微考點7-1 分布列概率中的三大最值問題（三大題型）（解析版）2024年高考數學二輪復習高頻考點追蹤與預測（新高考專用）

第第頁微考點7-1分布列概率中的三大最值問題（三大題型）題型一：二項分布的轉化為數列問題求最值①當給定時，可得到函數，這個是數列的最值問題..分析：當時，，隨值的增加而增加；當時，，隨值的增加而減少.如果為正整數，當時，，此時這兩項概率均為最大值.如果為非整數，而取的整數部分，則是唯一的最大值.注：在二項分布中，若數學期望為整數，則當隨機變量等于期望時，概率最大.【精選例題】【例1】某人在11次射擊中擊中目標的次數為X，若，若最大，則k＝（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】因為，若最大，則，化簡得：，.代入已知數值得：，所以時最大.故選：C.【例2】（多選題）下列選項中正確的是（

）A．已知隨機變量服從二項分布，則B．口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球，從中任取兩個球，記其中紅球的個數為隨機變量，則的數學期望C．拋擲一枚質地均勻的骰子一次，所得的樣本空間為，令事件，事件，則事件與事件相互獨立D．某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數是7次【答案】BC【詳解】A選項，，，，A錯誤；B選項，X服從超幾何分布，N＝10，M＝7，n＝2，；C選項，，，AB＝{2}，，A，B相互獨立；D選項，設9次射擊擊中k次概率最大，則，解得7≤k≤8，P（X＝7）＝P（X＝8）同時最大，故k＝7或8，D錯誤．故選：BC．【例3】高中生的數學閱讀水平與其數學閱讀認知、閱讀習慣和方法等密切相關．為了解高中生的數學閱讀現狀，調查者在某校隨機抽取100名學生發(fā)放調查問卷，在問卷中對于學生每周數學閱讀時間統計如下：時間（小時/周）0人數20403010(1)為了解學生數學閱讀時間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣從這100名學生中隨機抽取10名學生，再從這10人中隨機抽取2名進行詳細調查，求這2名學生中恰有一人每周數學閱讀時間大于0.5小時的概率；(2)用頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有名學生數學閱讀時間在小時的概率，求取最大值時對應的的值．【答案】(1)；(2)4【分析】（1）抽取的10人中，周閱讀時間大于0.5小時的有4人，小于等于0.5小時的有6人，故恰有一人每周數學閱讀時間大于0.5小時的概率為（2）周閱讀時間在小時的頻率為，故概率為，則，所以，由得：，化簡得；解得，又，故，【題型專練】1．（多選題）某同學共投籃12次，每次投籃命中的概率為0.8，假設每次投籃相互獨立，記他投籃命中的次數為隨機變量，下列選項中正確的是（

）A．B．C．D．該同學投籃最有可能命中9次【答案】AB【詳解】由二項分布的定義可知，，，，故AB正確，C錯誤；設該同學投籃最有可能命中次，則，即，因為為正整數，所以，故D錯誤；故選：AB2．若隨機變量X服從二項分布，則使取得最大值時，______．【答案】3或4【詳解】依題意，依題意，，，，所以、不是的最大項，當時，由，整理得，即，整理得，，所以當為3或4時，取得最大值.故答案為：3或43．已知隨機變量，若最大，則______．【答案】24【詳解】由題意知：，要使最大，有，化簡得，解得，故，又，故.故答案為：24.4．一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立．對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．則當______時，有3個坑要補播種的概率最大，最大概率為______．【答案】

