小學(xué)奧數(shù)學(xué)習(xí)資料(完整講義)

第一講觀察法————————————————姚老師數(shù)學(xué)樂(lè)園廣安岳池姚文國(guó)在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，第一步是觀察。觀察是根底，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的首要步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開(kāi)發(fā)與培養(yǎng)學(xué)生智力的第一步。觀察法，是通過(guò)觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答出來(lái)的一種解題方法。觀察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀察中要?jiǎng)幽X，要想出道理、找出規(guī)律。*例1〔適于一年級(jí)程度〕此題是九年義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)第二冊(cè)，第11頁(yè)中的一道思考題。書(shū)中除圖1-1的圖形外沒(méi)有文字說(shuō)明。這道題旨在引導(dǎo)兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時(shí)兒童已經(jīng)學(xué)過(guò)20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識(shí)，能夠判斷此題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實(shí)質(zhì)上，這是一種幻方，或者說(shuō)是一種方陣。解：現(xiàn)在通過(guò)觀察、思考，看小方格中應(yīng)填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+□=18會(huì)想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應(yīng)填入2〔圖1-2〕。從豎右列7+2+□=18〔圖1-2〕會(huì)想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應(yīng)填入9〔圖1-3〕。從正方形對(duì)角線上的9+6+□=18〔圖1-3〕會(huì)想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應(yīng)填入3〔圖1-4〕。從正方形對(duì)角線上的7+6+□=18〔圖1-3〕會(huì)想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應(yīng)填入5〔圖1-4〕。從橫上行3+□+7=18〔圖1-4〕會(huì)想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應(yīng)填入8〔圖1-5〕。又從橫下行5+□+9=18〔圖1-4〕會(huì)想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應(yīng)填入4〔圖1-5〕。圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。例2看每一行的前三個(gè)數(shù)，想一想接下去應(yīng)該填什么數(shù)?！策m于二年級(jí)程度〕6、16、26、____、____、____、____。9、18、27、____、____、____、____。80、73、66、____、____、____、____。解：觀察6、16、26這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大10。觀察9、18、27這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大9。觀察80、73、66這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)小7。這樣可得到此題的答案是：6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。例3將1～9這九個(gè)數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號(hào)均成立。〔適于三年級(jí)程度〕解：仔細(xì)觀察圖中不等號(hào)及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個(gè)方框中的數(shù)小于周圍的四個(gè)數(shù)，看來(lái)在中心的方框中應(yīng)填入最小的數(shù)1。再看它周圍的方框和不等號(hào)，只有左下角的那個(gè)方框中的數(shù)大于相鄰的兩個(gè)方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個(gè)比一個(gè)大，而且方框中的數(shù)是按順時(shí)針?lè)较蚺帕性絹?lái)越小。所以，在左下角的那個(gè)方框中應(yīng)填9，在它右鄰的方框中應(yīng)填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。圖1-7是填完數(shù)字的圖形。例4從一個(gè)長(zhǎng)方形上剪去一個(gè)角后，它還剩下幾個(gè)角？〔適于三年級(jí)程度〕解：此題不少學(xué)生不加思考就答復(fù)：“一個(gè)長(zhǎng)方形有四個(gè)角，剪去一個(gè)角剩下三個(gè)角。〞我們認(rèn)真觀察一下，從一個(gè)長(zhǎng)方形的紙上剪去一個(gè)角，都怎么剪？都是什么情況？〔1〕從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)堑捻旤c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下三個(gè)角〔圖1-8〕。〔2〕從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下四個(gè)角〔圖1-9〕?！?〕從一個(gè)邊上任意一點(diǎn)向鄰邊上任意一點(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下五個(gè)角〔圖1-10〕。例5甲、乙兩個(gè)人面對(duì)面地坐著，兩個(gè)人中間放著一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位數(shù)的每個(gè)數(shù)字都相同，并且兩人中一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)比另一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)大一半，這個(gè)數(shù)是多少？〔適于三年級(jí)程度〕解：首先要確定這個(gè)三位數(shù)一定是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒(méi)法考慮了。甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說(shuō)，這個(gè)三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯?dāng)?shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個(gè)數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個(gè)三位數(shù)在正看、倒看時(shí)，表示的數(shù)值不同，顯然這個(gè)三位數(shù)不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。如果這個(gè)數(shù)是666，當(dāng)其中一個(gè)人看到的是666時(shí)，另一個(gè)人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個(gè)數(shù)是666，也可以是999。*例61966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少？〔適于三年級(jí)程度〕解：這道題可以有多種解法，把五個(gè)數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計(jì)算起來(lái)容易出錯(cuò)。如果仔細(xì)觀察這五個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)是1966，第二個(gè)數(shù)比它大10，第三個(gè)數(shù)比它大20，第四個(gè)數(shù)比它大30，第五個(gè)數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計(jì)算：1966+1976+1986+1996+2006=1966×5+10×〔1+2+3+4〕=9830+100=9930這五個(gè)數(shù)還有另一個(gè)特點(diǎn)：中間的數(shù)是1986，第一個(gè)數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20，最后一個(gè)數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20，1966和2006這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計(jì)算：1966+1976+1986+1996+2006=1986×5=9930例7你能從400÷25=〔400×4〕÷〔25×4〕=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出〔1〕600÷25〔2〕900÷25〔3〕1400÷25〔4〕1800÷25〔5〕7250÷25的得數(shù)嗎？〔適于四年級(jí)程度〕解：我們仔細(xì)觀察一下算式：400÷25=〔400×4〕÷〔25×4〕=400×4÷100=16不難看出，原來(lái)的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4，目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)〔零除外〕，商不變〞。進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個(gè)規(guī)律，可迅速算出以下除法的商?！?〕600÷25

〔2〕900÷25=〔600×4〕÷〔25×4〕

=〔900×4〕÷〔25×4〕=600×4÷100

=900×4÷100=24

=36〔3〕1400÷25

〔4〕1800÷25=〔1400×4〕÷〔25×4〕

=〔1800×4〕÷〔25×4〕=1400×4÷100

=1800×4÷100=56

