青島版小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(1-6年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié))

青島版小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

目錄

第一部分常用的數(shù)量關(guān)系---------------------------1

其次部分小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式---------------------1

第三部分常用單位換算-----------------------------2

第四部分基本概念------------------------------3

第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算-------------------------------3

其次章度量衡------------------------------------16

第三章代數(shù)初步學(xué)問------------------------------17

第四章空間與圖形--------------------------------20

第五章簡潔的統(tǒng)計(jì)-------------------------------24

【常用的數(shù)量關(guān)系】

1、每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)；總數(shù)+每份數(shù)=份數(shù)；總數(shù)七份數(shù)=每份數(shù)

2、1倍數(shù)義倍數(shù)=幾倍數(shù)；幾倍數(shù)+1倍數(shù)=倍數(shù)；幾倍數(shù)+倍數(shù)=1

倍數(shù)

3、速度X時(shí)間=路程；路程+速度=時(shí)間；路程小時(shí)間=速度

4、單價(jià)X數(shù)量=總價(jià)；總價(jià)+單價(jià)=數(shù)量；總價(jià)+數(shù)量=單價(jià)

5、工作效率X工作時(shí)間=工作總量；工作總量?工作效率=工作時(shí)間；

工作總量+工作時(shí)間=工作效率；

6、加數(shù)+加數(shù)=和;和-一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)

7、被減數(shù)-減數(shù)=差；被減數(shù)-差=減數(shù)；差+減數(shù)=被減數(shù)

8、因數(shù)義因數(shù)=積；積+一個(gè)因數(shù)=另一個(gè)因數(shù)

9、被除數(shù)?除數(shù)=商；被除數(shù)?商=除數(shù)；商X除數(shù)=被除數(shù)

【小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式】

1、正方形（C：周長，S：面積，a：邊長）周長二邊長義4；C=4a面

積=邊長X邊長；S=aXa

2、正方體（V：體積，a：棱長）表面積=棱長X棱長X6；S表=2

XaX6體積=棱長義棱長X棱長；V=aXaXa

3、長方形（C：周長，S：面積，a：邊長，b：寬）周長=（長+

寬）X2；C=2（a+b）面積=長義寬；S=aXb

4、長方體（V：體積，S：面積，a：長，b：寬，h：高）（1）表

面積=（長X寬+長X高+寬X高）X2；S=2（ab+ah+bh）（2）體積=長乂寬

X高；V=abh

5、三角形（S：面積，a：底，h：高）面積=底><高4~2；S=ah4-2三

角形的高=面積X2+底三角形的底=面積X2+高

6、平行四邊形（S：面積，a：底，h：高）面積=底乂高；S=ah

7、梯形（Z=7Tr2s：面積，a：上底，b：下底，h：高）面積=（上

底+下底）X高+2；S=（a+b）Xh+2

8、圓形（S：面積，C：周長，n：圓周率，d：直徑，r：半徑）

（1）周長=nX直徑=2XnX半徑；C=nd=2nr

（2）面積=nX半徑義半徑；S=nr2

9、圓柱體（V：體積，S：底面積，C：底面周長，h：高，r：底

面半徑）

（1）側(cè)面積=底面周長X高=01=ndh=2盯rh

（2）表面積=側(cè)面積+底面積X2

（3）體積=底面積X高

10、圓錐體（V：體積，S：底面積，h：高，r：底面半徑）

體積=底面積又高+3

H、總數(shù)+總份數(shù)=平均數(shù)

12、和差問題的公式：已知兩數(shù)的和及它們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多

少的應(yīng)用題，叫做和差應(yīng)用題，簡稱和差問題。（和+差）?2=大數(shù)；（和-

差）+2=小數(shù)

13、和倍問題的公式：已知兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩

個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，我們通常叫做和倍問題。和?（倍數(shù)-1）=小數(shù)；

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)（或者：和-小數(shù)=大數(shù)）

14、差倍問題的公式：差倍問題即已知兩數(shù)之差和兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)

