2024屆華南師大附中數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題含解析

2024屆華南師大附中數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設是△所在平面內的一點，且，則△與△的面積之比是（）A． B． C． D．2．已知圓和兩點，，．若圓上存在點，使得，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．4．的值等于()A． B． C． D．5．某實驗單次成功的概率為0.8,記事件A為“在實驗條件相同的情況下,重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中至少成功2次”，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計事件4的概率:先由計算機給出0～9十個整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示單次實驗失敗,2，3，4，5,6,7，8,9表示單次實驗成功，以3個隨機數(shù)為組,代表3次實驗的結果經隨機模擬產生了20組隨機數(shù)，如下表:752029714985034437863694141469037623804601366959742761428261根據(jù)以上方法及數(shù)據(jù)，估計事件A的概率為()A．0.384 B．0.65 C．0.9 D．0.9046．在三棱柱中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點是側面的中心，則與平面所成角的大小是（）A． B． C． D．7．設集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如右圖所示的直觀圖，其表示的平面圖形是（A）正三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）直角三角形9．已知、為銳角，，，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)和在區(qū)間I上都是減函數(shù)，那么區(qū)間I可以是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知關于兩個隨機變量的一組數(shù)據(jù)如下表所示，且成線性相關，其回歸直線方程為，則當變量時，變量的預測值應該是_________．23456467101312．某公司調查了商品的廣告投入費用（萬元）與銷售利潤（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如下表：廣告費用（萬元）銷售利潤（萬元）由表中的數(shù)據(jù)得線性回歸方程為，則當時，銷售利潤的估值為___．（其中：）13．兩平行直線與之間的距離為_______．14．公比為的無窮等比數(shù)列滿足：，，則實數(shù)的取值范圍為________.15．若直線上存在點可作圓的兩條切線，切點為，且，則實數(shù)的取值范圍為．16．某縣現(xiàn)有高中數(shù)學教師500人，統(tǒng)計這500人的學歷情況，得到如下餅狀圖，該縣今年計劃招聘高中數(shù)學新教師，只招聘本科生和研究生，使得招聘后該縣高中數(shù)學?？茖W歷的教師比例下降到，且研究生的比例保持不變，則該縣今年計劃招聘的研究生人數(shù)為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點.（1）求的值；（2）已知為銳角，，求的值.18．如圖，函數(shù)，其中的圖象與y軸交于點．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（3）求使的x的集合．19．已知直線和.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值.20．在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上．（1）求圓的方程；（2）若圓與直線交于，兩點，且，求的值．21．設函數(shù).（1）已知圖象的相鄰兩條對稱軸的距離為，求正數(shù)的值；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求正數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】試題分析：依題意，得，設點到的距離為，所以與的面積之比是，故選B．考點：三角形的面積．2、D【解題分析】

因為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，故點是兩圓的交點，根據(jù)圓與圓的位置關系，即可求出．【題目詳解】根據(jù)可知，點的軌跡為以為直徑的圓，故點是圓和圓的交點，因此兩圓相切或相交，即，亦即．故的最小值為．故選：D．【題目點撥】本題主要考查圓與圓的位置關系的應用，意在考查學生的轉化能力，屬于基礎題．3、D【解題分析】

根據(jù)是第三象限的角得，利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得的值.【題目詳解】因為是第三象限的角，所以，因為，所以解得：，故選D.【題目點撥】本題考查余弦函數(shù)在第三象限的符號及同角三角函數(shù)的基本關系，即已知值，求的值.4、A【解題分析】=,選A.5、C【解題分析】

由隨機模擬實驗結合圖表計算即可得解．【題目詳解】由隨機模擬實驗可得：“在實驗條件相同的情況下，重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中最多成功1次”共141，601兩組隨機數(shù)，則“在實驗條件相同的情況下，重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中至少成功2次”共組隨機數(shù)，即事件的概率為，故選．【題目點撥】本題考查了隨機模擬實驗及識圖能力，屬于中檔題．6、C【解題分析】

如圖，取中點，則平面，故，因此與平面所成角即為，設，則，，即，故，故選C.7、A【解題分析】因為，，且，即，所以.故選A.8、D【解題分析】略9、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，然后利用兩角差的正切公式可求得的值.【題目詳解】因為，且為銳角，則，所以，因為，所以故選：B.【題目點撥】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解答的關鍵就是弄清角與角之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.10、B【解題分析】

分別根據(jù)和的單調減區(qū)間即可得出答案．【題目詳解】因為和的單調減區(qū)間分別是和，所以選擇B【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的單調性，意在考查學生對三角函數(shù)圖像與性質掌握情況.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、21.2【解題分析】

計算出，，可知回歸方程經過樣本中心點，從而求得，代入可得答案.【題目詳解】由表中數(shù)據(jù)知，，，線性回歸直線必過點，所以將，代入回歸直線方程中，得，所以當時，.【題目點撥】本題主要考查回歸方程的相關計算，難度很小.12、12.2【解題分析】

先求出，的平均數(shù)，再由題中所給公式計算出和，進而得出線性回歸方程，將代入，即可求出結果.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，，所以，所以，故回歸直線方程為，所以當時，【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程，需要考生掌握住最小二乘法求與，屬于基礎題型.13、【解題分析】