5或6

【詳解】對一個坑而言，要補播種的概率，所以補播種坑的數量服從，則3個坑要補播種的概率為．要使最大，只需，解得，當或，.所以，當或時有3個坑要補播種的概率最大，最大概率為．故答案為：5或6，.5．小區(qū)為了加強對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應.為做好甲類生活物資的供應，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調查，得到了以下頻率分布直方圖.(1)從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數為，求的分布列和期望；(2)將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當超出平均購買量不少于時，則該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）隨機變量所有可能的取值為0，1，2.則，，，012所以.（2）根據頻率分布直方圖可知，每天對甲類生活物資的需求平均值為（），則購買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購買量為，從小區(qū)隨機抽取中隨機抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為.若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，則，若k戶的可能性最大，則，，，得，即，解得，由于，故.題型二：二項分布的轉化為導數問題求最值當給定時，可得到函數，這個是函數的最值問題，這可以用導數求函數最值與最值點.分析：當時，由于當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得最大值，.又當，當時，，從而無最小值.【精選例題】【例1】（2018年全國1卷）．某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？解析：（1）件產品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產品中的不合格品件數，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產品作檢驗.【例2】設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設．(1)若，求；(2)若，求的最小值；(3)對任意與有相同可能取值的隨機變量，證明：，并指出取等號的充要條件【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析【詳解】（1）不妨設，則.所以.（2）當時，，記，則，令，則，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以，則單調遞增，而，所以在為負數，在為正數，則在單調遞減，在單調遞增，所以的最小值為.（3）令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，即，當且僅當時，等號成立，則當時，，所以，即，故，當且僅當對所有的時等號成立.【跟蹤訓練】1．某超市推出了一項優(yōu)惠活動，規(guī)則如下：規(guī)則一：顧客在本店消費滿100元，返還給顧客10元消費券；規(guī)則二：顧客在本店消費滿100元，有一次抽獎的機會，每次中獎，就會有價值20元的獎品．顧客每次抽獎是否中獎相互獨立．(1)某顧客在該超市消費了300元，進行了3次抽獎，每次中獎的概率均為．記中獎2次的概率為，求取得最大值時，的值．(2)若某顧客有3次抽獎的機會，且中獎率均為，則該顧客選擇哪種規(guī)則更有利？請說明理由．【答案】(1)；(2)選擇規(guī)則二更有利，理由見解析【詳解】（1）由題意知，3次抽獎有2次中獎的概率，則．當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減．所以當時，取得最大值，則．（2）①該顧客選擇規(guī)則一，其獲利為30元；②該顧客選擇規(guī)則二，由第一問知，則其中獎次數服從二項分布，所以，所以該顧客獲得獎品金額的期望值為（元）．因為，所以該顧客選擇規(guī)則二更有利．2.某單位為了激發(fā)黨員學習黨史的積極性，現利用“學習強國”APP中特有的“四人賽”答題活動進行比賽，活動規(guī)則如下：一天內參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，第一局獲勝得3分，第二局獲勝得2分，失敗均得1分，小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動，已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p（0＜p＜1），，且各局比賽互不影響.(1)若，記小張一天中參加“四人賽”活動的得分為X，求X的分布列和數學期望；(2)設小張在這5天的“四人賽”活動中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為，試問當p為何值時，取得最大值.【答案】(1)分布列見解析，；(2)【詳解】（1）由題可知，X的可能取值為2，3，4，5.因為，所以，，，.故X的分布列為X2345P.（2）設一天得分不低于4分為事件A，則，則，則.當時，；當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取得最大值.題型三：超幾何分布的概率最值將從件產品中取出件產品的可能組合全體作為樣本點，總數為.其中，次品出現次的可能為.令，則所求概率為即.令則當時，；當時，，即當時，是關于的增函數；當時，是關于的減函數.所以當時，達到最大值.【精選例題】【例1】設隨機變量（且），最大時，（