系，求出兩數(shù)。差+（倍數(shù)-1）=小數(shù)；小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)（或者：小數(shù)+

差=大數(shù)）

15、相遇問題：相遇路程=速度和X相遇時(shí)間；相遇時(shí)間=相遇路程

速度和；速度和=相遇路程+相遇時(shí)間

16、濃度問題溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量；溶液的重量X

濃度=溶質(zhì)的重量；溶質(zhì)的重量?溶液的重量X100%=濃度；溶質(zhì)的重量

+濃度=溶液的重量

17、利潤與折扣問題：利潤=售出價(jià)-成本；利潤率=利潤?成本X100猊

利息=本金X利率X時(shí)間；漲跌金額=本金X漲跌百分比；稅后利息=本金

X利率X時(shí)間X（1-利息稅）

【常用單位換算】

（一）長度單位換算

1千米=1000米；1米=10分米；1分米=10厘米；1米=100厘

米；1厘米=10毫米

（二）面積單位換算：1平方千米=100公頃；1公頃=10000平方

米；1平方厘米=100平方毫米1平方米=100平方分米；1平方分米

=100平方厘米；

（三）體積（容積）單位換算：1立方米=1000立方分米；1立方分

米=1000立方厘米；1立方分米=1升；

四）重量單位換算：1立方厘米=1毫升；1立方米=1000升1噸

=1000千克；1千克=1000克；1角=10分；1年=12月；1千克=1公

斤1元=100分

（五）人民幣單位換算：1元=10角；

（六）時(shí)間單位換算：1世紀(jì)=100年；【大月（31天）有：1、3、

5、7、8、10、12月】；【小月（30天）有：4、6、9、11月】【平

年：2月有28天；全年有365天】；1日=24小時(shí)；【閏年：2月

有29天；全年有366天】1分=60秒；21時(shí)=60分=3600秒；

【基本概念】

第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一、概念

（-）整數(shù)

1.自然數(shù)、負(fù)數(shù)和整數(shù)

（1）、自然數(shù)：我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1,2,3

叫做自然數(shù)。一個(gè)物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。1是自然數(shù)

的基本單位，任何一個(gè)自然數(shù)都是由若干個(gè)1組成。0是最小的自然數(shù)，

沒有最大的自然數(shù)。

（2）、負(fù)數(shù):在正數(shù)前面加上“一”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，“-”叫做負(fù)號(hào)。

（3）整數(shù)

正整數(shù)（1、2、3、4、）零（0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)）

負(fù)整數(shù)（-1、-2、-3、-4）

2、零的作用

（1）表示數(shù)位。讀寫數(shù)時(shí)，某個(gè)單位上一個(gè)單位也沒有，就用0表

不O

（2）占位作用。

（3）作為界限。如“零上溫度與零下溫度的界限”。

3、計(jì)數(shù)單位：一(個(gè))、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億??

都是計(jì)數(shù)單位。每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法

叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

4、數(shù)位：計(jì)數(shù)單位依據(jù)肯定的依次排列起來，它們所占的位置叫做

數(shù)位。

5、數(shù)的整除：整數(shù)a除以整數(shù)b(bW0),除得的商是整數(shù)而沒

有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。

(1)假如數(shù)a能被數(shù)b(bW0)整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就

叫做a的約數(shù)(或a的因數(shù))。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。如：因?yàn)?/p>

35能被7整除，所以35是7的倍數(shù),7是35的約數(shù)。

(2)一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,最大的約

數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10,其中最小的約數(shù)是1,

最大的約數(shù)是10。

(3)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。如：

3的倍數(shù)有：3、6、9、12??其中最小的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

(4)個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、

480、304,都能被2整除。

(5)個(gè)位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都

能被5整除。

(6)一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除，

例如：12、108、204都能被3整除。

(7)一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

(8)能被3整除的數(shù)不肯定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)肯

定能被3整除。

(9)一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4(或25)整除，這個(gè)數(shù)就能被4(或

25)整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都

能被25整除。

(10)一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8(或125)整除，這個(gè)數(shù)就能被8