先根據(jù)兩直線平行求出，再根據(jù)平行直線間的距離公式即可求出．【題目詳解】因為直線的斜率為，所以直線的斜率存在，，即，解得或．當時，，即，故兩平行直線的距離為．當時，，，兩直線重合，不符合題意，應舍去．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查平行直線間的距離公式的應用，以及根據(jù)兩直線平行求參數(shù)，屬于基礎題．14、【解題分析】

依據(jù)等比數(shù)列的定義以及無窮等比數(shù)列求和公式，列出方程，即可求出的表達式，再利用求值域的方法求出其范圍?！绢}目詳解】由題意有，即，因為，所以?！绢}目點撥】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應用以及基本函數(shù)求值域的方法。15、【解題分析】試題分析：若，則，直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點，由圓心到直線的距離公式可得,解之可得.考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用.【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用，涉及到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及學生的推理與運算能力，本題的解答中直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點是解答的關鍵．16、50【解題分析】

先計算出招聘后高中數(shù)學教師總人數(shù)，然后利用比例保持不變，得到該縣今年計劃招聘的研究生人數(shù).【題目詳解】招聘后該縣高中數(shù)學?？茖W歷的教師比例下降到，則招聘后，該縣高中數(shù)學教師總人數(shù)為，招聘后研究生的比例保持不變，該縣今年計劃招聘的研究生人數(shù)為.【題目點撥】本題主要考查學生的閱讀理解能力和分析能力，從題目中提煉關鍵字眼“比例保持不變”是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三角函數(shù)的定義可求出，再根據(jù)二倍角的余弦公式即可求解.（2）由（1）可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可得，由，利用兩角差的正切公式即可求解.【題目詳解】解：（1）依題意得，，，所以.（2）由（1）得，，故.因為，，，所以，又因為，所以，.所以，所以.【題目點撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)關系、三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想等.18、（1）,（2），,（3）【解題分析】

（1）由函數(shù)圖像過定點，代入運算即可得解；（2）由三角函數(shù)的單調增區(qū)間的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【題目詳解】解：（1）因為函數(shù)圖象過點，所以，即．因為，所以．（2）由（1）得，所以當，，即，時，是增函數(shù)，故的單調遞增區(qū)間為，．（3）由，得，所以，，即，，所以時，x的集合為．【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)圖像的性質求解函數(shù)解析式，重點考查了三角函數(shù)單調區(qū)間的求法及解三角不等式，屬基礎題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）借助兩直線垂直的充要條件建立方程求解；（2）借助兩直線平行充要條件建立方程求解.【題目詳解】（1）若，則.（2）若，則或2.經檢驗，時，與重合，時，符合條件，∴.【點晴】解析幾何是運用代數(shù)的方法和知識解決幾何問題一門學科,是數(shù)形結合的典范,也是高中數(shù)學的重要內容和高考的熱點內容.解答本題時充分運用和借助題設條件中的垂直和平行條件,建立了含參數(shù)的直線的方程,然后再運用已知條件進行分析求解,從而將問題進行轉化和化歸,進而使問題獲解.如本題的第一問中求參數(shù)的值時，是直接運用垂直的充要條件建立方程,這是方程思想的運用；再如第二問中求參數(shù)的值時也是運用了兩直線平行的條件,但要注意的是這個條件不是兩直線平行的充要條件,所以一定代回進行檢驗,這也是學生經常會出現(xiàn)錯誤的地方.20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）因為曲線與坐標軸的交點都在圓上，所以要求圓的方程應求曲線與坐標軸的三個交點．曲線與軸的交點為，與軸的交點為．由與軸的交點為關于點(3,0)對稱，故可設圓的圓心為，由兩點間距離公式可得，解得．進而可求得圓的半徑為，然后可求圓的方程為．（2）設，，由可得，進而可得，減少變量個數(shù)．因為，，所以．要求值，故將直線與圓的方程聯(lián)立可得，消去，得方程．因為直線與圓有兩個交點，故判別式，由根與系數(shù)的關系可得，．代入，化簡可求得，滿足，故．詳解：（1）曲線與軸的交點為，與軸的交點為．故可設的圓心為，則有，解得．則圓的半徑為，所以圓的方程為．（2）設，，其坐標滿足方程組消去，得方程．由已知可得，判別式，且，．由于，可得．又，所以．由得，滿足，故．點睛：⑴求圓的方程一般有兩種方法：①待定系數(shù)法：如條件和圓心或半徑有關，可設圓的方程為標準方程，再代入條件可求方程；如已知圓過兩點或三點，可設圓的方程為一般方程，再根據(jù)條件求方程；②幾何方法：利用圓的性質，如圓的弦的垂直平分線經過圓心，最長的弦為直徑，圓心到切線的距離等于半徑．（2）直線與圓或圓錐曲線交于，兩點，若，應設，，可得．可將直線與圓或圓錐曲線的方程聯(lián)立消去，得關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得兩根和與兩根積，代入，化簡求值．21、（1）1；（2）.【解題分析】

（1）由二倍角公式可化函數(shù)為，結合正弦函數(shù)的性質可得；（2）先求得的