【數(shù)學(xué)】弧度制課件-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.1.2 弧度制

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解弧度制,體會引入弧度制的必要性.(數(shù)學(xué)抽象)2.能進行弧度與角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(數(shù)學(xué)運算)3.掌握弧度制中扇形的弧長和面積公式,會應(yīng)用公式解決簡單的

問題.(數(shù)學(xué)運算)探究新知請思考并回答以下問題：1.在初中學(xué)過的角度制中,1度的角是如何規(guī)定的？2.在我們度量長度時,有時用“米”作單位,有時用“英尺”作單位,有不同的單位制度量質(zhì)量時,可以使用“千克”“磅”等不同的單位制,角的度量除了角度制之外,是否也有其他的的單位制呢？提示:有不同的單位制,即弧度制.3.

在弧度制中,1弧度的角是如何規(guī)定的？如何表示？提示:

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角,用符號rad表示.4.

360°的角是多少弧度的角？180°的角是多少弧度的角？1°的角呢？5.“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關(guān)系嗎？提示:

“1弧度的角”的大小是長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角,是一個定值,與所在圓的半徑大小無關(guān).1.角度制：(1)定義：用

作為單位來度量角的單位制.(2)1度的角：周角的.2.弧度制：(1)定義：以

作為單位來度量角的單位制.(2)1弧度的角：長度等于

的圓弧所對的圓心角.知

識

梳

理知識點一度量角的兩種單位制度弧度半徑長知識點二

弧度數(shù)的計算正負0一定大小的圓心角α所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無關(guān).知識點三

角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝_____180°＝

radπrad＝_____1°＝rad≈0.01745rad1rad＝≈57.30°角度數(shù)×

＝弧度數(shù)弧度數(shù)×＝角度數(shù)2ππ360°180°一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

02π60°180°學(xué)習(xí)目標(biāo)知識點四

弧度制下的弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝

.αR扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實際上，扇形可看作是一曲邊三角形，弧是底，半徑是底上的高.題

型

探

究題型一

弧度制的概念例1(多選題)下列說法中正確的是(

)A.弧度角與實數(shù)之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系C.根據(jù)弧度的定義,180°一定等于π弧度D.無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小有關(guān)答案

ABC解析

無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小無關(guān),而是與弧長和半徑的比值有關(guān),故D項錯誤.反思感悟?qū)《戎贫x的三點說明(1)不管是以弧度還是度為單位的角的大小，都是一個與半徑的大小無關(guān)的定值.(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫，如2rad可簡寫為2.(3)用弧度與度去度量同一個角時，除了零角以外，所得到的數(shù)量是不同的.跟蹤訓(xùn)練1

下列各說法中，錯誤的是A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.1弧度的角是長度等于半徑長的弧所對的圓心角C.根據(jù)弧度的定義，180°一定等于π弧度D.不論用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關(guān)√解析根據(jù)角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長短無關(guān)，而是與弧長與半徑的比值有關(guān)，所以D是錯誤的，其他A，B，C正確.題型二

角度制與弧度制的互化例2(1)①將112°30'化為弧度為

.

反思感悟角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵:抓住互化公式π

rad=180°是關(guān)鍵;(2)方法:度數(shù)×=弧度數(shù);弧度數(shù)×()°=度數(shù);(3)角度化弧度時,應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度.解α<β<γ<θ＝φ.題型三

用弧度制表示角或范圍例3.用弧度表示終邊落在圖中所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.分析先將邊界角由角度化為弧度,再根據(jù)陰影部分寫出角的集合.用弧度制表示角應(yīng)注意的問題(1)用弧度表示區(qū)域角,實質(zhì)是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應(yīng)用,必要時,需進行角度與弧度的換算.注意單位要統(tǒng)一,角度數(shù)與弧度數(shù)不能混用.(2)在表示角的集合時,可以先寫出一周范圍(如-π~π,0~2π)內(nèi)的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)終邊在同一直線上的角的集合可以合并為{x|x=α+kπ,k∈Z};終邊在相互垂直的兩直線上的角的集合可以合并為

,在進行區(qū)間的合并時,一定要做到準(zhǔn)確無誤.反思感悟跟蹤訓(xùn)練3

以弧度為單位,寫出終邊落在直線y=-x上的角的集合.題型四

扇形的弧長公式與面積公式的應(yīng)用例4(1)已知扇形的周長為8cm,圓心角為2,求該扇形的面積;(2)已知扇形的周長為10cm,面積等于4cm2,求其圓心角的弧度數(shù).分析(1)先求出扇形的半徑,再求面積;(2)設(shè)出圓心角,建立方程組求解.解

(1)設(shè)扇形的半徑為r

cm,弧長為l

cm,由圓心角為2

rad,依據(jù)弧長公式可得l=2r,從而扇形的周長為l+2r=4r=8,解得r=2,則l=4.故扇形的面積延伸探究

本例(1)中,將條件“圓心角為2”去掉,求扇形面積的最大值.解

設(shè)扇形的弧長為l

cm,半徑為r

cm,則有2r+l=8,于是l=8-2r,故當(dāng)半徑為2

cm,圓心角為2時,扇形面積最大值為4

cm2.反思感悟扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝lR＝αR2(其中l(wèi)是扇形的弧長，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<α<2π).(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.跟蹤訓(xùn)練4

已知扇形的半徑為10cm，圓心角為60°，求扇形的弧長和面積.小

試

牛

刀1.下列說法中，錯誤的是A.半圓所對的圓心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度√2.若α＝－2rad，則α的終邊在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.