=72〔5〕7250÷25=〔7250×4〕÷〔25×4〕=29000÷100=290*例8把1～1000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個(gè)長(zhǎng)方形框框出六個(gè)數(shù)，這六個(gè)數(shù)的和是87。如果用同樣的方法〔橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩個(gè)數(shù)〕框出的六個(gè)數(shù)的和是837，這六個(gè)數(shù)都是多少？〔適于五年級(jí)程度〕解：〔1〕觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1，第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大2，第四個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大7，第五個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大8，第六個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大9。假定不知道這幾個(gè)數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個(gè)數(shù)的和是87，要求出這幾個(gè)數(shù)，就要先求出六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)：〔87-1-2-7-8-9〕÷6＝60÷6=10求出第一個(gè)數(shù)是10，往下的各數(shù)也就不難求了。因?yàn)橛猛瑯拥姆椒虺龅牧鶄€(gè)數(shù)之和是837，這六個(gè)數(shù)之中后面的五個(gè)數(shù)也一定分別比第一個(gè)數(shù)大1、2、7、8、9，所以，這六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是：〔837-1-2-7-8-9〕÷6＝810÷6=135第二個(gè)數(shù)是：135+1=136第三個(gè)數(shù)是：135+2=137第四個(gè)數(shù)是：135+7=142第五個(gè)數(shù)是：135+8=143第六個(gè)數(shù)是：135+9=144答略?！?〕觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：①上、下兩數(shù)之差都是7；②方框中間堅(jiān)行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個(gè)數(shù)的中間數(shù)。11=〔10+11+12〕÷318=〔17+18+19〕÷3所以上橫行與下橫行兩個(gè)中間數(shù)的和是：87÷3＝29由此可得，和是837的六個(gè)數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個(gè)中間數(shù)的和是：837÷3＝279因?yàn)樯?、下兩個(gè)數(shù)之差是7，所以假定上面的數(shù)是x，那么下面的數(shù)是x+7。x+〔x+7〕=2792x+7=2792x=279-7=272x=272÷2=136x+7=136+7=143因?yàn)樯弦粰M行中間的數(shù)是136，所以，第一個(gè)數(shù)是：136-1=135第三個(gè)數(shù)是：135+2=137因?yàn)橄乱粰M行中間的數(shù)是143，所以，第四個(gè)數(shù)是：143-1=142第六個(gè)數(shù)是：142+2=144答略。*例9有一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有幾個(gè)頂點(diǎn)？〔適于五年級(jí)程度〕解：〔1〕鋸去一個(gè)頂點(diǎn)〔圖1-12〕，因?yàn)檎襟w原來(lái)有8個(gè)頂點(diǎn)，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后，增加了三個(gè)頂點(diǎn)，所以，8-1+3=10即鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有10個(gè)頂點(diǎn)。〔2〕如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，那么剩下的頂點(diǎn)是8-1+2=9〔個(gè)〕〔圖1-13〕。〔3〕如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，那么剩下的頂點(diǎn)是8-1+1=8〔個(gè)〕〔圖1-14〕?！?〕如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)，那么剩下的頂點(diǎn)是8-1=7〔個(gè)〕〔圖1-15〕。例10將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體〔圖1-16〕，求這個(gè)物體的外表積S?！策m于六年級(jí)程度〕解：我們知道，底面半徑為γ，高為h的圓柱體的外表積是2πγ2+2πγh。此題的物體由三個(gè)圓柱組成。如果分別求出三個(gè)圓柱的外表積，再把三個(gè)圓柱的外表積加在一起，然后減去重疊局部的面積，才能得到這個(gè)物體的外表積，這種計(jì)算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個(gè)物體的正上方向下俯視這個(gè)物體，會(huì)看到這個(gè)物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個(gè)圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個(gè)圓柱的底面積。所以，這個(gè)物體的外表積，就等于一個(gè)大圓柱的外表積加上中、小圓柱的側(cè)面積?！?π×1.52+2π×1.5×1〕+〔2π×1×1〕+〔2π×0.5×1〕=〔4.5π+3π〕+2π+π=7.5π+3π=10.5π=10.5×3.14=32.97〔平方米〕答略。*例11如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長(zhǎng)20厘米。求它的外表積和體積?！策m于六年級(jí)程度〕解：遇到這樣的題目，不但要注意計(jì)算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側(cè)面。圖1-18外表積中的一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)扇形就容易被漏掉，因而在解題時(shí)要仔細(xì)。求外表積的方法1：＝3.14×45×2+600+120×3.14=3.14×90+3.14×120+600=3.14×〔90+120〕+600=659.4+600=1259.4〔平方厘米〕求外表積的方法2：=3.14×210+600=659.4+600=1259.4〔平方厘米〕鑄件的體積：=3.14×225×4=3.14×900=2826〔立方厘米〕答略。第二講嘗試法解應(yīng)用題時(shí)，按照自己認(rèn)為可能的想法，通過(guò)嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法〞。一般來(lái)說(shuō)，在嘗試時(shí)可以提出假設(shè)、猜測(cè)，無(wú)論是假設(shè)或猜測(cè)，都要目的明確，盡可能恰當(dāng)、合理，都要知道在假設(shè)、猜測(cè)和嘗試過(guò)程中得到的結(jié)果是什么，從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。例1把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅(jiān)列三個(gè)數(shù)相加都等于14?！策m于一年級(jí)程度〕解：七八歲的兒童，觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習(xí)，一般都感到困難?？上葐l(fā)他們認(rèn)識(shí)解此題的關(guān)鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個(gè)數(shù)之和等于14來(lái)確定，剩下的兩個(gè)數(shù)自然應(yīng)填入左右兩格了。中間一格應(yīng)填什么數(shù)呢？先看一個(gè)日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁(yè)，我們一定要從合訂本大約一半的地方翻開(kāi)。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁(yè)的地方翻，……這樣反復(fù)試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁(yè)。這就是在用“嘗試法〞解決問(wèn)題。此題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個(gè)數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個(gè)數(shù)相加都得14〞的要求來(lái)逐個(gè)嘗試。如果中間的格中填3，那么豎列下面的一格應(yīng)填多少呢？因?yàn)?4-5-3=6，所以豎列下面的一格中應(yīng)填6〔圖2-2〕。下面就要把剩下的4、7，分別填入橫行左右的兩個(gè)格中〔圖2-3〕。把橫行格中的4、3、7三個(gè)數(shù)加起來(lái)，得14，符合題目要求。如果中間一格填4、或填6、7都不符合題目的要求。所以此題的答案是圖2-3或圖2-4。例2把1、2、3……11各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18?！步炭茣?shū)第四冊(cè)第57頁(yè)的思考題，適于二年級(jí)程度〕解：圖2-5中有11個(gè)格，正好每一格填寫(xiě)一個(gè)數(shù)。圖2-6中寫(xiě)有A、B、C的三個(gè)格中的三個(gè)數(shù)，既要參加橫向的運(yùn)算，又要參加縱向的運(yùn)算，就是說(shuō)這三個(gè)數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個(gè)數(shù)是解此題的關(guān)鍵。因?yàn)?～11之中中間的三個(gè)數(shù)是5、6、7，所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開(kāi)始嘗試〔圖2-7〕。以6為中心嘗試，看6上、下兩個(gè)格中應(yīng)填什么數(shù)。因?yàn)?8-6=12，所以6上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是12?？紤]6已是1～11之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應(yīng)是1～11之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個(gè)數(shù)相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1〔圖2-8〕。6+11+1=18看圖2-8。6上面的數(shù)是11，11左鄰的數(shù)是5，18-11-5=2，所以5左鄰的數(shù)是2〔圖2-9〕。再看圖2-8。6下面的數(shù)是1，1右鄰的數(shù)是7，18-1-7=10，所以7右鄰的數(shù)是10〔圖2-9〕?，F(xiàn)在1～11之中只剩下3、4、8、9這四個(gè)數(shù)，圖2-9中也只剩下四個(gè)空格。在5的上、下，在7的上、下都應(yīng)填什么數(shù)呢？因?yàn)?8-5=13，所以5上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是13，3、4、8、9這四個(gè)數(shù)中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應(yīng)填9與4〔圖2-10〕。看圖2-10。因?yàn)?左鄰的數(shù)是4，18-4-6=8，所以6右鄰的數(shù)是8。因?yàn)?8-7-8=3，并且1-11的數(shù)中，只剩下3沒(méi)有填上，所以在7下面的格中應(yīng)填上3。圖2-10是填完數(shù)字的圖形。*例3在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒(méi)有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來(lái)嗎？〔適于三年級(jí)程度〕解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤(pán)上，如果平衡，那么假的1只在C組里；假設(shè)不平衡，那么哪組較重，假的就在哪組里。②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤(pán)上。