古典概型 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第二冊(cè)++++

5.3概率5.3.3古典概型新授課將紅心A、紅心2、紅心3、黑桃4、黑桃5這5張撲克牌牌點(diǎn)向下，置于桌上，現(xiàn)從中任意抽取一張，那么抽到的牌為紅心的概率有多大？1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)判斷古典概型；2.會(huì)用列舉法求古典概型的概率；3.應(yīng)用古典概型的概率計(jì)算公式求復(fù)雜事件的概率.知識(shí)點(diǎn)1：古典概型問(wèn)題1：觀察下列兩個(gè)實(shí)例，分別求

P(A)、P(B)是多少？（1）拋一枚均勻的硬幣，觀察落地后哪一面朝上，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可以記為Ω1={正面向上，反面向上}，記事件A：正面向上；（2）擲一個(gè)均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù).這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為Ω2={1，2，3，4，5，6}，記事件B：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4.（1）拋硬幣試驗(yàn)中，樣本空間含有2個(gè)樣本點(diǎn)，且因?yàn)橛矌攀蔷鶆虻?，所以可認(rèn)為每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；又因?yàn)槭录嗀

包含1個(gè)樣本點(diǎn)，因此：.（2）擲一個(gè)均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù).這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為Ω2={1，2，3，4，5，6}，記事件B：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4.（2）擲骰子試驗(yàn)中，樣本空間含有6個(gè)樣本點(diǎn)，且因?yàn)轺蛔邮蔷鶆虻?，所以可認(rèn)為每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；又因?yàn)槭录﨎

包含4個(gè)樣本點(diǎn)，因此：思考：由以上兩個(gè)實(shí)例，說(shuō)說(shuō)它們的樣本點(diǎn)及樣本空間有哪些共性？古典概型一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的(有限性)，且每個(gè)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件(基本事件)發(fā)生的可能性大小都相等(等可能性)，則稱(chēng)這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概率模型(古典概型).概念生成古典概型特征：（1）有限性：樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的；（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.判斷下列概率模型是否是古典概型，并說(shuō)明理由.（1）未來(lái)一個(gè)星期中有一天下雨的概率；（2）從區(qū)間[1，10]中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；（3）擲一次骰子，求事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)”的概率.練一練××√知識(shí)點(diǎn)2：古典概型的概率公式古典概型的概率公式：由古典概型的定義可知，假設(shè)樣本空間包含n

個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)基本事件按發(fā)生的概率為；

如果事件C

包含m

個(gè)樣本點(diǎn)，則概念講解典例剖析例1：某中學(xué)舉行高一廣播體操比賽，共10個(gè)隊(duì)參賽，為了確定出場(chǎng)順序，學(xué)校制作了10個(gè)出場(chǎng)序號(hào)簽供大家抽簽，高一（1）班先抽，求他們抽到的出場(chǎng)序號(hào)小于4的概率.解：考慮高一（1）班從10個(gè)出場(chǎng)序號(hào)簽中抽一個(gè)簽的試驗(yàn)，其樣本空間可記為Ω={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)；記A：抽到的出場(chǎng)序號(hào)小于4，則不難看出A={1，2，3}，A

包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，則例2：按先后順序拋兩枚均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，求至少出現(xiàn)一個(gè)正面的概率.解：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}共包含4個(gè)樣本點(diǎn)；記A：至少出現(xiàn)一個(gè)正面，則A={(正，正)，(正，反)，(反，正)}，A

包含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以典例剖析古典概型中事件概率的性質(zhì)：

假設(shè)古典概型對(duì)應(yīng)的樣本空間含n

個(gè)樣本點(diǎn)，事件A

包含m

個(gè)樣本點(diǎn)，則：歸納總結(jié)（2）因?yàn)橹邪臉颖军c(diǎn)個(gè)數(shù)為n–m，所以（1）由0≤m≤n與可知0≤P(A)≤1；，即P(A)+