(或125)整除。

例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000

都能被125整除。

(11)能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。0

也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

(12)一個(gè)數(shù)，假如只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或

素?cái)?shù))。100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、H、13、17、19、23、29、

31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

(13)一個(gè)數(shù)，假如除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合

數(shù)。例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

(14)1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。

假如把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和lo

(15)每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是

這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3X5,3和5叫做15

的質(zhì)因數(shù)。

(16)把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例

如：把28分解質(zhì)因數(shù)。

(17)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一

個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、

12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18o其中，1、2、3、6是12和18

的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

(18)公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，

有下列幾種狀況：

①1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

②相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。

③兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

④當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

⑤兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，假如幾個(gè)數(shù)中隨

意兩個(gè)都互質(zhì)，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

⑥假如較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約

數(shù)。

⑦假如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是lo

(19)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，

叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，如：2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、

16、18??3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18??其中6、12、18??是2、

3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。

①假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍

數(shù)。

②假如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

③幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限

的。

(二)小數(shù)

1、小數(shù)的意義

(1)把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份?？得到的非常

之幾、百分之幾、千分之幾?？可以用小數(shù)表示。

(2)一位小數(shù)表示非常之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示

千分之幾？

(3)一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)

叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部

分。

(4)在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分

的最高分?jǐn)?shù)單位“非常之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也

是10o

2、小數(shù)的分類

(1)純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368

都是純小數(shù)。

(2)帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、

5.26都是帶小數(shù)。

(3)有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例

如：41.7、25.3,0.23都是有限小數(shù)。

(4)無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例

如:4.33??3.1415926??

(5)無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無

限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：口

(6)循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不

斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555??0.0333??

12.109109??

(7)一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循

環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99??的循環(huán)節(jié)是“9”，0.5454??的循

環(huán)節(jié)是“54”o

(8)純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位起先的，叫做純循環(huán)小數(shù)。

例如：3.111??0.5656??

(9)混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位起先的，叫做混循環(huán)

小數(shù)。例如：3.1222??0.03333??

(10)寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)

循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。假如循環(huán)節(jié)只

有一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。例如：3.777??簡寫作：3.7；

0.5302302??簡寫作：0.5302???。

(三)分?jǐn)?shù)

1、分?jǐn)?shù)的意義

(1)把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫

做分?jǐn)?shù)。

(2)在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，

表示把單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這

樣的多少份。

(3)把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)

單位。

2、分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于lo

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假

分?jǐn)?shù)大于或等于lo

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

3、約分和通分

把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來

分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

（四）百分?jǐn)?shù)：

表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也叫做百分率

或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用嗎”來表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。

二、方法

（一）數(shù)的讀法和寫法

1、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬級(jí)時(shí)，先

依據(jù)個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億”或“萬”字。每一級(jí)末尾的

0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。

2、整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單

位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫Oo

3、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)

讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4、小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)

點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。

5、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子

和分母依據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

6、分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最終寫分子，依據(jù)整數(shù)的寫

法來寫。

7、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù),

讀數(shù)時(shí)依據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

8、百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面

加上百分號(hào)“獷來表示。

（二）數(shù)的改寫

一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫便利，經(jīng)常把它改寫成用“萬”或“億”

作單位的數(shù)。有時(shí)還可以依據(jù)須要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近

似數(shù)。

1、精確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡便，可以把一個(gè)較大

的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的精確數(shù)。例如把

1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)是125430萬；改寫成以億做單位的

數(shù)12.543億。

2、近似數(shù)：依據(jù)實(shí)際須要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一

位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來表示。例如：1302490015省略億后面

的尾數(shù)是13億。

3、四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，

就把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍

去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬后面的尾數(shù)約是35萬。

省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。

4、大小比較

(1)比較整數(shù)大小：比較整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，假如位

數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，

就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。

(2)比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那個(gè)

數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，非常位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；非常位上的