如果平衡，余下的1只是假的；假設(shè)不平衡，較重的那只是假的。*例4在下面的15個(gè)8之間的任何位置上，添上+、-、×、÷符號(hào)，使得下面的算式成立?！策m于三年級(jí)程度〕888888888888888=1986解：先找一個(gè)接近1986的數(shù)，如：8888÷8+888=1999。1999比1986大13。往下要用剩下的7個(gè)8經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算得出一個(gè)等于13的算式呢？88÷8=11，11與13接近，只差2。往下就要看用剩下的4個(gè)8經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算等于2。8÷8+8÷8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986例5三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個(gè)數(shù)?！策m于四年級(jí)程度〕解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)是2、3、4，那么：2×3×4=2424＜120，這三個(gè)數(shù)不是2、3、4；假設(shè)這三個(gè)數(shù)是3、4、5，那么：3×4×5＝6060＜120，這三個(gè)數(shù)不是3、4、5；假設(shè)這三個(gè)數(shù)是4、5、6，那么：4×5×6=1204、5、6的積正好是120，這三個(gè)數(shù)是4、5、6。例6在下面式子里的適當(dāng)位置上加上括號(hào)，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35。〔適于四年級(jí)程度〕〔1〕7×9+12÷3-2＝47〔2〕7×9+12÷3-2=75〔3〕7×9+12÷3-2=23〔4〕7×9+12÷3-2=35解：此題按原式的計(jì)算順序是先做第二級(jí)運(yùn)算，再做第一級(jí)運(yùn)算，即先做乘除法而后做加減法，結(jié)果是：7×9+12÷3-2=63+4-2=65“加上括號(hào)〞的目的在于改變?cè)瓉?lái)的計(jì)算順序。由于此題加中括號(hào)還是加小括號(hào)均未限制，因此解此題的關(guān)鍵在于加寫(xiě)括號(hào)的位置。可以從加寫(xiě)一個(gè)小括號(hào)想起，然后再考慮加寫(xiě)中括號(hào)。如：〔1〕7×7=49，再減2就是47。這里的第一個(gè)數(shù)7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號(hào)前的數(shù)，所以下面應(yīng)考慮能否把9+12÷3通過(guò)加括號(hào)后改成得7的算式。經(jīng)過(guò)加括號(hào)，〔9+12〕÷3=7，因此：7×[〔9+12〕÷3]-2=47因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，可以用這個(gè)數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以此題也可以寫(xiě)成：7×〔9+12〕÷3-2=47〔2〕7×11=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，要減去的2是等號(hào)前面的數(shù)。下面要看9+12÷3能不能改寫(xiě)成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12÷3不能改寫(xiě)成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7×9+12得75，這里的7、9、12就是原式中的前三個(gè)數(shù)，所以只要把3-2用小括號(hào)括起來(lái)，使7×9+12之和除以1，問(wèn)題就可解決。由此得到：〔7×9+12〕÷〔3-2〕=75因?yàn)椤?-2〕的差是1，所以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，可以先把兩個(gè)加數(shù)分別除以這個(gè)數(shù)，然后把兩個(gè)商相加〞這一運(yùn)算規(guī)那么，上面的算式又可以寫(xiě)成：7×9+12÷〔3-2〕=75在上面的這個(gè)算式中，本應(yīng)在7×9的后面寫(xiě)上“÷〔3-2〕〞，因?yàn)槿魏螖?shù)除以1等于這個(gè)數(shù)本身，為了適應(yīng)題目的要求，不在7×9的后寫(xiě)出“÷〔3-2〕〞。〔3〕25-2=23，這個(gè)算式中，只有2是原算式等號(hào)前的數(shù)，只要把7×9+12÷3改寫(xiě)成得25的算式，問(wèn)題就可解決。又因?yàn)?×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括號(hào)括起來(lái)，就得到題中所求了。〔7×9+12〕÷3-2=23〔4〕7×5=35，7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，原算式中的9+12÷3-2能否改寫(xiě)成得5的算式呢？因?yàn)?-2=5，要是9+12÷3能改寫(xiě)成得7的算式就好了。經(jīng)改寫(xiě)為〔9+12〕÷3=7，因此問(wèn)題得到解決。題中要求的算式是：7×[〔9+12〕÷3-2]=35*例7王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？〔適于四年級(jí)程度〕解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計(jì)算，一共剪的天數(shù)是：112÷14=8〔天〕因?yàn)橥趺髅刻旒?0只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來(lái)共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。那么：12×5+20×〔8-5〕=120〔只〕120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，那么：12×6+20×〔8-6〕=112〔只〕所以按李平剪6天計(jì)算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。*例8一名學(xué)生讀一本書(shū)，用一天讀80頁(yè)的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁(yè)的速度，需要4天讀完。現(xiàn)在要使每天讀的頁(yè)數(shù)跟能讀完這本書(shū)的天數(shù)相等，每天應(yīng)該讀多少頁(yè)？〔適于五年級(jí)程度〕解：解這道題的關(guān)鍵是要求出一本書(shū)的總頁(yè)數(shù)。因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本書(shū)的總頁(yè)數(shù)，又因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)與讀完此書(shū)的天數(shù)相等，所以知道了總頁(yè)數(shù)就可以解題了。根據(jù)“用一天讀80頁(yè)的速度，需要5天讀完〞，是否能夠認(rèn)為總頁(yè)數(shù)就是80×5=400〔頁(yè)〕呢？不能。因?yàn)?天不一定每天都讀80頁(yè)，所以只能理解為：每天讀80頁(yè)，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說(shuō)，這本書(shū)超過(guò)了80×4=320〔頁(yè)〕，最多不會(huì)超過(guò)：90×4=360〔頁(yè)〕根據(jù)以上分析，可知這本書(shū)的頁(yè)數(shù)在321～360頁(yè)之間。知道總頁(yè)數(shù)在這個(gè)范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321～360之間。因?yàn)?7×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之間，所以只有每天讀18頁(yè)才符合題意，18天看完，全書(shū)324頁(yè)。答：每天應(yīng)該讀18頁(yè)。*例9一個(gè)數(shù)是5個(gè)2，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？〔適于六年級(jí)程度〕解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：99、98、97、96……11、10以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2、3、5、7，并且在它的質(zhì)因數(shù)分解中2的個(gè)數(shù)不超過(guò)5，3的個(gè)數(shù)不超過(guò)3，5的個(gè)數(shù)不超過(guò)2，7的個(gè)數(shù)不超過(guò)1。經(jīng)嘗試，99不符合要求，因?yàn)樗匈|(zhì)因數(shù)11；98的分解式中有兩個(gè)7，也不符合要求；質(zhì)數(shù)97當(dāng)然更不會(huì)符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。答略。*例10從一個(gè)油罐里要稱出6千克油來(lái)，但現(xiàn)在只有兩個(gè)桶，一個(gè)能容4千克，另一個(gè)能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？〔適于六年級(jí)程度〕解：這道題單靠計(jì)算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問(wèn)題解決。大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設(shè)法倒出9千克油中的3千克，為到達(dá)這一目的，我們應(yīng)使小桶中正好有1千克油。怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？〔1〕把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。〔2〕把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，那么大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。〔3〕把小桶中的4千克油倒回油罐?！?〕把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，那么大桶里剩下1千克油。〔5〕把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時(shí)油罐外，只有大桶里有1千克油。〔6〕把大桶中的1千克油倒入小桶?！?〕往大桶倒?jié)M油?！?〕從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M?！?〕大桶里剩下6千克油。第三講列舉法解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來(lái)加以分析、解決，最終到達(dá)解決整個(gè)問(wèn)題的目的。這種分析、解決問(wèn)題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來(lái)，有時(shí)也要畫(huà)圖。例1一本書(shū)共100頁(yè)，在排頁(yè)碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？〔適于三年級(jí)程度〕解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個(gè)。10+10=20〔個(gè)〕答：在排頁(yè)碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。