二次函數(shù)的應(yīng)用

第十三講二次函數(shù)的應(yīng)用1.列二次函數(shù)解應(yīng)用題列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的,不同的是,學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后,表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式.對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟:(1)審清題意,弄清題中涉及哪些量,已知量有幾個(gè),已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么,找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系).(2)設(shè)出兩個(gè)變量,注意分清自變量和因變量,同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確.(3)列函數(shù)關(guān)系式,抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句,將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式,這就是二次函數(shù).(4)按題目要求,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題.(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際:即是否為所提問(wèn)題的答案.(6)寫(xiě)出答案.常見(jiàn)的問(wèn)題:求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問(wèn)題等.2.建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系;(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo);(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式;(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo),求出關(guān)系式;(5)利用關(guān)系式求解問(wèn)題.【自我診斷】(打“√”或“×”)1.把160元的電器連續(xù)兩次降價(jià)后的價(jià)格為y元,若平均每次降價(jià)的百分率是x,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=160(1-x)2.

()√2.趙州橋的橋拱是近似的拋物線形,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,其函數(shù)的關(guān)系式為y=-x2,當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時(shí),這時(shí)水面寬度AB為10m.

()×考點(diǎn)一拋物線型實(shí)際問(wèn)題【示范題1】(2017·德州中考)隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造,我們的家園越來(lái)越美麗.小明家附近廣場(chǎng)中央新修了個(gè)圓形噴水池,在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管,它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1米處達(dá)到最高,水柱落地處離池中心3米.(1)請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式.(2)求出水柱的最大高度是多少?【思路點(diǎn)撥】(1)以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn),原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為x軸,水管所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+h,代入(0,2)和(3,0)得出方程組,解方程組即可.(2)求出當(dāng)x=1時(shí),y=即可.【自主解答】(1)如圖,以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn),原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為x軸,水管所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).拋物線過(guò)點(diǎn)(0,2)和(3,0),代入拋物線解析式可得解得所以,拋物線解析式為y=-(x-1)2+(0≤x≤3).化為一般式為y=-x2+x+2(0≤x≤3).(2)由(1)知拋物線解析式為y=-(x-1)2+(0≤x≤3).當(dāng)x=1時(shí),y=.所以拋物線水柱的最大高度為米.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】拋物線型實(shí)際問(wèn)題解題的關(guān)鍵、技巧及注意問(wèn)題(1)解題的關(guān)鍵:進(jìn)行二次函數(shù)建模,依據(jù)題意,建立合適的平面直角坐標(biāo)系,并利用拋物線的性質(zhì)解決問(wèn)題.(2)解題技巧:所建立的坐標(biāo)系能使所設(shè)的解析式形式最簡(jiǎn).(3)注意問(wèn)題:①題意分析不透,不能建立符合題意的函數(shù)模型或所建立的函數(shù)模型不正確,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤;②忽視了自變量的取值范圍,造成錯(cuò)解;③由幾何圖形中的線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),忽視了線段所在的象限,造成符號(hào)錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】(2017·金華中考)甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分,如圖,甲在O點(diǎn)正上方1m的P處發(fā)出一球,羽毛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a(x-4)2+h.