數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大?？

(3)比較分?jǐn)?shù)的大小：分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子

相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再

比較兩個(gè)數(shù)的大小。

(三)數(shù)的互化

1、小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，

把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。

2、分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的

不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。

3、一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，假如分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因

數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；假如分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),

這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

4、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百

分號(hào)。

5、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把

小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。

6、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留

三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

7、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡分

數(shù)。

（四）數(shù)的整除

1、把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)

數(shù)去除，始終除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

2、求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除,

始終除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把全部的除數(shù)連乘求積，這

個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù)。

3、求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分

數(shù)）的公約數(shù)去除，始終除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把全部的除

數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

4、成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個(gè)自然

數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個(gè)合

數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。

（五）約分和通分

（1）約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；

通常要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。

（2）通分的方法：先求出原來的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把

各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

三、性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)

大或者同時(shí)縮小相同的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)

的大小不變。

（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變更1、小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一

位，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍;

小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大1000倍?？2、小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一

位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就縮小100倍;

小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來的數(shù)就縮小1000倍?？3、小數(shù)點(diǎn)向左移或者

向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0"補(bǔ)足位。

（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或

者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1、被除數(shù)小除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)

2、因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3、被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

四、運(yùn)算的意義

（一）整數(shù)四則運(yùn)算

1、整數(shù)加法：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。在加法里，

相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。加數(shù)+

加數(shù)=和一個(gè)加數(shù)二和一另一個(gè)加數(shù)

2、整數(shù)減法：已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的

運(yùn)算叫做減法。在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，

未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。加法和減

法互為逆運(yùn)算。

3、整數(shù)乘法：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算叫做乘法。在乘法里，

相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。在乘法

里，0和任何數(shù)相乘都得0；1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。一個(gè)因數(shù)又一

個(gè)因數(shù)=積；一個(gè)因數(shù)=積?另一個(gè)因數(shù)

4、整數(shù)除法：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)

算叫做除法。在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，

所求的因數(shù)叫做商。乘法和除法互為逆運(yùn)算。在除法里，0不能做除數(shù)。

（因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0,所以任何一個(gè)數(shù)除以0,均得不一個(gè)確定

的商。）被除數(shù)?除數(shù)=商除數(shù)=被除數(shù)+商被除數(shù)=商又除數(shù)

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1、小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合

并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

2、小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)

的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算.

3、小數(shù)乘法：小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)

相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的非常之幾、

百分之幾、千分之幾??是多少。

4、小數(shù)除法：小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知

兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

5、乘方：求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如3X3=32

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1、分?jǐn)?shù)加法：分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)

合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)減法：分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)

的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。

3、分?jǐn)?shù)乘法：分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相

同加數(shù)和的簡便運(yùn)算。

4、乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5、分?jǐn)?shù)除法：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知

兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

（四）運(yùn)算定律

1、加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即

a+b=b+a。

2、加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；

或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即

（a+b）+c=a+（b+c）。

3、乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a

Xb=bXao

4、乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；

或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變，即（aXb）

Xc=aX（bXc）o

5、乘法安排律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這

個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即（a+b）Xc=aXc+bXc。

6、減法的性質(zhì)：從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去全

部減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-（b+c）。

（五）運(yùn)算法則

1、整數(shù)加法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)

相加滿十，就向前一位進(jìn)一。

2、整數(shù)減法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不

夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3、整數(shù)乘法計(jì)算法則：先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因

數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪

一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。

4、整數(shù)除法計(jì)算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看

被除數(shù)的前幾位；假如不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商

就寫在哪一位的上面。假如哪一位上不夠商1,要補(bǔ)“0”占位。每次除

得的余數(shù)要小于除數(shù)。

5、小數(shù)乘法法則：先依據(jù)整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共

有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；假如位數(shù)不夠，就

用用”補(bǔ)足。

6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：先依據(jù)整數(shù)除法的法則去除，

商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；假如除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù),

就在余數(shù)后面添“0”，再接著除。

7、除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，

除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)"0”）,然后依據(jù)除數(shù)

是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。

8、同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法：同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減,