*例2從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過(guò)B市到C市有幾種走法？〔適于三年級(jí)程度〕解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來(lái)。第一種走法：A①B④C第二種走法：A①B⑤C第三種走法：A②B④C第四種走法：A②B⑤C第五種走法：A③B④C第六種走法：A③B⑤C答：從A市經(jīng)過(guò)B市到C市共有6種走法。*例39○13○7=10014○2○5=□把+、-、×、÷四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中〔每種運(yùn)算符號(hào)只能用一次〕，并在長(zhǎng)方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個(gè)等式都成立。這時(shí)長(zhǎng)方形中的數(shù)是幾？〔適于四年級(jí)程度〕解：把+、-、×、÷四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會(huì)特別麻煩。如果用些簡(jiǎn)單的推理，排除不可能的填法，就能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答。先看第一個(gè)式子：9○13○7=100如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上“÷〞號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)僅填“+〞、“-〞號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個(gè)圓圈內(nèi)不能同時(shí)填“÷〞號(hào)，也不能同時(shí)填“+〞、“-〞號(hào)。要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“×〞號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個(gè)圈中分別填入“+〞和“×〞號(hào)，就會(huì)湊出100了。9+13×7=100再看第二個(gè)式子：14○2○5=□上面已經(jīng)用過(guò)四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩個(gè)，只剩下“÷〞號(hào)和“-〞號(hào)了。如果在第一個(gè)圓圈內(nèi)填上“÷〞號(hào)，14÷2得到整數(shù)，所以：14÷2-5=2即長(zhǎng)方形中的數(shù)是2。*例4

印刷工人在排印一本書(shū)的頁(yè)碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書(shū)有多少頁(yè)？〔適于四年級(jí)程度〕解：〔1〕數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁(yè)碼，所以頁(yè)碼是一位數(shù)的頁(yè)有9頁(yè)，用數(shù)碼9個(gè)?！?〕頁(yè)碼是兩位數(shù)的從第10頁(yè)到第99頁(yè)。因?yàn)?9-9=90，所以，頁(yè)碼是兩位數(shù)的頁(yè)有90頁(yè)，用數(shù)碼：2×90=180〔個(gè)〕〔3〕還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701〔個(gè)〕〔4〕因?yàn)轫?yè)碼是三位數(shù)的頁(yè)，每頁(yè)用3個(gè)數(shù)碼，100頁(yè)到999頁(yè)，999-99=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商缺乏600，即商小于900。所以頁(yè)碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁(yè)。1701÷3=567〔頁(yè)〕〔5〕這本書(shū)的頁(yè)數(shù)：9+90+567=666〔頁(yè)〕答略。*例5用一根80厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長(zhǎng)方形面積最大？〔適于四年級(jí)程度〕解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來(lái)，然后加以比擬。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是80厘米，所以長(zhǎng)與寬的和是40厘米。列表3-1：表3-1表3-1中，長(zhǎng)、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長(zhǎng)方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。前三種圍法的長(zhǎng)方形面積分別是：35×5=175〔平方厘米〕30×10=300〔平方厘米〕25×15=375〔平方厘米〕答：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是25厘米，寬是15厘米時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大。例6如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)?！策m于五年級(jí)程度〕解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列，一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中13、23和31是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)，但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。綜上所說(shuō)，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31，共五個(gè)。*例7在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10噸糧食，2號(hào)糧站存有20噸糧食，3號(hào)糧站存有30噸糧食，4號(hào)糧站是空的，5號(hào)糧站存有40噸糧食。現(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸1千米的運(yùn)費(fèi)是0.5元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧站所用的運(yùn)費(fèi)最少〔圖3-3〕？〔適于五年級(jí)程度〕解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號(hào)和2號(hào)糧站。下面將運(yùn)到3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比擬?！?〕如果運(yùn)到3號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.5×10×〔10+10〕+0.5×20×10+0.5×40×〔10+10〕=100+100+400=600〔元〕〔2〕如果運(yùn)到4號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.5×10×〔10+10+10〕+0.5×20×〔10+10〕+0.5×30×10+0.5×40×10=150+200+150+200=700〔元〕〔3〕如果運(yùn)到5號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：0.5×10×〔10+10+10+10〕+0.5×20×〔10+10+10〕+0.5×30×〔10+10〕=200+300+300=800〔元〕800＞700＞600答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。*例8小明有10個(gè)1分硬幣，5個(gè)2分硬幣，2個(gè)5分硬幣。要拿出1角錢(qián)買(mǎi)1支鉛筆，問(wèn)可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來(lái)?！策m于五年級(jí)程度〕解：〔1〕只拿出一種硬幣的方法：①全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1〔角〕②全拿2分的：2+2+2+2+2=1〔角〕③全拿5分的：5+5=1〔角〕只拿出一種硬幣，有3種方法?！?〕只拿兩種硬幣的方法：①拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1〔角〕②拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1〔角〕③拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1〔角〕④拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1〔角〕⑤拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1〔角〕只拿出兩種硬幣，有5種方法。〔3〕拿三種硬幣的方法：①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1〔角〕②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1〔角〕拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10〔種〕答：共有10種拿法。*例9甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1盤(pán)。問(wèn)小強(qiáng)賽了幾盤(pán)？〔適于五年級(jí)程度〕解：作表3-2。表3-2甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤(pán)，在甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)相交的那些格里都打上√；乙賽的盤(pán)數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤(pán)，又與丙和小強(qiáng)各賽一盤(pán)，在乙與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上√；丙賽了兩盤(pán)，就是丙與甲、乙各賽一盤(pán)，打上√；丁與甲賽的那一盤(pán)也打上√。丁未與乙、丙、小強(qiáng)賽過(guò)，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫(huà)上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤(pán)，未與丙、丁賽，共賽2盤(pán)。答：小強(qiáng)賽了2盤(pán)。*例10商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買(mǎi)9千克餅干，為了便于攜帶要求不開(kāi)箱。營(yíng)業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？〔適于五年級(jí)程度〕解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開(kāi)箱有7種發(fā)貨方式。*例11運(yùn)輸隊(duì)有30輛汽車，按1～30的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開(kāi)走的全部是單號(hào)車，以后幾次都由余下的第一輛車開(kāi)始隔一輛開(kāi)走一輛。到第幾次時(shí)汽車全部開(kāi)走？最后開(kāi)走的是第幾號(hào)車？〔適于五年級(jí)程度〕解：按題意畫(huà)出表3-4列舉各次哪些車開(kāi)走。