=1；（3）若事件B中包含k

個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)，且A

與B

互斥，則A+B

包含m+k

個(gè)樣本點(diǎn)，從而典例剖析例3：從含有兩件正品a1，a2

和一件次品b

的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，求取出兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.解：依題意，取產(chǎn)品的過(guò)程用如圖樹(shù)形圖直觀表示：第一次?。篴1

a2

b第二次?。篴2

b

a1

ba1

a2樣本空間記為Ω={(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共6個(gè)樣本點(diǎn).第一次?。篴1

a2

b第二次?。篴2

b

a1

ba1

a2樣本空間記為Ω={(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共6個(gè)樣本點(diǎn).用A

表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”，則A={(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A

包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，所以思考：若將條件“每次取出后不放回”改為“每次取出后放回”，所求事件的概率會(huì)發(fā)生變化嗎？若“每次取出后放回”，此時(shí)的樹(shù)形圖發(fā)生變化，且樣本空間應(yīng)記為Ω={(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9個(gè)樣本點(diǎn)；事件A={(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A

包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，所以解：因?yàn)榧子?種不同的出拳方法，乙同樣也有3種不同的出拳方法，因此一次出拳共有3×3=9種不同的可能；因?yàn)槎际请S機(jī)出拳，所以可以看出古典概型，而且樣本空間中共包含9個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間可以用右圖直觀表示：典例剖析例4：甲、乙兩人玩錘子、剪刀、布的猜拳游戲，假設(shè)兩人都隨機(jī)出拳，求：（1）平局的概率；（2）甲贏的概率；（3）甲不輸?shù)母怕?錘子

△⊙※剪刀

※△⊙

布

⊙※△錘子剪刀布甲乙因?yàn)殄N子贏剪刀，剪刀贏布，布贏錘子，因此若記事件A

為“平局”，B

為“甲贏”，則：（1）事件A

包含3個(gè)樣本點(diǎn)(圖中的△)，因此

；（2）事件B

包含3個(gè)樣本點(diǎn)(圖中的※)，因此

；（3）因?yàn)锳+B

表示“甲不輸”，且A，B

互斥，因此所求概率為：（1）平局的概率；（2）甲贏的概率；（3）甲不輸?shù)母怕?錘子

△⊙※剪刀

※△⊙

布

⊙※△錘子剪刀布甲乙解：用數(shù)對(duì)(x，y)來(lái)表示拋擲結(jié)果，則樣本空間可記為：Ω={(i，j)|i，j=1，2，3，4，5，6}，且樣本空間可用右圖直觀表示；樣本空間共包含36個(gè)樣本點(diǎn).典例剖析例5：先后擲兩個(gè)均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，記事件A：點(diǎn)數(shù)之和為7，B：至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)3，求由圖可知：A={(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}，A包含6個(gè)樣本點(diǎn)

(圖中橙色框中的點(diǎn))；所以記事件A：點(diǎn)數(shù)之和為7，B：至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)3，求由對(duì)立事件概率的關(guān)系可知：圖中綠色框中的點(diǎn)可表示事件B，因此B中包含11個(gè)樣本點(diǎn)，即所以AB={(4，3)，(3，4)}，因此典例剖析例6：人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對(duì)應(yīng)的基因決定的.生物學(xué)上已經(jīng)證明：決定眼皮單雙的基因有兩種，一種是顯性基因(記為B)，另一種是隱性基因(記為b)；基因總是成對(duì)出現(xiàn)(如BB，bB，Bb，bb)，而成對(duì)的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，那么這個(gè)人就一定是雙眼皮(即“單眼皮”的充要條件是“成對(duì)的基因是bb”)；如果不發(fā)生基因突變的話，成對(duì)的基因中，一個(gè)來(lái)自父親，另一個(gè)來(lái)自母親，但父母親提供基因時(shí)都是隨機(jī)的.有一對(duì)夫妻，兩人成對(duì)的基因都是Bb，不考慮基因突變，求他們的孩子是單眼皮的概率.BBbbBb解：用連著寫(xiě)的兩個(gè)字母來(lái)表示孩子的成對(duì)的基因，其中第一個(gè)字母表示父親提供的基因，第二個(gè)字母表示母親提供的基因.由右圖的樹(shù)形圖可知，樣本空間中共4個(gè)樣本點(diǎn)，即：Ω={Bb，Bb，bB，bb}；孩子要是單眼皮，成對(duì)的基因只能是bb，因此所求的概率為有一對(duì)夫妻，兩人成對(duì)的基因都是B