分母不變。

9、異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法：先通分，然后依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加減法

的的法則進(jìn)行計(jì)算。

10、帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法：整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把

所得的數(shù)合并起來。

11、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的

積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的

積作分母。

12、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙

數(shù)的倒數(shù)。

（六）運(yùn)算依次

1、小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算依次和整數(shù)四則運(yùn)算依次相同。

2、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算依次和整數(shù)四則運(yùn)算依次相同。

3、沒有括號(hào)的混合運(yùn)算：同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算先算

乘、除法，后算加減法。

4、有括號(hào)的混合運(yùn)算：先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最終

算括號(hào)外面的。

5、第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。

6、其次級(jí)運(yùn)算：乘法和除法叫做其次級(jí)運(yùn)算。

五、應(yīng)用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1、簡潔應(yīng)用題

（1）簡潔應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)

用題，通常叫做簡潔應(yīng)用題。

（2）解題步驟：A、審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用

題的條件和問題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思索，弄明白題中每句話

的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。B、選擇算法和列式計(jì)

算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告知什么，要求什么著手，逐步

依據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，

進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。C、檢驗(yàn)：就是依據(jù)應(yīng)用題的條件和問

題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確，是否符合題意。假如發(fā)覺錯(cuò)

誤，立刻改正。

2復(fù)合應(yīng)用題

(1)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)

算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。

(2)含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。求比兩個(gè)數(shù)的和多(少)

幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。

(3)含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。已知兩數(shù)相差多少(或

倍數(shù)關(guān)系)與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和(或差)。已知兩數(shù)之和與其

中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)。

(4)解答連乘連除應(yīng)用題。

(5)解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。

(6)解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的

應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，

只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

(7)解答加法應(yīng)用題：a.求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)

是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。b.求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲

數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。

(8)解答減法應(yīng)用題：a.求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，

求剩下的部分。b.求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少,

求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。c.求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的

應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

(9)解答乘法應(yīng)用題：a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)

和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一

個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多少。

(10)解答除法應(yīng)用題：a.把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少

的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。b.

求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少，求可

以分成幾份。c.求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各

是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。d.已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)

數(shù)的應(yīng)用題。

(11)常見的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量；路程=速度X時(shí)間；工

作總量=工作時(shí)間X工效；總產(chǎn)量=單產(chǎn)量X數(shù)量

3、典型應(yīng)用題：具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)

用題，通常叫做典型應(yīng)用題。

（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。解題關(guān)鍵：在于確定

總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均

每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和小數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。數(shù)

量關(guān)系式：（部分平均數(shù)X權(quán)數(shù)）的總和+（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分,

求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)一小數(shù)）

+2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)

最大數(shù)與各數(shù)之差的和+總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)

最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和+總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時(shí)100千米的速度從甲地開往乙地，又以每

小時(shí)60千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。分析：求

汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為

“1”，則汽車行駛的總路程為“2”，從甲地到乙地的速度為100,

所用的時(shí)間為1/100,汽車從乙地到甲地速度為60千米，所用的時(shí)間是

1/60,汽車共行的時(shí)間為：1/100+1/60=2/75,汽車的平均速度為：2?

2/75=75（小時(shí)）。

（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量變更，另一種

量也隨之而變更，其變更的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。依

據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題和兩次歸

一問題。依據(jù)求出單一量之后，解題采納乘法還是除法，歸一問題可以分

為正歸一問題和反歸一問題。

一次歸一問題：用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單

歸一?！?/p>

兩次歸一問題：用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙

歸一”

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的

歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的

歸一問題。解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量

（單一量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)題目的要求算出結(jié)果。數(shù)量關(guān)系式：

單一量X份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）總數(shù)量+單一量=份數(shù)（反歸一）

例：一個(gè)織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計(jì)算，織布

6930米，須要多少天？分析：必需先求出平均每天織布多少米，就是單

一量。69304-（4774+31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的

單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或

單位數(shù)量）。特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變更，另一種量也跟

著變更，不過變更的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量X單位個(gè)數(shù)?另一個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位數(shù)