已知點(diǎn)O與球網(wǎng)的水平距離為5m,球網(wǎng)的高度為1.55m.(1)當(dāng)a=-時(shí),①求h的值;②通過(guò)計(jì)算判斷此球能否過(guò)網(wǎng).(2)若甲發(fā)球過(guò)網(wǎng)后,羽毛球飛行到點(diǎn)O的水平距離為7m,離地面的高度為m的Q處時(shí),乙扣球成功,求a的值.【解析】(1)①把(0,1),a=-代入y=a(x-4)2+h,得:-×16+h=1,解得h=;②把x=5代入y=-(x-4)2+,得y=-×(5-4)2+=1.625,∵1.625>1.55,∴此球能過(guò)網(wǎng).(2)把點(diǎn)(0,1),代入y=a(x-4)2+h,得解得∴a=-.考點(diǎn)二利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最優(yōu)問(wèn)題【示范題2】(2017·連云港中考)某藍(lán)莓種植生產(chǎn)基地產(chǎn)銷(xiāo)兩旺,采摘的藍(lán)莓部分加工銷(xiāo)售,部分直接銷(xiāo)售,且當(dāng)天都能銷(xiāo)售完,直接銷(xiāo)售是40元/斤,加工銷(xiāo)售是130元/斤(不計(jì)損耗).已知基地雇傭20名工人,每名工人只能參與采摘和加工中的一項(xiàng)工作,每人每天可以采摘70斤或加工35斤,設(shè)安排x名工人采摘藍(lán)莓,剩下的工人加工藍(lán)莓.(1)若基地一天的總銷(xiāo)售收入為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)試求如何分配工人,才能使一天的銷(xiāo)售收入最大?并求出最大值.【自主解答】(1)根據(jù)題意得:y=40[70x-35(20-x)]+130×35(20-x)=-350x+63000.(2)因?yàn)?0x≥35(20-x),解得x≥,又因?yàn)閤為正整數(shù),且x≤20.所以7≤x≤20,且x為正整數(shù).因?yàn)?350<0,所以y的值隨著x的值增大而減小,所以當(dāng)x=7時(shí),y取最大值,最大值為-350×7+63000=60550.答:安排7名工人進(jìn)行采摘,13名工人進(jìn)行加工,才能使一天的收入最大,最大收入為60550元.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題,其實(shí)質(zhì)就是利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求函數(shù)的最大值或最小值,如經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的最大利潤(rùn),還有幾何問(wèn)題中的最大面積、最大高度等,其關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”,即轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.【變式訓(xùn)練】(2017·鄂州中考)鄂州某個(gè)體商戶購(gòu)進(jìn)某種電子產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)是50元/個(gè),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)售價(jià)是80元/個(gè)時(shí),每周可賣(mài)出160個(gè).若銷(xiāo)售單價(jià)每個(gè)降低2元,則每周可多賣(mài)出20個(gè).設(shè)銷(xiāo)售價(jià)格每個(gè)降低x元(x為偶數(shù)),每周銷(xiāo)售量為y個(gè).(1)直接寫(xiě)出銷(xiāo)售量y(個(gè))與降價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)設(shè)商戶每周獲得的利潤(rùn)為w元,當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí),每周銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少元?(3)若商戶計(jì)劃下周利潤(rùn)不低于5200元的情況下,他至少要準(zhǔn)備多少元進(jìn)貨成本?【解析】(1)y=160+×20,即y=10x+160.(2)w=(30-x)(10x+160)=-10(x-7)2+5290.∵x為偶數(shù),∴當(dāng)x=6或8時(shí),w取最大值5280.當(dāng)x=6時(shí),銷(xiāo)售單價(jià)為80-6=74元/個(gè);當(dāng)x=8時(shí),銷(xiāo)售單價(jià)為80-8=72元/個(gè).∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為74元/個(gè)或72元/個(gè)時(shí),每周銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是5280元.(3)∵w=-10(x-7)2+5290,∴當(dāng)w=5200元時(shí),-10(x-7)2+5290=5200.解得x1=10,x2=4.∵銷(xiāo)售量y=10x+160隨x的增大而增大,∴當(dāng)x=4時(shí),進(jìn)貨成本最小.當(dāng)x=4時(shí),銷(xiāo)售量y=10x+160=200,此時(shí)進(jìn)貨成本為200×50=10000元.答:他至少要準(zhǔn)備10000元進(jìn)貨成本.考點(diǎn)三與函數(shù)有關(guān)的幾何綜合題

【考情分析】綜合運(yùn)用函數(shù)和幾何圖形解答問(wèn)題的層級(jí)為掌握,在各地中考題中均有體現(xiàn),是二次函數(shù)的一個(gè)重要考向,主要有拋物線與線段綜合、拋物線與三角形綜合、拋物線與四邊形綜合、拋物線與圓綜合等類(lèi)型,常以動(dòng)點(diǎn)、圖形變換等形式出現(xiàn),絕大多數(shù)以壓軸題的形式呈現(xiàn).【示范題3】(2017·岳陽(yáng)中考)如圖,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,0)，C(0,-2)，直線l:y=-x-交y軸于點(diǎn)E,且與拋物線交于A,D兩點(diǎn).P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,D重合).(1)求拋物線的解析式.(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線l下方時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM∥x軸交l于點(diǎn)M,PN∥y軸交l于點(diǎn)N.