表3-4從表3-4中看得出，第三次開(kāi)走后剩下的是第8號(hào)、16號(hào)、24號(hào)車。按題意，第四次8號(hào)、24號(hào)車開(kāi)走。到第五次時(shí)汽車全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16號(hào)車。答：到第五次時(shí)汽車全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16號(hào)車。*例12在甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放大米，甲倉(cāng)存90袋，乙倉(cāng)存50袋，甲倉(cāng)每次運(yùn)出12袋，乙倉(cāng)每次運(yùn)出4袋。運(yùn)出幾次后，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等？〔適于五年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來(lái)甲乙兩倉(cāng)庫(kù)所存大米相差40袋；第一次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差78-46=32〔袋〕；第二次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差66-42=24〔袋〕；第三次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差54-38=16〔袋〕；第四次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差42-34=8〔袋〕；第五次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8……從這里可以看出，每運(yùn)走一次，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉(cāng)庫(kù)原存大米袋數(shù)的差，除以每次運(yùn)出的袋數(shù)差就得出運(yùn)幾次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等?！?0-50〕÷〔12-4〕=5〔次〕答：運(yùn)出5次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。*例13有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問(wèn)原來(lái)各組有多少個(gè)小朋友？〔適于五年級(jí)程度〕解：三個(gè)小組共72人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是72÷3=24〔人〕。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時(shí)，第一組應(yīng)是24÷2=12〔人〕，第三組應(yīng)是〔24+12〕=36〔人〕，第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應(yīng)為36÷2=18〔人〕，第二組應(yīng)為〔24+18〕=42〔人〕，第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應(yīng)為42÷2=21〔人〕，第一組人數(shù)應(yīng)為12+21=33〔人〕，第三組應(yīng)為18人。這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。表3-6答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、18人第四講綜合法從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，先選擇兩個(gè)數(shù)量，并通過(guò)這兩個(gè)數(shù)量解出一個(gè)問(wèn)題，然后將這個(gè)解出的問(wèn)題作為一個(gè)新的條件，與其它條件配合，再解出一個(gè)問(wèn)題……一直到解出應(yīng)用題所求解的未知數(shù)量。運(yùn)用綜合法解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)明確通過(guò)兩個(gè)條件可以解決什么問(wèn)題，然后才能從逐步推到未知，使問(wèn)題得到解決。這種思考方法適用于條件比擬少，數(shù)量關(guān)系比擬簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。例1甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長(zhǎng)300米的水渠，4天完成任務(wù)。甲隊(duì)每天挖40米，乙隊(duì)每天挖多少米？〔適于三年級(jí)程度〕解：根據(jù)“甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長(zhǎng)300米的水渠〞和“4天完成任務(wù)〞這兩個(gè)條件，可以求出甲乙兩隊(duì)每天共挖水渠多少米〔圖4-1〕。300÷4=75〔米〕根據(jù)“甲、乙兩隊(duì)每天共挖水渠75米〞和“甲隊(duì)每天挖40米〞這兩個(gè)條件，可以求出乙隊(duì)每天挖多少米〔圖4-1〕。75-40=35〔米〕綜合算式：300÷4-40=75-40=35〔米〕答：乙隊(duì)每天挖35米。例2兩個(gè)工人排一本39500字的書(shū)稿。甲每小時(shí)排3500字，乙每小時(shí)排3000字，兩人合排5小時(shí)后，還有多少字沒(méi)有排？〔適于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)甲每小時(shí)排3500字，乙每小時(shí)排3000字，可求出兩人每小時(shí)排多少字〔圖4-2〕。3500+3000=6500〔字〕根據(jù)兩個(gè)人每小時(shí)排6500字，兩人合排5小時(shí)，可求出兩人5小時(shí)已排多少字〔圖4-2〕。6500×5=32500〔字〕根據(jù)書(shū)稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒(méi)有排〔圖4-2〕。39500-32500=7000〔字〕綜合算式：39500-〔3500+3000〕×5=39500-6500×5=39500-32500=7000〔字〕答略。例3客車、貨車同時(shí)由甲、乙兩地出發(fā)，相向而行?？蛙嚸啃r(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行40千米，5小時(shí)后客車和貨車相遇。求甲、乙兩地之間的路程?！策m于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)“客車每小時(shí)行60千米〞和“貨車每小時(shí)行40千米〞這兩個(gè)條件，可求出兩車一小時(shí)共行多少千米〔圖4-3〕。60+40=100〔千米〕根據(jù)“兩車一小時(shí)共行100千米〞和兩車5小時(shí)后相遇，便可求出甲、乙兩地間的路程是多少千米〔圖4-3〕。100×5=500〔千米〕綜合算式：〔60+40〕×5=100×5=500〔千米〕答：甲、乙兩地間的路程是500千米。例4一個(gè)服裝廠方案做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，問(wèn)平均每天要做多少套？〔適于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)“已經(jīng)做了5天，平均每天做75套〞這兩個(gè)條件可求出已做了多少套〔圖4-4〕。75×5=375〔套〕根據(jù)“方案做660套〞和“已經(jīng)做了375套〞這兩個(gè)條件，可以求出還剩下多少套〔圖4-4〕。660-375=285〔套〕再根據(jù)“剩下285套〞和“剩下的要3天做完〞，便可求出平均每天要做多少套〔圖4-4〕。285÷3=95〔套〕綜合算式：〔660-75×5〕÷3=285÷3=95〔套〕答略。例5某裝配車間，甲班有20人，平均每人每天可做72個(gè)零件；乙班有24人，平均每人每天可做68個(gè)零件。如果裝一臺(tái)機(jī)器需要12個(gè)零件，那么甲、乙兩班每天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器？〔適于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)“甲班有20人，平均每人每天可做72個(gè)零件〞這兩個(gè)條件可求出甲班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件〔圖4-5〕。72×20=1440〔個(gè)〕根據(jù)“乙班有24人，平均每天每人可做68個(gè)零件〞這兩個(gè)條件可求出乙班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件〔圖4-5〕。68×24=1632〔個(gè)〕根據(jù)甲、乙兩個(gè)班每天分別生產(chǎn)1440個(gè)、1632個(gè)零件，可以求出甲、乙兩個(gè)班一天共生產(chǎn)多少個(gè)零件〔圖4-5〕。1440+1632=3072〔個(gè)〕再根據(jù)兩個(gè)班一天共做零件3072個(gè)和裝一臺(tái)機(jī)器需要12個(gè)零件這兩條件，可求出兩個(gè)班一天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器。3072÷12=256〔臺(tái)〕綜合算式：〔72×20+68×24〕÷12=〔1440+1632〕÷12=3072÷12=256〔臺(tái)〕答略。例6一個(gè)服裝廠方案加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務(wù)？〔適于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)每天加工100套，加工20天，可求出已經(jīng)加工多少套〔圖4-6〕。100×20=2000〔套〕根據(jù)方案加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套〔圖4-6〕。2480-2000=480〔套〕根據(jù)原來(lái)每天加工100套，現(xiàn)在每天多加工20套，可求出現(xiàn)在每天加工多少套〔圖4-6〕。100+20=120〔套〕根據(jù)還要加工480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天〔圖4-6〕。48O÷120=4〔天〕綜合算式：〔2480-100×20〕÷〔100+20〕=480÷120=4〔天〕答略。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，一定要畫(huà)思路圖，當(dāng)對(duì)綜合法的解題方法已經(jīng)很熟悉時(shí)，就可以不再畫(huà)思路圖，而直接解容許用題了。解：此題先后出現(xiàn)了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“第一桶的重量〞和“第二桶的重量〞。=49.5〔千克〕答略。解：此題先后出現(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“甲塊地產(chǎn)高粱的重量〞和“乙塊地產(chǎn)高粱的重量〞。將題中條件的順序變更一下：丙塊地產(chǎn)高粱450千克，丙塊地比乙條件，可求出乙塊地產(chǎn)高粱是：〔這里乙塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1〕〔這里甲塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1〕綜合算式：=546〔千克〕答略。第五講分析法從求解的問(wèn)題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個(gè)條件，依次推導(dǎo)，一直到問(wèn)題得到解決的解題方法叫分析法。