量

例：修一條水渠，原安排每天修800米，6天修完。實(shí)際4天

修完，每天修了多少米？分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L度，就必需先求

出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不同之處是

“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。

800X64-4=1200（米）

（4）和差問題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各

是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的

和），然后再求另一個(gè)數(shù)。

解題規(guī)律：（和+差）4-2=大數(shù)

大數(shù)一差二小數(shù)

（和一差）+2=小數(shù)

和一小數(shù)=大數(shù)

例：某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作須要臨時(shí)從乙班調(diào)

46人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少12人，求原來甲班和乙班各

有多少人？分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒有變更，現(xiàn)在把乙

數(shù)轉(zhuǎn)化成2個(gè)乙班，即94-12，由此得到現(xiàn)在的乙班是（94-12）

4-2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)當(dāng)為41+46=87（人），甲

班為94-87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各

是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾

倍，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。

依據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個(gè)數(shù)

（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：

和?倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)

例：汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，

運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車各有多少輛？分析：大貨車比小貨車的5倍還

多7輛，這7輛也在總數(shù)H5輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對(duì)應(yīng)，

總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。列式為：（115-7）+（5+1）=18（輛），

18X5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各

是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差彳（倍數(shù)-1）=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X倍數(shù)=另一

個(gè)數(shù)。

例：甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同

樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少

米？各減去多少米？分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲

繩所剩的長度是乙繩的3倍，實(shí)際比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長度

為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式：（63-29）+（3-1）=17（米）？乙繩剩下的長

度,17X3=51（米）？甲繩剩下的長度，29-17=12（米）？剪去的

長度。

（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、

速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清晰速度、時(shí)間、路程、方

向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再依據(jù)這類問題的

規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時(shí)同地相背而行：路程=速度和X時(shí)間。

同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和X時(shí)間

同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追剛好間:路程小速度

差。

同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差義時(shí)

間。

例：甲在乙的后面28千米，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行16千

米，乙每小時(shí)行9千米，甲幾小時(shí)追上乙？分析：甲每小時(shí)比乙多行

（16-9）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（16-9）千米，這是速度

差。已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個(gè)

（16-9）千米，也就是追擊所須要的時(shí)間。列式：284-（16-9）=4（小

時(shí)）

（8）流水問題：一般是探討船在“流水”中航行的問題。它是行程問

題中比較特別的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點(diǎn)主要是考慮水

速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流淌的速度。順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣?。逆水速度?/p>

船逆流航行的速度。

順?biāo)?船速+水速

逆速=船速一水速

解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度是船速與水速

的差，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。解題時(shí)要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）4-2

流水速度=（順流速度-逆流速度）4-2

路程=順流速度X順流航行所需時(shí)間

路程=逆流速度X逆流航行所需時(shí)間

例：一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)校啃r(shí)行28千米，到乙地

后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?小時(shí)，已知水速每小時(shí)4

千米。求甲乙兩地相距多少千米？分析：此題必需先知道順?biāo)乃俣群晚?/p>

水所須要的時(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間。已知順?biāo)俣群退魉俣龋?/p>

因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，

只知道順?biāo)饶嫠儆?小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募?/p>

地到乙地的所用的時(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為：284X

2=20（千米）；20X2=40（千米）；404-（4X2）=5（小

時(shí)）；28X5=140（千米）。

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過肯定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，

求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變更與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最終結(jié)果動(dòng)身，采納與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方

法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。依據(jù)原題的運(yùn)算依次列出數(shù)量關(guān)系，然后采納逆運(yùn)

算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。解答還原問題時(shí)留意視察運(yùn)算的依次。若須要

先算加減法，后算乘除法時(shí)別遺忘寫括號(hào)。

例：某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生168人，假如四班調(diào)3人到三班,

三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班調(diào)2人到四班，則四個(gè)

班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少人？分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)