求PM+PN的最大值.(3)設(shè)F為直線l上的點(diǎn),以E,C,P,F為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形?若能,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.【自主解答】(1)將B(3,0)，C(0,-2)，代入y=x2+bx+c,得:解得:∴拋物線的解析式為:y=x2-x-2.(2)設(shè)則∴∵M(jìn),N在直線l:y=-x-上,PM∥x軸,PN∥y軸,∴∴PM+PN=PN≤,即PM+PN的最大值為.(3)能.設(shè)①當(dāng)EC為邊時(shí),有EC=PF,即解得:m=0,1,,其中m=0時(shí)不成立,舍去;②當(dāng)EC為對(duì)角線時(shí),PF中點(diǎn)即為EC中點(diǎn)P在拋物線上,所以,解得:m=0或-1,其中m=0時(shí)不成立,舍去;綜上所述:F點(diǎn)的坐標(biāo)為:命題角度2:拋物線與四邊形綜合【示范題4】(2017·泰安中考)如圖,是將拋物線y=-x2平移后得到的拋物線,其對(duì)稱(chēng)軸為x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),另一交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)若點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn),且BC⊥NC,求點(diǎn)N的坐標(biāo).(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q是一次函數(shù)y=x+的圖象上一點(diǎn),若四邊形OAPQ為平行四邊形,這樣的點(diǎn)P,Q是否存在?若存在,分別求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.【自主解答】(1)由題意,設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=-(x-1)2+k.把(-1,0)代入得0=-(-1-1)2+k,解得k=4,所以拋物線的表達(dá)式為y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)當(dāng)x=0時(shí),y=-(0-1)2+4=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3),∴OC=3.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0),∴OB=3,∴OC=OB,則△OBC是等腰直角三角形.∴∠OCB=45°,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥y軸,垂足為點(diǎn)H.∵∠NCB=90°,∴∠NCH=45°,∴NH=CH,∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH,設(shè)點(diǎn)N為(a,-a2+2a+3).∴a+3=-a2+2a+3,解得a=0(舍去)或a=1,∴N的坐標(biāo)是(1,4).(3)∵四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQ∥OA,設(shè)P(t,-t2+2t+3),則Q(t+1,-t2+2t+3).將點(diǎn)Q(t+1,-t2+2t+3)代入得-t2+2t+3=(t+1)+,整理,得2t2-t=0,解得t1=0,t2=.∴-t2+2t+3的值為3或∴點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)是(0,3),(1,3)或命題角度1:拋物線與圓綜合【示范題1】(2016·宿遷中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將二次函數(shù)y=x2-1的圖象M沿x軸翻折,把所得到的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后再向上平移8個(gè)單位長(zhǎng)度,得到二次函數(shù)圖象N.(1)求N的函數(shù)表達(dá)式.(2)設(shè)點(diǎn)P(m,n)是以點(diǎn)C(1,4)為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),二次函數(shù)的圖象M與x軸相交于兩點(diǎn)A,B,求PA2+PB2的最大值.(3)若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù),則該點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn).求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包括邊界)整點(diǎn)的個(gè)數(shù).【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)二次函數(shù)N的圖象是由二次函數(shù)M翻折、平移得到,所以a=-1,求出二次函數(shù)N的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.(2)由PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2=2·PO2+2可知OP最大時(shí),PA2+PB2最大,求出OP的最大值即可解決問(wèn)題.(3)畫(huà)出函數(shù)圖象即可解決問(wèn)題.【自主解答】(1)二次函數(shù)y=x2-1的圖象M沿x軸翻折得到函數(shù)的解析式為y=-x2+1,此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,1),將此圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后再向上平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到二次函數(shù)圖象N的頂點(diǎn)為(2,9),故N的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.(2)∵A(-1,0),B(1,0),∴PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2=2·PO2+2,∴當(dāng)PO最大時(shí)PA2+PB2最大.如圖,延長(zhǎng)OC與☉O交于點(diǎn)P,此時(shí)OP最大,∴OP的最大值=OC+PO=+1,∴PA2+PB2最大值=2(+1)2+2=38+4.(3)M與N所圍成封閉圖形如圖所示,