用分析法解應(yīng)用題時(shí)，如果解題所需要的兩個(gè)條件，〔或其中的一個(gè)條件〕是未知的，就要分別求解找出這兩個(gè)〔或一個(gè)〕條件，一直到所需要的條件都是的為止。分析法適于解答數(shù)量關(guān)系比擬復(fù)雜的應(yīng)用題。例1玩具廠方案每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問(wèn)平均每天超過(guò)方案多少件？〔適于三年級(jí)程度〕解：這道題是求平均每天超過(guò)方案多少件。要求平均每天超過(guò)方案多少件，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-1〕：①實(shí)際每天生產(chǎn)多少件；②方案每天生產(chǎn)多少件。方案每天生產(chǎn)200件是條件。實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，題中沒(méi)有直接告訴，需要求出來(lái)。要求實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-1〕：①一共生產(chǎn)了多少件；②已經(jīng)生產(chǎn)了多少天。這兩個(gè)條件都是的：①一共生產(chǎn)了1260件；②已經(jīng)生產(chǎn)了6天。分析到這里，問(wèn)題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：〔1〕實(shí)際每天生產(chǎn)多少件？1260÷6=210〔件〕〔2〕平均每天超過(guò)方案多少件？210-200=10〔件〕綜合算式：1260÷6-200=210-200=10〔件〕例2四月上旬，甲車間制造了257個(gè)機(jī)器零件，乙車間制造的機(jī)器零件是甲車間的2倍。四月上旬兩個(gè)車間共制造多少個(gè)機(jī)器零件？〔適于三年級(jí)程度〕解：要求兩個(gè)車間共制造多少個(gè)機(jī)器零件，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-2〕：①甲車間制造多少個(gè)零件；②乙車間制造多少個(gè)零件。甲車間制造257個(gè)零件，乙車間制造多少個(gè)零件未知。下面需要把“乙車間制造多少個(gè)零件〞作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。這兩個(gè)條件〔圖5-2〕是：①甲車間制造多少個(gè)零件；②乙車間制造的零件是甲車間的幾倍。這兩個(gè)條件都是的：①甲車間制造257個(gè)，乙車間制造的零件數(shù)是甲車間的2倍。分析到此，問(wèn)題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：〔1〕乙車間制造零件多少個(gè)？257×2=514〔個(gè)〕〔2〕兩個(gè)車間共制造零件多少個(gè)？257+514=771〔個(gè)〕綜合算式：257+257×2=257+514=771〔個(gè)〕答略。例3某車間要生產(chǎn)180個(gè)機(jī)器零件，已經(jīng)工作了3天，平均每天生產(chǎn)20個(gè)。剩下的如果每天生產(chǎn)30個(gè)，還需要幾天才能完成？〔適于四年級(jí)程度〕解：要求還需要幾天才能完成，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-3〕：①還剩下多少個(gè)零件；②每天生產(chǎn)多少個(gè)零件。在這兩個(gè)條件中，每天生產(chǎn)30個(gè)零件是條件，還剩多少個(gè)零件未知。先把“還剩多少個(gè)零件〞作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出還剩下多少個(gè)零件，必須具備的兩個(gè)條件〔圖5-3〕是：①要生產(chǎn)多少個(gè)零件；②已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)零件。要生產(chǎn)180個(gè)零件是條件，已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件未知。然后把“已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件〞作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出已生產(chǎn)多少個(gè)零件，必須知道的兩個(gè)條件〔圖5-3〕是：①每天生產(chǎn)多少個(gè)零件；②生產(chǎn)了幾天。這兩個(gè)條件題中都已經(jīng)給出：每天生產(chǎn)20個(gè)零件，生產(chǎn)了3天。分析到此，問(wèn)題就得到解決。

上面的思考過(guò)程，分步列式計(jì)算就是：〔1〕已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)零件？20×3=60〔個(gè)〕〔2〕剩下多少個(gè)零件？180-60=120〔個(gè)〕〔3〕還要幾天才能完成？120÷30=4〔天〕綜合算式：〔180-20×3〕÷30=〔180-60〕÷30=120÷30=4〔天〕答略。例4王明買(mǎi)了24本筆記本和6支鉛筆，共花了9.60元錢(qián)。每支鉛筆0.08元，每本筆記本多少錢(qián)？〔適于五年級(jí)程度〕解：要算出每本筆記本多少錢(qián)，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-4〕：①買(mǎi)筆記本用了多少錢(qián)；②買(mǎi)了多少本筆記本。從題中買(mǎi)了24本筆記本，買(mǎi)筆記本用的錢(qián)數(shù)未知。先把買(mǎi)筆記本用的錢(qián)數(shù)作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出買(mǎi)筆記本用多少錢(qián)，必須知道的兩個(gè)條件〔圖5-4〕是：①買(mǎi)筆記本、鉛筆共用多少錢(qián)；②買(mǎi)鉛筆用多少錢(qián)。買(mǎi)筆記本、鉛筆共用9.60元，買(mǎi)鉛筆用去多少錢(qián)未知。然后找出“買(mǎi)鉛筆用多少錢(qián)〞所需要的兩個(gè)條件。要算出買(mǎi)鉛筆用多少錢(qián)，必須知道的兩個(gè)條件〔圖5-4〕是：①買(mǎi)多少支鉛筆；②每支鉛筆多少錢(qián)。這兩個(gè)條件在題中都是的：買(mǎi)6支鉛筆，每支0.08元。分析到此，問(wèn)題就得到解決。此題分步列式計(jì)算就是：〔1〕買(mǎi)鉛筆用去多少元？0.08×6=0.48〔元〕〔2〕買(mǎi)筆記本用去多少元？9.60-0.48=9.12〔元〕〔3〕每本筆記本多少元？9.12÷24=0.38〔元〕列綜合算式計(jì)算：〔9.60-0.08×6〕÷24＝〔9.60-0.48〕÷24=9.12÷24=0.38〔元〕答：每本筆記本0.38元。例5倉(cāng)庫(kù)里共有化肥2520袋，兩輛車同時(shí)往外運(yùn)，共運(yùn)30次，每次甲車運(yùn)51袋。每次甲車比乙車多運(yùn)多少袋？〔適于五年級(jí)程度〕解：求每次甲車比乙車多運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-5〕：①甲車每次運(yùn)多少袋；②乙車每次運(yùn)多少袋。甲車每次運(yùn)51袋，乙車每次運(yùn)多少袋未知。先找出解答“乙車每次運(yùn)多少袋〞所需要的兩個(gè)條件。要算出乙車每次運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-5〕：①兩車一次共運(yùn)多少袋；②甲車一次運(yùn)多少袋。甲車一次運(yùn)51袋；兩車一次共運(yùn)多少袋是未知條件。然后把“兩車一次共運(yùn)多少袋〞作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出兩車一次共運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-5〕：①一共有多少袋化肥；②兩車共運(yùn)多少次。這兩個(gè)條件都是的：共有2520袋化肥，兩車共運(yùn)30次。分析到此，問(wèn)題就得到解決。此題分步列式計(jì)算就是：①兩車一次共運(yùn)多少袋？2520÷30=84〔袋〕②乙車每次運(yùn)多少袋？84-51=33〔袋〕③每次甲車比乙車多運(yùn)多少袋？51-33=18〔袋〕綜合算式：51-〔2520÷30-51〕=51-33=18〔袋〕答略。*例6把627.5千克梨裝在紙箱中，先裝7箱，每箱裝梨20千克，其余的梨每箱裝37.5千克。這些梨共裝多少箱？〔適于五年級(jí)程度〕解：要算出共裝多少箱，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-6〕：①先裝多少箱。②后裝多少箱。先裝7箱，后裝多少箱未知。先把“后裝多少箱〞作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出后裝多少箱，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-6〕：①后來(lái)一共要裝多少千克；②后來(lái)每箱裝多少千克。后來(lái)每箱裝37.5千克，后來(lái)一共裝多少千克未知。要把“后來(lái)一共要裝多少千克〞作為一個(gè)問(wèn)題提出，并找出答復(fù)這一問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要求后來(lái)一共要裝多少千克，必須具備兩個(gè)條件〔圖5-6〕：①梨的總重量；②先裝了多少千克。梨的總重量是627.5千克的；先裝了多少千克是未知的，要把它作為一個(gè)問(wèn)題提出來(lái)，并找出答復(fù)這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。這兩個(gè)條件〔圖5-6〕是：①先裝的每箱裝梨多少千克；②裝了多少箱。這兩個(gè)條件都是的：先裝的每箱裝梨20千克，裝了7箱。分析到此，問(wèn)題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：①先裝多少千克？20×7=140〔千克〕②后來(lái)共裝多少千克？627.5-140=487.5〔千克〕③后來(lái)裝了多少箱？487.5÷37.5=13〔箱〕④共裝多少箱？7+13=20〔箱〕綜合算式：7+〔627.5-20×7〕÷37.5=7+〔627.5-140〕÷37.5=7+487.5÷37.5=7+13=20〔箱〕答略。注意：開(kāi)始學(xué)習(xí)用分析法解應(yīng)用題時(shí)，一定要畫(huà)思路圖，當(dāng)對(duì)分析法的解題方法已經(jīng)很熟悉時(shí)，可不再畫(huà)思路圖，而直接分析解容許用題了。節(jié)約了15％。問(wèn)六月份比四月份少用煤多少噸？〔適于六年級(jí)程度〕解：此題中出現(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“四月份的用煤量〞和“五月份的用煤量〞。四月份的用煤量和六月份的用煤量都與五月份的用煤量有直接聯(lián)系。要算出六月份比四月份少用煤多少噸，必須知道六月份、四月份各用煤多少噸。要算出六月份用煤多少噸，必須知道兩個(gè)條件：①五月份用煤多少噸；②六月份比五月份節(jié)約多少。這兩個(gè)條件都是的。六月份用煤的噸數(shù)是：3200×〔1-15％〕=2720〔噸〕要算出四月份用煤多少噸，必須知道兩個(gè)條件：①五月份用煤多少噸；②五月份比四月份節(jié)約多少。這兩個(gè)條件都是的。四月份用煤的噸數(shù)是：知道了六月份、四月份用煤的噸數(shù)，就可以求出六月份比四月份少用煤多少噸。3600-2720=880〔噸〕綜合算式：=3600-2720=880〔噸〕答略。答略。第六講分析-綜合法綜合法和分析法是解應(yīng)用題時(shí)常用的兩種根本方法。在解比擬復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，由于單純用綜合法或分析法時(shí)，思維會(huì)出現(xiàn)障礙，所以要把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用。