為168?4,以四班為例，它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2人，所

以四班原有的人數(shù)減去3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為：

1684-4-2+3=43（人）一班原有人數(shù)列式為：1684-4-6+2=38（人）

二班原有人數(shù)列式為：1684-4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為：168

4-4-3+6=45（人）。

（10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是探討總路程、

株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。

解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要推斷地形，分清是否封閉圖形，從而

確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。

解題規(guī)律：

a.沿線段植樹棵樹=段數(shù)+1棵樹=總路程+株距+1株距=總路程彳

（棵樹-1）總路程=株距X（棵樹-1）

b.沿周長植樹棵樹=總路程+株距株距=總路程+棵樹總路程=株距

X棵樹

例：沿馬路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。

后來全部改裝，只埋了201根。求改裝后每相鄰兩根的間距。分析：本

題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為：50X（301-1）

士（201-1）=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點(diǎn)是

把肯定數(shù)量的物品，平均安排給肯定數(shù)量的人，在兩次安排中，一次有

余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足

的數(shù)量，求物品適量和參與安排人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。

解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點(diǎn)是先求兩次安排中安排者沒份所得物

品數(shù)量的差，再求兩次安排中各次共分物品的差（也稱總差額），用前

一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到安排者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額+每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種狀況：

a.第一次多余，其次次不足，總差額=多余+不足

b.第一次正好，其次次多余或不足，總差額=多余或不足

c.第一次多余，其次次也多余，總差額=大多余-小多余

d.第一次不足，其次次也不足，總差額=大不足-小不足

例：參與美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆，假如小

組10人，則多25支，假如小組有12人，色筆多余5支。求每人分

得幾支？共有多少支色鉛筆？分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)

小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2

個(gè)人多出20支，一個(gè)人分得10支。列式為：（25-5）4-（12-10）

=10（支）；10X12+5=125（支）。

（12）年齡問題：將差為肯定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種

應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。

解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點(diǎn)是隨著

時(shí)間的變更，年歲不斷增長，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)變更的，因

此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時(shí)，要擅長利用差不變的特

點(diǎn)。

例：父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍？

分析：父子的年齡差為48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的

4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的

年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。列式為：21

（48-21）4-（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”

各多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采納假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全

是“雞”或全是“兔”，然后依據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭

數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)一雞腿數(shù)X總頭數(shù)）+一只雞兔腿數(shù)的差=兔子

只數(shù)

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2X總頭數(shù)）4-2

假如假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：雞的只數(shù)=（4X總頭數(shù)-總

腿數(shù)）小2兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例：雞兔同籠共50個(gè)頭，170條腿。問雞兔各有多少只？兔子只

數(shù)：（170-2X50）+2=35（只）雞的只數(shù)：50-35=15（只）

（二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

1、分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題：分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的

結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中

含有分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：是指已知一個(gè)數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用

題。特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。解

題關(guān)鍵：精確推斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問題所對(duì)應(yīng)的分率，然后依據(jù)

一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式。

3、分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：

（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。特征：

已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾?！耙?/p>

個(gè)數(shù)”是比較量，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量。求分率或百分率，也就是求他

們的倍數(shù)關(guān)系。

解題關(guān)鍵：從問題入手，搞清把誰看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰看作了“單

位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）：甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除以

乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分

之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式：（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)

減乙數(shù)）/甲數(shù)。

（2）已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾），求這個(gè)數(shù)。特征：已

知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率，求單位“1”的量。

解題關(guān)鍵：精確推斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x依據(jù)分

數(shù)乘法的意義列方程，或者依據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必需找準(zhǔn)和分

率相對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際數(shù)量。

4、百分率：發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)又100%

小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量X100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)又100%

職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)義100%

5、工程問題：是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著親密

的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時(shí)間三個(gè)數(shù)量之間相互關(guān)系

的一種應(yīng)用題。

解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時(shí)間的倒

數(shù)，然后依據(jù)題目的詳細(xì)狀況，敏捷運(yùn)用公式。

數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率X工作時(shí)間

工作效率=工作總量+工作時(shí)間

工作時(shí)間=工作總量+工作效率