廣東省韶關(guān)市新豐一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

廣東省韶關(guān)市新豐一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．已知正方體中，、分別為，的中點，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．5．某次運動會甲、乙兩名射擊運動員成績?nèi)缬覉D所示，甲、乙的平均數(shù)分別為為、，方差分別為，，則（）A． B．C． D．6．在△ABC中,,則△ABC為()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．如圖，在圓內(nèi)隨機撒一把豆子，統(tǒng)計落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目，若豆子總數(shù)為n，落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)為m，則圓周率π的估算值是（）A．nmB．2nmC．3n8．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）A．1 B． C． D．9．已知三條相交于一點的線段兩兩垂直且在同一平面內(nèi)，在平面外、平面于，則垂足是的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______.12．從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中任選兩人到一個單位實習(xí)，余下的兩人到另一單位實習(xí)，則甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的概率為________.13．化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.14．當時，不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍是______________.15．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，M為B1C1中點，連接A1B，D1M，則異面直線A1B和D1M所成角的余弦值為________________________．16．若數(shù)列是正項數(shù)列，且，則_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校為了了解學(xué)生每天平均課外閱讀的時間（單位：分鐘)，從本校隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時間不超過30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學(xué)生每天課外閱讀時間的中位數(shù)及平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表).18．如圖是我國2011年至2017年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖(年份代碼1-7分別對應(yīng)年份)（1）建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.001);（2）預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):,,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.19．已知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，其前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列，其前項和為，若成立，求的最小值.20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．已知直線l：(a-2)y=(3a-1)x-1（1）求證：不論實數(shù)a取何值，直線l總經(jīng)過一定點；（2）若直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求直線l的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

先化簡集合,再利用交集運算法則求.【題目詳解】,,,故選:D.【題目點撥】本題考查集合的運算,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

設(shè)，可得，求得，在中，運用余弦定理，解方程可得所求值．【題目詳解】設(shè)，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【題目點撥】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

連接,則，所以為所求的角．【題目詳解】連結(jié)，，因為、分別為，的中點，所以，則為所求的角，設(shè)正方體棱長為1，則，，，三角形AD1B為直角三角形，,選擇A【題目點撥】本題主要考查了異面直線所成的夾角;求異面直線的夾角，通常把其中一條直線平移到和另外一條直線相交即得異面直線所成的角．屬于中等題．4、C【解題分析】

依次分析選項的奇偶性和在區(qū)間上的單調(diào)性即可得到答案.【題目詳解】因為是奇函數(shù)，故A選項錯誤，因為是非奇非偶函數(shù)，故D選項錯誤，因為是偶函數(shù)，由函數(shù)圖像知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B選項錯誤，因為是偶函數(shù)，由函數(shù)圖像知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C選項正確.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，二次函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】試題分析：,;,,故選C.考點：莖葉圖.【易錯點晴】本題考查學(xué)生的是由莖葉圖中的數(shù)據(jù)求平均數(shù)和方差,屬于中檔題目.由莖葉圖觀察數(shù)據(jù),用莖表示成績的整數(shù)環(huán)數(shù),葉表示小數(shù)點后的數(shù)字,利用平均值公式及標準差公式求出兩個樣本的平均數(shù)和方差,一般平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的平均水平,平均數(shù)越大,則該名運動員的平均成績越高;方差式用來描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的指標,方差越小,說明數(shù)據(jù)波動越小,即該名運動員的成績越穩(wěn)定.6、C【解題分析】

直接利用正弦定理余弦定理化簡得到，即得解.【題目詳解】由已知得，由正、余弦定理得，即，即，故是直角三角形.故答案為：C【題目點撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理水平.7、B【解題分析】試題分析：設(shè)正方形的邊長為2.則圓的半徑為2，根據(jù)幾何概型的概率公式可以得到mn=4考點：幾何概型.【方法點睛】本題題主要考查“體積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與體積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題題的總體積（總空間)以及事件的體積(事件空間)；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準導(dǎo)致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤.8、D【解題分析】