我們把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)解應(yīng)用題的方法叫做分析-綜合法。*例1運(yùn)輸隊(duì)要把600噸化肥運(yùn)到外地，方案每天運(yùn)22噸。運(yùn)了15天以后，剩下的化肥要在10天內(nèi)運(yùn)完。這樣每天要比原方案多運(yùn)多少噸？〔適于五年級(jí)程度〕解：解此題要運(yùn)用分析法和綜合法去思考。先用綜合法思考。根據(jù)“原方案每天運(yùn)22噸〞和“運(yùn)了15天〞這兩個(gè)條件，可以求出已經(jīng)運(yùn)出的噸數(shù)〔圖6-1〕。根據(jù)要“運(yùn)600噸〞和已經(jīng)運(yùn)出的噸數(shù)，可以求出剩下化肥的噸數(shù)〔圖6-1〕。接下去要用哪兩個(gè)數(shù)量求出什么數(shù)量呢？不好思考了。所以用綜合法分析到這兒，接著要用分析法思考了。要求“每天比原方案多運(yùn)多少噸〞，必須知道“后來(lái)每天運(yùn)多少噸〞和“原方案每天運(yùn)多少噸〞?！霸桨该刻爝\(yùn)22噸〞是條件，“后來(lái)每天運(yùn)多少噸〞不知道，這是此題的中間問(wèn)題〔圖6-2〕。要知道“后來(lái)每天運(yùn)多少噸〞，必須知道“剩下多少噸〞和“要在多少天內(nèi)運(yùn)完〞。這兩個(gè)條件中，第二個(gè)條件是的，“要在10天內(nèi)運(yùn)完〞，“剩下多少噸〞是未知的中間問(wèn)題。我們?cè)谇懊嬗镁C合法分析這道題時(shí)，已經(jīng)得到求剩下噸數(shù)的方法了。所以此題分析到這里就可以解答了。此題分步列式解答時(shí)，要從圖6-1的上面往下看，接著從圖6-2的下面往上看?！?〕已經(jīng)運(yùn)多少噸？22×15=330〔噸〕〔2〕剩下多少噸？600-330=270〔噸〕〔3〕后來(lái)每天運(yùn)多少噸？270÷10=27噸〕〔4〕每天比原方案多運(yùn)多少噸？27-22=5〔噸〕綜合算式：〔600-22×15〕÷10-22=〔600-330〕÷10-22=270÷10-22=27-22=5〔噸〕答略。*例2某鞋廠原方案30天做皮鞋13500雙，實(shí)際上每天比原方案多做50雙。問(wèn)這個(gè)鞋廠提前幾天完成原方案的任務(wù)？〔適于五年級(jí)程度〕解：解答此題一般要運(yùn)用分析法和綜合法去思考。先用分析法思考。要算出提前幾天完成方案，必須知道“原方案天數(shù)〞和“實(shí)際做鞋數(shù)〞〔圖6-3〕?！霸桨柑鞌?shù)〞是30天，已經(jīng)知道；“實(shí)際做鞋天數(shù)〞不知道，是中間問(wèn)題。要知道“實(shí)際做鞋天數(shù)〞必須知道“皮鞋總數(shù)〞和“實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)〞〔圖6-3〕。到此可以往下思考，要算出實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)，必須具備哪兩個(gè)條件？但有的人覺(jué)得這樣思考時(shí)不順當(dāng)，思路會(huì)“卡殼〞，這時(shí)就要換用綜合法進(jìn)行思考。由“原方案30天做皮鞋13500雙〞，可求出“原方案每天做的皮鞋數(shù)〞〔圖6-4〕。由“原方案每天做的皮鞋數(shù)〞和“實(shí)際每天比原方案多做50雙〞，可用加法算出“實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)〞〔圖6-4〕。分析到此，這道題的問(wèn)題就得到解決了。此題用分步列式的方法計(jì)算時(shí)，得從圖6-4的上面往下面推想，然后從圖6-3的后面〔下面〕往前推想?！?〕看圖6-4的思路圖。通過(guò)把原方案做的13500雙除以方案做的30天，可以得到原方案每天做多少雙皮鞋。13500÷30=450〔雙〕〔2〕在方案每天做的450雙皮鞋上，加上實(shí)際每天多做的50雙，得到實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)。450+50=500〔雙〕〔3〕接著看圖6-3的思路圖。從思路圖的下面往上推想，皮鞋總數(shù)除以實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)500雙，得到實(shí)際制做的天數(shù)。13500÷500=27〔天〕〔4〕接著往上看，從原方案做的30天，減去實(shí)際做的天數(shù)27天，就得到提前完成方案的天數(shù)。30-27=3〔天〕把上面分步計(jì)算的算式綜合為一個(gè)算式是：30-13500÷〔13500÷30+50〕=30-13500÷500=30-27=3〔天〕答略。*例3甲、乙兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)鑿一條2160米長(zhǎng)的隧道，甲隊(duì)從一端起，每天開(kāi)鑿20米，乙隊(duì)從另一端起，每天比甲隊(duì)多開(kāi)鑿5米。兩隊(duì)在離中點(diǎn)多遠(yuǎn)的地方會(huì)合？〔適于五年級(jí)程度〕解：看圖6-5。要求兩隊(duì)在離中點(diǎn)多遠(yuǎn)的地方會(huì)合，需要知道隧道的中點(diǎn)及會(huì)合點(diǎn)離一端的距離〔分析法〕。每天20米每天比甲隊(duì)多5米隧道全長(zhǎng)2160米，中點(diǎn)到一端的距離可以通過(guò)2160÷2求得〔綜合法〕。要求出會(huì)合點(diǎn)〔在甲隊(duì)的一側(cè)〕距離甲隊(duì)開(kāi)鑿點(diǎn)的距離，實(shí)際就是求甲隊(duì)開(kāi)鑿的米數(shù)。要求甲隊(duì)開(kāi)鑿的米數(shù)，就要知道甲隊(duì)〔或乙隊(duì)〕每天開(kāi)鑿的米數(shù)〔〕和開(kāi)鑿的天數(shù)〔分析法〕。甲隊(duì)每天開(kāi)鑿20米，開(kāi)鑿的天數(shù)不知道。要求出開(kāi)鑿的天數(shù)，需要知道隧道的全長(zhǎng)〔〕和兩隊(duì)每天共開(kāi)鑿多少米〔分析法〕。甲隊(duì)每天開(kāi)鑿20米，乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多開(kāi)鑿5米，這樣可以求出乙隊(duì)每天開(kāi)鑿多少米，從而求出甲、乙兩隊(duì)一天共開(kāi)鑿多少米〔綜合法〕。分析到此，這道題的問(wèn)題就得到解決了。此題用分步列式的方法計(jì)算時(shí)，還得從上面分析過(guò)程的后面往前推理?！?〕乙隊(duì)每天開(kāi)鑿多少米？20+5=25〔米〕〔2〕甲乙兩隊(duì)一天共開(kāi)鑿多少米？20+25=45〔米〕〔3〕甲乙兩隊(duì)共同開(kāi)鑿這個(gè)隧道用多少天？2160÷45=48〔天〕〔4〕甲隊(duì)開(kāi)鑿了多少米？〔會(huì)合點(diǎn)與甲隊(duì)開(kāi)鑿點(diǎn)的距離〕20×48=960〔米〕〔5〕甲隊(duì)到中點(diǎn)的距離是多少米？2160÷2=1080〔米〕〔6〕會(huì)合點(diǎn)與中點(diǎn)間的距離是多少米？1080-960=120〔米〕綜合算式：2160÷2-20×[2160÷〔20+20+5〕]=1080-20×48=1080-960=120〔米〕答略。*例4某中隊(duì)三個(gè)小隊(duì)的少先隊(duì)員采集樹(shù)種。第一小隊(duì)8名隊(duì)員共采集11.6千克，第二小隊(duì)6名隊(duì)員比第一小隊(duì)少采集2.8千克，第三小隊(duì)10名克？〔適于五年級(jí)程度〕解：如果先用綜合法分析，雖然數(shù)量間存在著一定的關(guān)系，但不容易選擇出與所求數(shù)量有直接聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系。而用分析法分析，能立即找到與所求數(shù)量有直接聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系，找到解題所需要的數(shù)量后，再用綜合法分析。要求出三個(gè)小隊(duì)平均每名隊(duì)員采集多少千克，必需知道“三個(gè)小隊(duì)共采集樹(shù)種多少千克〞和“全體隊(duì)員的人數(shù)〞〔圖6-6〕。要求“三個(gè)小隊(duì)共采集多少千克〞，必須知道一、二、三這三個(gè)小隊(duì)各采集多少千克；要求“全體隊(duì)員人數(shù)〞必須知道各小隊(duì)的人數(shù)〔圖6-6〕。三個(gè)小隊(duì)的人數(shù)都已經(jīng)知道，第一小隊(duì)采集11.6千克也，只是第二、三小隊(duì)各采集多少還不知道。往下可用綜合法得出二、三小隊(duì)各采集多少千克〔圖6-6〕。由“第一小隊(duì)共采集11.6千克〞和“第二小隊(duì)比第一小隊(duì)少采集2.8千克〞，可求出第二小隊(duì)采集多少千克；由“第二小隊(duì)采集的重量〞和“第往下可由三個(gè)小隊(duì)各采集多少千克之和，求出三個(gè)小隊(duì)共采集多少千克；也可以由各小隊(duì)的人數(shù)之和求出“全體隊(duì)員的人數(shù)〞。到此此題就可以解出來(lái)了。此題分步列式解答的方法是：〔1〕第二小隊(duì)采集多少千克？11.6-2.8=8.8〔千克〕〔2〕第三小隊(duì)采集多少千克？〔3〕三個(gè)小隊(duì)共采集多少千克？11.6+8.8+13.2=33.6〔千克〕〔4〕三個(gè)小隊(duì)有多少隊(duì)員？8+6+10=24〔人〕〔5〕平均每人采集多少千克？33.6÷24=1.4〔千克〕綜合算式：=33.6÷24=1.4〔千克〕答略。*例5甲、乙兩城之間的路程是210千米，慢車以每小時(shí)40千米的速度由甲城開(kāi)往乙城，行車15分鐘后，快車由乙城開(kāi)往甲城，經(jīng)過(guò)2小時(shí)兩車相遇。這時(shí)快車開(kāi)到甲城還需要多少小時(shí)？〔適于六年級(jí)程度〕解：運(yùn)用分析法和綜合法，分析此題的思路是：先用分析法來(lái)思考。要求出“快車開(kāi)到甲城還需要多少小時(shí)〞，必須知道兩個(gè)條件〔圖6-7〕：①相遇地點(diǎn)到甲城的距離；②快車每小時(shí)行多少千米。這兩個(gè)條件題目中都沒(méi)給出，應(yīng)把它們分別作為中間問(wèn)題。接著思考，要求相遇地點(diǎn)到甲城的路程必須具備哪兩個(gè)條件？要求快車每小時(shí)行多少千米必須具備哪兩個(gè)條件？……如果思路不“卡殼〞，就一直思考下去，直到解答出所求問(wèn)題。如果思路“卡殼〞了，就改用綜合法思考。另畫(huà)一個(gè)思路圖〔圖6-8〕。圖6-8中慢車已行的路程，就是快車從相遇點(diǎn)到甲城的路程。這段路程是：快車已行的路程是：210-90=120〔千米〕快車每小時(shí)所行的路程是：120÷2=60〔千米〕到此，我們可以把慢車走過(guò)的路程除以快車的速度，得到快車開(kāi)到甲城還需要的時(shí)間是：90÷60=1.5〔小時(shí)〕綜合算式：答略。第七講歸一法先求出單位數(shù)量〔如單價(jià)、工效、單位面積的產(chǎn)量等〕，再以單位數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算出所求數(shù)量的解題方法叫做歸一法。歸一法分為一次直進(jìn)歸一法、一次逆反歸一法、二次直進(jìn)歸一法、二次逆反歸一法。用歸一法一般是解答整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題，但也可以解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。有些應(yīng)用題用其它方法解答比擬麻煩，不易懂，用歸一法解那么簡(jiǎn)單，容易懂?！惨弧骋淮沃边M(jìn)歸一法通過(guò)一步運(yùn)算求出單位數(shù)量之后，再求出假設(shè)干個(gè)單位數(shù)量和的解題方法叫做一次直進(jìn)歸一法。1.解整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題例1某零件加工小組，5天加工零件1500個(gè)。