湖師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

湖師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知,則的值為()A． B． C． D．2．如圖，兩個正方形和所在平面互相垂直，設(shè)、分別是和的中點，那么：①；②平面；③；④、異面.其中不正確的序號是（）A．① B．② C．③ D．④3．已知兩個非零向量,滿足,則()A． B．C． D．4．將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移A．在區(qū)間[-πB．在區(qū)間[5πC．在區(qū)間[-πD．在區(qū)間[π5．已知等差數(shù)列的前n項和為，則A．140 B．70 C．154 D．776．在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π7．已知表示三條不同的直線，表示兩個不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A． B． C． D．9．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A．4 B．5 C． D．10．如圖,已知平行四邊形,,則()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共線，則xy的最大值為_____．12．在等差數(shù)列中，若，且它的前n項和有最大值，則當(dāng)取得最小正值時，n的值為_______.13．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為__________．14．的值為___________．15．已知，，且，則__________．16．正項等比數(shù)列中，，，則公比__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求18．在中，，.（1）求角B的大?。唬?）的面積，求的邊BC的長.19．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，為的中點，以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點，、為圖象與軸的交點，且為正三角形.（1）求的值及函數(shù)的值域；（2）若，且，求的值.21．已知是等差數(shù)列，滿足，，且數(shù)列的前n項和.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，數(shù)列的前n項和為，求證:.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)輔助角公式即可．【題目詳解】由輔助角公式得所以，選C.【題目點撥】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用：，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

取的中點，連接，，連接，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷①；由三角形的中位線定理，以及線面平行的判定定理可判斷②③④．【題目詳解】解：取的中點，連接，，連接，，正方形和所在平面互相垂直，、分別是和的中點，可得，，平面，可得，故①正確；由為的中位線，可得，且平面，可得平面，故②③正確，④錯誤．故選：D．【題目點撥】本題主要考查空間線線和線面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

根據(jù)向量的模的計算公式，由逐步轉(zhuǎn)化為，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得，即，，則，所以.故選：C.【題目點撥】本題主要考查平面向量垂直的等價條件以及向量的模，化簡變形是關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移y=sin2kπ-π單調(diào)遞減區(qū)間：2kπ+π2≤2x-π3【題目詳解】本題考查了正弦型函數(shù)圖象的平移變換以及求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.5、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的前n項和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【題目詳解】等差數(shù)列的前n項和為，.故選D.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前n項和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

根據(jù)正弦定理asinA=csinC將題干等式化為3sinAsin【題目詳解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【題目點撥】本題考查運用正弦定理求三角形內(nèi)角，屬于基礎(chǔ)題。7、D【解題分析】

利用線面平行、線面垂直的判定定理與性質(zhì)依次對選項進(jìn)行判斷，即可得到答案．【題目詳解】對于A，當(dāng)時，則與不平行，故A不正確；對于B，直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線有兩種關(guān)系：平行或異面，故B不正確；對于C，若，則與不垂直，故C不正確；對于D，若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行，故D正確；故答案選D【題目點撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系相關(guān)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．8、D【解題分析】

由扇形的弧長公式列方程得解.【題目詳解】設(shè)扇形的半徑是，由扇形的弧長公式得：，解得：故選D【題目點撥】本題主要考查了扇形的弧長公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

求出點A關(guān)于直線的對稱點，再求解該對稱點與B點的距離，即為所求.【題目詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因為點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為故可得，解得，即故“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：C.【題目點撥】本題考查點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)的求解，以及兩點之間的距離公式，屬基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的加法運算，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得.故選：A【題目點撥】本題主要考查平面向量的加法運算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．【題目詳解】向量，，若向量，共線，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取等號．故的最大值為，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，考查兩個向量坐標(biāo)形式的運算和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．12、.【解題分析】試題分析：因為等差數(shù)列前項和有最大值，所以公差為負(fù)，所以由得，所以，＝，所以當(dāng)時，取到最小正值．考點：1、等差數(shù)列性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前項和公式．【方法點睛】求等差數(shù)列前項和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，最后利用單調(diào)性確定最值；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得前項和的最值；（3）利用等差數(shù)列的前項和(為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．13、6【解題分析】

由題得，解不等式即得x+y的最小值.【題目詳解】由題得,所以，所以，所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值為6.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時取等.故答案為：6【題目點撥】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解題分析】

=15、【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求得；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，涉及到向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而分析可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則，又由數(shù)列是正項的等比數(shù)列，所以.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，以及注意數(shù)列是正項等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）根據(jù)已知條件求出，再寫出等差數(shù)列的通項得解；（2）利用分組求和求.【題目詳解】解：(1)設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，則．因為成等比數(shù)列，所以,化簡得又因為，所以，又因為，所以．所以．(2)根據(jù)(1)可知，【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列通項的求法，考查等差等比數(shù)列前n項和的計算和分組求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）由條件可，展開計算代入，即可得；（2）先利用正弦定理求出，再利用面積可得，解方程可得，再利用余弦定理可求得邊BC的長.【題目詳解】解：（1）在中，，則，即，整理得，又，，（2）由正弦定理得，又，即，所以，，解得，即.【題目點撥】本題考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了面積公式，是基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）先由線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）先取中點，連結(jié)，，證明平面平面，在平面內(nèi)作于點，則平面.以點為原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出兩平面的法向量，求向量夾角余弦值，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）因為四邊形是正方形，所以折起后，且，因為，所以是正三角形，所以.又因為正方形中，為的中點，所以，所以，所以，所以，又因為，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中點，連結(jié)，，則，，又，則平面.又平面，所以平面平面.在平面內(nèi)作于點，則平面.以點為原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.在中，，，.∴，，故，，，∴，.設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，令，得，，∴.因為平面的法向量為，則，又二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟記面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，屬于常考題型.20、（2），函數(shù)的值域為;（2）.【解題分析】

(1)將函數(shù)化簡整理，根據(jù)正三角形的高為，可求出，進(jìn)而可得其值域；(2)由得到，再由求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)由已知可得，又正三角形的高為，則，所以函數(shù)的最小正周期，即，得，函數(shù)的值域