畫出可行域，根據(jù)邊界點的坐標計算出平面區(qū)域的面積.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，故平面區(qū)域為三角形，且三角形面積為，故選D.【題目點撥】本小題主要考查線性規(guī)劃可行域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合線線垂直推證線面垂直，以及根據(jù)線面垂直推證線線垂直，即可求解?！绢}目詳解】連接BH，延長BH與AC相交于E，連接AH，延長AH交BC于D，作圖如下：因為，故平面PBC，又平面PBC，故；因為平面ABC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE與AD交于點H，故H點為的垂心.故選：D.【題目點撥】本題考查線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.10、A【解題分析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個半球體，半徑為1，按公式計算可得體積?！绢}目詳解】設(shè)半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A。【題目點撥】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用二倍角降冪公式和輔助角公式可得出，然后解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】，解不等式，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.【題目點撥】本題考查正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡，考查計算能力，屬于中等題.12、.【解題分析】

求得從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中任選兩人的總數(shù)和甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的方法數(shù)，由古典概型的概率計算公式可得所求值．【題目詳解】解：從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中任選兩人的方法數(shù)為種，甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的方法數(shù)為種，則甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的概率為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、1【解題分析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.14、k∈（﹣∞，1]【解題分析】

此題先把常數(shù)k分離出來，再構(gòu)造成再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，使其最小值大于等于k即可．【題目詳解】由題意知：∵當0≤x≤1時（1）當x＝0時，不等式恒成立k∈R（2）當0＜x≤1時，不等式可化為要使不等式恒成立，則k成立令f（x）x∈（0，1]即f'（x）再令g（x）g'（x）∵當0＜x≤1時，g'（x）＜0∴g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)∴g（x）＜g（0）＝0∴f'（x）＜0即函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)所以f（x）min＝f（1）＝1即k≤1綜上所述，由（1）（2）得k≤1故答案為：k∈（﹣∞，1]．【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題型．15、.【解題分析】

連接、，取的中點，連接，可知，且是以為腰的等腰三角形，然后利用銳角三角函數(shù)可求出的值作為所求的答案．【題目詳解】如下圖所示：連接、，取的中點，連接，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角為或其補角，易知，由勾股定理可得，，為的中點，則，在中，，因此，異面直線和所成角的余弦值為，故答案為．【題目點撥】本題考查異面直線所成角的余弦值的計算，求解異面直線所成的角一般利用平移直線法求解，遵循“一作、二證、三計算”，在計算時，一般利用銳角三角函數(shù)的定義或余弦定理求解，考查計算能力，屬于中等題．16、【解題分析】

有已知條件可得出，時，與題中的遞推關(guān)系式相減即可得出，且當時也成立?！绢}目詳解】數(shù)列是正項數(shù)列，且所以，即時兩式相減得，所以（）當時，適合上式，所以【題目點撥】本題考差有遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，屬于一般題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數(shù)估計值為32，平均數(shù)估計值為32.5.【解題分析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計該校學(xué)生每天課外閱讀時間的中位數(shù)及平均值．【題目詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設(shè)該校學(xué)生每天課外閱讀時間的中位數(shù)估計值為，則解得：.該校學(xué)生每天課外閱讀時間的平均數(shù)估計值為：.答：該校學(xué)生每天課外閱讀時間的中位數(shù)估計值為32，平均數(shù)估計值為32.5.【題目點撥】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18、（1）（2）億噸【解題分析】

（1）由題意計算平均數(shù)與回歸系數(shù),寫出回歸方程,即可求得答案;（2）計算2020年對應(yīng)的值以及的值,即可求得答案.【題目詳解】（1）由折線圖可得:關(guān)于的回歸方程:.（2）年對應(yīng)的值為當時,預(yù)測年我國生活垃圾無害化處理量為億噸.【題目點撥】本題主要考查了求數(shù)據(jù)的回歸直線方程和根據(jù)回歸直線方程進行預(yù)測,解題關(guān)鍵是掌握回歸直線的求法,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）10.【解題分析】

（1）先根據(jù)和項與通項關(guān)系得項之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項公式得數(shù)列的通項公式；（2）先根據(jù)裂項相消法求，再解不等式得，即得的最小值.【題目詳解】（1）由知：，兩式相減得:，即，又數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，∴，∴，又當時，，即，解得或(舍），符合，∴是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值為10.點睛：裂項相消法是指將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.20、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為首項和公差表示，解方程組可求得基本量的值，從而確定通項公式；（2）首先化簡數(shù)列的通項公式，結(jié)合特點采用分組求和法求解試題解析：（1）∵數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，.∴