照這樣計(jì)算，14天加工零件多少個(gè)？〔適于三年級(jí)程度〕解：〔1〕一天加工零件多少個(gè)？1500÷5=300〔個(gè)〕〔2〕14天加工零件多少個(gè)？300×14=4200〔個(gè)〕綜合算式：1500÷5×14=4200〔個(gè)〕答略。此類型題是適宜用一次直進(jìn)歸一法解的基此題型，下面的題都在此類型題的根底上有所擴(kuò)展。例2用一臺(tái)大型抽水機(jī)澆地，5小時(shí)澆了15公頃。照這樣計(jì)算，再澆3小時(shí)，這臺(tái)抽水機(jī)比原來(lái)多澆多少公頃地？〔適于三年級(jí)程度〕解：〔1〕一小時(shí)澆地多少公頃？15÷5=3〔公頃〕〔2〕3小時(shí)澆地多少公頃？3×3=9〔公頃〕綜合算式：15÷5×3=9〔公頃〕答略。例3一輛汽車3小時(shí)行駛了123.6千米。照這樣的速度，再行駛4小時(shí)，這輛汽車一共行駛了多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：〔1〕一小時(shí)行駛多少千米？123.6÷3=41.2〔千米〕〔2〕前后共行駛多少小時(shí)？3+4=7〔小時(shí)〕〔3〕一共行駛多少千米？41.2×7=288.4〔千米〕綜合算式：123.6÷3×〔3+4〕=41.2×7=288.4〔千米〕答略。2.解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題經(jīng)行駛了4份，還剩下全路程的7-4=3〔份〕。還可知，行駛4份用的時(shí)間是8小時(shí)。〔1〕行駛1份用的時(shí)間是：8÷4=2〔小時(shí)〕〔2〕行駛剩下的3份用的時(shí)間是：2×3=6〔小時(shí)〕答略。數(shù)量是單位“1〞。把六月份的伐木數(shù)量平均分成6份，五月份的伐木數(shù)量就相當(dāng)于六月份伐木數(shù)量的5份?！?〕一份木材是多少立方米？240÷5=48〔立方米〕〔2〕因?yàn)榱路荼任逶路荻喾ヒ环荩粤路莸姆ツ緮?shù)量是：240+48=288〔立方米〕答略。兔，其余的是灰兔。黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只？〔適于六年級(jí)程度〕12份，白兔占5份，那么灰兔占20-12-5=3〔份〕?！?〕黑兔比白兔多21只，這21只所對(duì)應(yīng)的份數(shù)是：12-5=7〔份〕〔2〕每一份的只數(shù)是：21÷7=3〔只〕〔3〕灰兔的只數(shù)是：3×3=9〔只〕答略。程度〕運(yùn)進(jìn)一些紅糖后，把兩種糖的總重量平均分成10份，紅糖占3份，白糖占7份。把上面的數(shù)量用表7-1表示。表7-1〔1〕白糖的重量是：63O÷5×4=504〔千克〕〔2〕運(yùn)來(lái)紅糖后兩種糖的總重量是：504÷7×10=720〔千克〕〔3〕運(yùn)來(lái)的紅糖是：720-630=90〔千克〕答略?！捕骋淮文孓D(zhuǎn)歸一法通過(guò)一步計(jì)算求出單位數(shù)量，再求總數(shù)量里包含多少個(gè)單位數(shù)量的解題方法，叫做一次逆轉(zhuǎn)歸一法。例1一列火車6小時(shí)行駛390千米。照這樣的速度，要行駛1300千米的路程，需要多少小時(shí)？〔適于三年級(jí)程度〕解：〔1〕一小時(shí)行駛多少千米？390÷6=65〔千米〕〔2〕行駛1300千米需要多少小時(shí)？1300÷65=20〔小時(shí)〕綜合算式：1300÷〔390÷6〕=1300÷65=20〔小時(shí)〕答略。此題是一次逆轉(zhuǎn)歸一的基此題，下面的題都在此題的根底上有所擴(kuò)展。例2某人騎自行車從甲地到乙地，2小時(shí)行了26千米，剩下的路程是52千米。按照這樣的速度，此人從甲地到乙地要行幾小時(shí)？〔適于四年級(jí)程度〕解：〔1〕一小時(shí)行多少千米？26÷2=13〔千米〕〔2〕行駛52千米用幾小時(shí)？52÷13=4〔小時(shí)〕〔3〕從甲地到乙地要行幾小時(shí)？2+4=6〔小時(shí)〕綜合算式：2+52÷〔26÷2〕=2+52÷13=2+4=6〔小時(shí)〕答略。例3學(xué)校買(mǎi)來(lái)135米塑料繩，先剪下9米做了5根跳繩。照這樣計(jì)算，剩下的塑料繩可以做多少根跳繩？〔適于五年級(jí)程度〕解：〔1〕一根跳繩有多少米？9÷5=1.8〔米〕〔2〕剩下的塑料繩有多少米？135-9=126〔米〕〔3〕剩下的繩子可以做多少根跳繩？126÷1.8=70〔根〕綜合算式：〔135-9〕÷〔9÷5〕=126÷1.8=70〔根〕答略。〔三〕二次直進(jìn)歸一法通過(guò)兩步計(jì)算求出單位數(shù)量，再求假設(shè)干個(gè)單位數(shù)量和的解題方法叫做二次直進(jìn)歸一法。*例14輛同樣的卡車7次運(yùn)貨物224噸。照這樣計(jì)算，9輛同樣的卡車10次可以運(yùn)貨物多少噸？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄整理題中的條件，排列成表7-2?！?〕4輛卡車一次運(yùn)貨多少噸？224÷7=32〔噸〕〔2〕一輛卡車一次運(yùn)貨多少噸？32÷4=8〔噸〕〔3〕9輛卡車一次運(yùn)貨多少噸？8×9=72〔噸〕表7-2〔4〕9輛卡車10次運(yùn)貨多少噸？72×10=720〔噸〕綜合算式：224÷7÷4×9×10=8×9×10=720〔噸〕答略。此題是二次直進(jìn)歸一的基此題，下面的題在此根底上都有所變化。*例2某水庫(kù)上游有農(nóng)田需抽水澆地，抽水站七月上旬用一臺(tái)柴油機(jī)從農(nóng)田用水量要增加，這個(gè)抽水站準(zhǔn)備同時(shí)用4臺(tái)柴油機(jī)抽水。這個(gè)抽水站最少還應(yīng)準(zhǔn)備多少千克柴油？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄整理題中條件，排列成表7-3。分成5份中的4份，所以5份中的1份是：200÷4=50〔千克〕表7-3〔2〕一臺(tái)柴油機(jī)一天用油多少千克？50÷10=5〔千克〕〔3〕4臺(tái)柴油機(jī)21天用油多少千克？5×4×21=420〔千克〕〔4〕還應(yīng)準(zhǔn)備柴油多少千克？420-200=220〔千克〕綜合算式：200÷4÷10×4×21-200=5×4×21-200=420-200=220〔千克〕答略。*例3冬天，有12頭牛3天吃干草720千克。牽走3頭牛后，有720千克干草要給剩下的牛吃4天，干草是不是夠用？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄整理題中條件，排列成表7-4?！?〕1頭牛1天吃干草多少千克？720÷12÷3=20〔千克〕〔2〕牽走3頭牛后，剩下幾頭牛？12-3=9〔頭〕表7-4〔3〕9頭牛4天吃干草多少千克？20×9×4=720〔千克〕綜合算式：720÷12÷3×〔12-3〕×4=20×9×4=720〔千克〕答：720千克干草正好夠用。*例4用手工剪羊毛，第一天4人6小時(shí)剪羊毛120千克。第二天增加了同樣能干的3個(gè)人，還是工作6小時(shí)。問(wèn)兩天一共剪羊毛多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄整理題中條件，排列成表7-5?！?〕1人1小時(shí)剪羊毛多少千克？120÷4÷6=5〔千克〕〔2〕增加3個(gè)人后共有多少個(gè)人？4+3=7〔人〕表7-5〔3〕7個(gè)人6小時(shí)剪多少千克羊毛？5×7×6=210〔千克〕〔4〕兩天一共剪多少千克羊毛？120+210=330〔千克〕綜合算式：120+120÷4÷6×〔4+3〕×6=120+5×7×6=120+210=330〔千克〕答略?！菜摹扯文孓D(zhuǎn)歸一法通過(guò)兩步計(jì)算，求出單位數(shù)量之后，再求出總數(shù)量里包含多少個(gè)單位數(shù)量的解題方法，叫做二次逆轉(zhuǎn)歸一法。*例13臺(tái)拖拉機(jī)8小時(shí)耕地4.8公頃。照這樣計(jì)算，9公頃地，用5臺(tái)拖拉機(jī)耕，需要多少小時(shí)？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄整理題中條件，排列成表7-6?！?〕1臺(tái)拖拉機(jī)1小時(shí)耕地多少公頃？4.8÷3÷8=0.2〔公頃〕〔2〕5臺(tái)拖拉機(jī)耕9公頃土地用多少小時(shí)？表7-69÷5÷0.2=9〔小時(shí)〕綜合算式：9÷5÷〔4.8÷3÷8〕=9÷5÷0.2=9〔小時(shí)〕答略。此題是適于用二次逆轉(zhuǎn)歸一法解的基此題，下面的題在此根底上都有所擴(kuò)展。*例27名工人10小時(shí)生產(chǎn)機(jī)器零件420個(gè)。在缺席2名工人的情況下，要生產(chǎn)330個(gè)機(jī)器零件，要用多少小時(shí)？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄整理題中條件，排列出表7-7?！?〕1名工人1小時(shí)生產(chǎn)多少個(gè)機(jī)器零件？表7-7420÷7÷10=6〔個(gè)〕〔2〕缺席2名工人，剩下多少名工人？7-2=5〔名〕〔3〕5名工人生產(chǎn)330個(gè)機(jī)器零件要用多少小時(shí)？330÷5÷6=11〔小時(shí)〕綜合算式：330÷〔7-2〕÷〔420÷7÷10〕=330÷5÷6=11〔小時(shí)〕答略。*例3有900立方米的土，需要25人12天挖完。如果增加5人，可以提前幾天挖完？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄整理題中條件，排列成表7-8。設(shè)提前x天挖完，那么實(shí)際完成的天數(shù)是〔12-x〕天。表7-8〔1〕原來(lái)1人1天挖土多少立方米？900÷12÷25=3〔立方米〕〔2〕增加5人后共有多少人？25+5=30〔人〕〔3〕30人多少天挖完？900÷30÷3=10〔天〕〔4〕可以提前幾天挖完？12-10=2〔天〕綜合算式：12-9000÷〔25+5〕÷〔900÷25÷12〕=12-900÷30÷3=12-10=2〔天〕答略。第八講歸總法單位數(shù)量和單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，先求出總數(shù)量，再按另一個(gè)單位數(shù)量或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)求未知數(shù)量的解題方法叫做歸總法。解答這類問(wèn)題的根本方法是：總數(shù)量=單位數(shù)量×單位數(shù)量的個(gè)數(shù)；另一單位數(shù)量〔或個(gè)數(shù)〕=總數(shù)量÷單位數(shù)量的個(gè)數(shù)〔或單位數(shù)量〕。例1李明從學(xué)校步行回家，每小時(shí)走4千米，5小時(shí)到家。如果他每小時(shí)走5千米，幾小時(shí)到家？〔適于三年級(jí)程度〕解：要求每小時(shí)走5千米，幾小時(shí)到家，要先求出學(xué)校到家有多遠(yuǎn)，再求幾小時(shí)到家。因此，4×5÷5=20÷5=4〔小時(shí)〕答：如果他每小時(shí)走5千米，4小時(shí)到家。例2王明看一本故事書(shū)，方案每天看15頁(yè)，20天看完。如果要在12天看完，平均每天要看多少頁(yè)？〔適于三年級(jí)程度〕解：要求12天看完，平均每天看多少頁(yè)，必須先求出這本故事書(shū)一共有多少頁(yè)，再求平均每天看多少頁(yè)。因此，15×20÷12=300÷12=25〔頁(yè)〕答：如果要在12天看完，平均每天要看25頁(yè)。例3某工廠制造一批手扶拖拉機(jī)，原方案每天制造6臺(tái)，30天完成。實(shí)際上只用了一半的時(shí)間就完成了任務(wù)。實(shí)際每天制造多少臺(tái)？〔適于四年級(jí)程度〕解：原來(lái)時(shí)間的一半就是30天的一半。6×30÷〔30÷2〕=180÷15=12〔臺(tái)〕答：實(shí)際每天制造12臺(tái)。例4永豐化肥廠要生產(chǎn)一批化肥，方案每天生產(chǎn)45噸，24天可以完成任務(wù)。由于改良生產(chǎn)技術(shù)，提高了工作效率，平均每天比原方案多生產(chǎn)15噸。實(shí)