由圖象可知,M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包括邊界)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為25個(gè).命題角度2:拋物線與三角形綜合【示范題2】(2016·遵義中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(-8,3),B(-4,0),C(-4,3),∠ABC=α°.拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且對(duì)稱(chēng)軸為x=-,并與y軸交于點(diǎn)G.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo).(2)將Rt△ABC沿x軸向右平移m個(gè)單位,使B點(diǎn)移到點(diǎn)E,然后將三角形繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到△DEF.若點(diǎn)F恰好落在拋物線上.①求m的值.②連接CG交x軸于點(diǎn)H,連接FG,過(guò)B作BP∥FG,交CG于點(diǎn)P,求證:PH=GH.【思路點(diǎn)撥】(1)把點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得一方程,利用對(duì)稱(chēng)軸公式得另一方程,組成方程組求出解析式,并求出G點(diǎn)的坐標(biāo).(2)①作輔助線,構(gòu)建直角△DEF斜邊上的高FM,利用直角三角形的面積相等和勾股定理可表示F的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)F在拋物線上,列方程求出m的值.②F點(diǎn)和G點(diǎn)坐標(biāo)已知,可以求出直線FG的方程,那么FG和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(設(shè)為Q)可以知道,C點(diǎn)坐標(biāo)已知,CG的方程也可以求出,那么H點(diǎn)坐標(biāo)可以求出,可由三角形全等證得PH=CH.【自主解答】(1)根據(jù)題意得:解得:∴拋物線的解析式為:

點(diǎn)(2)①過(guò)F作FM⊥y軸,交DE于M,交y軸于N,由題意可知:AC=4,BC=3,則AB=5,FM=∵Rt△ABC沿x軸向右平移m個(gè)單位,使B點(diǎn)移到點(diǎn)E,∴E(-4+m,0),OE=MN=4-m,FN=-(4-m)=m-,在Rt△FME中,由勾股定理得:EM=∴∵F在拋物線上,∴5m2-8m-36=0,m1=-2(舍),m2=②易求得FG的解析式為:CG解析式為:∴=0,x=1,則Q(1,0),=0,x=-1.5,則H(-1.5,0),∴BH=4-1.5=2.5,HQ=1.5+1=2.5,∴BH=QH,∵BP∥FG,∴∠PBH=∠GQH,∠BPH=∠QGH,∴△BPH≌△QGH,∴PH=GH.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】解數(shù)學(xué)壓軸題一般可以分為三個(gè)步驟:認(rèn)真審題,理解題意、探究解題思路、正確解答.審題要全面審視題目的所有條件和答題要求,在整體上把握試題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu),以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計(jì).解數(shù)學(xué)壓軸題要善于總結(jié)數(shù)學(xué)壓軸題中所隱含的重要數(shù)學(xué)思想,如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想及方程的思想等.認(rèn)識(shí)條件和結(jié)論之間的關(guān)系,圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系,確定解題的思路和方法,當(dāng)思維受阻時(shí),要及時(shí)調(diào)整思路和方法,并重新審視題意,注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系,既要防止鉆牛角尖,又要防止輕易放棄.【變式訓(xùn)練】(2017·常德中考)如圖,已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸,且點(diǎn)(2,2),在拋物線上,點(diǎn)P是拋物線上不與頂點(diǎn)N重合的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A,PC⊥y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)PC交拋物線于點(diǎn)E,設(shè)M是O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)D是C點(diǎn)關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo).(2)求證:四邊形PMDA是平行四邊形.(3)求證:△DPE∽△PAM,并求出當(dāng)它們的相似比為時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+k,∵點(diǎn)(2,2),在拋物線上,∴解得∴該拋物線的解析式為:y=x2+1,頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,1).(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為∵PA⊥x軸于點(diǎn)A,PC⊥y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)M是點(diǎn)O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)D是C點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).∴A(x,0),CM(0,2),D;PA∥y軸;∴MD==PA,且MD∥PA,∴四邊形PMDA是平行四邊形.(3)由(2)得四邊形PMDA是平行四邊形,PC=|x|,CM=|x2+1-2|=|x2-1|;∵在Rt△PCM中,PM=∴四邊形PMDA是菱形,△PAM是等腰三角形,∴∠APM=∠ADM;∠M