圓半徑為6,則弦的長為.

【例題3】如圖3,△內(nèi)接于。0,,Z1200,為。。的直徑，=6,那么=.

【例題4】如圖4已知。0的兩條弦，相交于點(diǎn)E,Z70",N50",那么N的值為

()

A.1B.且C.巫D.3

2322

圖4

【例題5】如圖5,半圓的直徑48=10,點(diǎn)C在半圓上，BC=6.

(1)求弦AC的長；

(2)若P為的中點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,求PE的長.

（圖8）

三、課堂練習(xí)

1,如圖6,在。0中，Z40°,則/=度.

圖7

2、如圖7,是。。的直徑，是弦，若N=32°,則N的度數(shù)等于

3、已知。。的直徑8,C為。。上的一點(diǎn)，Z3O0,則.

4、如圖8,已知在中，NACB=RtN,AB=4,分別以AC,BC為直

徑作半圓，面積分別記為5，S2,則5+S?的值等于

5、如圖9,。。的半徑=10,P為上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到圓心O的最短間隔為。

圖9

6、如圖10,在。O中，ZZ60°,2y/3cm,

（1）求/的度數(shù)；（2）求。O的周長

圖10

7、已知：如圖11,。。的直徑及弦相交于E,弧=弧，。0的切線及弦的延長

線相交于點(diǎn)F.

(1)求證〃.

(2)連結(jié)，若。。的半徑為42之，求線段、的長.

B

（第24題）

8、如圖12,在△中，，以為直徑的。。及交于點(diǎn)D,過D作

交的延長線于E,垂足為F.

(1)求證：直線是。。的切線；

⑵當(dāng)5,8時，求的值.

BE

四、經(jīng)典考題解析

1.如圖13,在。0中，已知NA=/=6.0°,=3,則△的周長是.

OB

圖13圖14圖15

2.“圓材埋壁”是我國古代《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁沖，

不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何”.用數(shù)學(xué)語言可表述為

如圖14,為。。的直徑，弦L于點(diǎn)E,=1寸，10寸，則直徑的長為（）

A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸

3.如圖15,已知是半圓0的直徑，弦和相交于點(diǎn)P,那么等于（）

A.ZB.ZC.ZD.Z

4.00的半徑是5,、為。0的兩條弦，且〃，6,8,

求及之間的間隔.

5.如圖16,在OM中，弧所對的圓心角為120°,已知圓的半徑為2,并建立如

圖所示的直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C是y軸及弧的交點(diǎn)。

（1）求圓心M的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D是弦所對優(yōu)弧上一動點(diǎn),求四邊形的最大面積

五、課后訓(xùn)練

1.如圖17,在。0中，弦1.8,圓周角N30°,則。。的直徑等于.

AD

B

C

A1

圖17圖18圖19

2.如圖18,C是。。上一點(diǎn)，0是圓心.若N35。，則N的度數(shù)為（）

A.35°B.70°C.105°D.150°

3.如圖19,。。內(nèi)接四邊形中，，則圖中和N1相等的角有

4.在半徑為1的圓中，弦、分別是6和&，則N的度數(shù)為多少？

5.如圖20,弦的長等于。0的半徑，點(diǎn)C在上,則NC的度數(shù)是.

圖20

6.如圖21,四邊形內(nèi)接于。0,若N100°,則/的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

7.如圖22,四邊形為。0的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E在的延長線上，假如N120。

那么/等于（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

8.如圖，。0的直徑10,，于點(diǎn)H,2.

（1）求,的長；

（2）延長到P,.過P作。。的切線，切點(diǎn)為C,

若226,求,的長.

九年級數(shù)學(xué)圓練習(xí)題

一、填空題：（21分）

1、如圖，在。0中，弦〃，ZAOC^115°,則

2、如圖，在。0中，是直徑，ZC=15°,則N84D

3、如圖，點(diǎn)0是AABC的外心，已知NQ48=40。，則NAC8

（1題圖）（2題圖）（3題圖）(4題

圖）

4、如圖，是。。的直徑，弧弧，NA=25。，則28。。=

（5題圖）（6題圖）（7題圖）

5、如圖，。。的直徑為8,弦垂直平分半徑，則弦=.

6、已知。0的半徑為2,弦=2,P點(diǎn)為弦上一動點(diǎn)，則線段的范圍

是?

7、如圖，在。0中，Z50°,Z20°,則/的

二、解答題（70分）

1、如圖，是。。的直徑.若〃，無及的大小有什么關(guān)系？為什么？

已知：如圖，在。0中，弦.求證：⑴弧弧；⑵//

3、如圖，已知：。0中，、為弦，交于D,求證：（1）Z>Z,（2）Z>Z；

4、已知如圖，，、為弦，，于M,，于N,是△的中位線嗎？

A

5、已知如圖，、是。0的直徑，、是弦，且，求證：ZZB

6、已知如圖，是。。的直徑，C是上的一點(diǎn)，,于口，平分/,交。。于E,

求證：弧弧

7、如圖，已知△,3,4,Z90°,以點(diǎn)。為圓心作。G半徑為r.

(1)當(dāng)r取什么值時，點(diǎn)4、5在外.

(2)當(dāng)r在什么范圍時，點(diǎn)