）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01【答案】C【詳解】隨機變量，則，因最大，則有，即，，整理得，解得，而，則，所以.故選：C【例2】（2023屆四省聯考）一個池塘里的魚的數目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，表示撈出的500尾魚中有標識的魚的數目．（1）若，求的數學期望；（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標識，試給出N的估計值（以使得最大的N的值作為N的估計值）．解析：（1）依題意X服從超幾何分布，且，故．（2）當時，，當時，，記，則．由，當且僅當，則可知當時，；當時，，故時，最大，所以N的估計值為6666．【跟蹤訓練】1.2023年中央一號文件指出,艮旋要復興,鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興,某電商平臺準備為某地的農副特色產品開設直播帶貨專部.(公眾號浙江省高中數學)直播前,此平臺用不同的單價試銷,并在購買的顧客中進行體驗調本向卷.已知有名熱心參與問卷的顧客,此平臺決定在直播中專門為他們設置兩次抽獎活跡次抽獎都是由系統獨立、隨機地從這名顧客中抽取20名顧客,抽中顧客會有禮品贈送,若直拱時這名顧客都在線,記兩次抽中的顧客總人數為(不重復計數).（1）若甲是這名顧客中的一人,且甲被抽中的概率為，求;（2）求使取得最大值時的整數.解析：（1）記“甲被抽中”,“第次被抽中”,則解得：（2）由于，記,即求在何時取到最大值，下面討論的單調性：解得，所以，當或40時,取到最大值.1．隨著春季學期開學，郴州市市場監(jiān)管局加強了對學校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學食堂每天都會提供A，B兩種套餐供學生選擇（學生只能選擇其中的一種），經過統計分析發(fā)現：學生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了A套餐的學生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復.記同學甲第天選擇套餐的概率為.(1)求同學甲第二天選擇套餐的概率；(2)證明：數列為等比數列；(3)從該校所有學生中隨機抽取100名學生統計第二天選擇去A餐廳就餐的人數，用表示這100名學生中恰有名學生選擇去A餐廳就餐的概率，求取最大值時對應的的值.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)33【分析】（1）根據題意結合全概率公式運算求解；（2）根據題意結合全概率公式可得，結合等比數列的定義分析證明；（3）根據題意分析可得，結合二項分布的概率公式列式求解.【詳解】（1）設“第1天選擇B套餐”，“第2天選擇B套餐”，則“第1天不選擇B套餐”.根據題意可知：.由全概率公式可得.（2）設“第天選擇B套餐”，則，根據題意.由全概率公式可得，整理得，且，所以是以為首項，為公比的等比數列.（3）第二天選擇A類套餐的概率由題意可得：同學甲第二天選擇A類套餐的概率為，則不選擇A類套餐的概率為，所以，則，當取最大值時，則，即，解得，且，所以.2．某研究所研究某一型號疫苗的有效性，研究人員隨機選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數.現用隨機變量表示第組被感染的白鼠數，并將隨機變量的觀測值繪制成如圖所示的頻數分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為，假設每只白鼠是否被感染是相互獨立的.記為事件“”.

(1)寫出（用表示，組合數不必計算）；(2)研究團隊發(fā)現概率與參數之間的關系為.在統計學中，若參數時的值使得概率最大，稱是的最大似然估計，求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題知隨機變量，然后利用二項分布的概率公式求解；（2）設事件，再根據頻數分布圖和二項分布的概率公式可求出，令，化簡后利用導數可求出其最大值，并求出此時的，代入中可求得.【詳解】（1）由題知隨機變量，所以.（2）設事件，由題圖可知，則，即.設，則，所以當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；所以當時，取得最大值，即取得最大值，所以，即，解得或，因為，所以.【點睛】關鍵點點睛：此題考查二項分布的概率公式的應用，考查獨立事件的概率，考查導數的應用，第（2）問解題的關鍵是根據二項分布的概率公式表示出，然后構造函數，利用導數求出其最大值，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.3．N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護用品，它對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率達到95%以上．某防護用品生產廠生產的N95型口罩對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率服從正態(tài)分布．(1)當質檢員隨機抽檢10只口罩，測量出一只口罩對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率為93．6%時，他立即要求停止生產，檢查設備和工人工作情況．請你根據所學知識，判斷該質檢員的要求是否有道理，并說明判斷的依據．(2)該廠將對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率達到95．1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)質品”．（?。┣笤撈髽I(yè)生產的一只口罩為“優(yōu)質品”的概率；（ⅱ）該企業(yè)生產了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨立，記為這1000只口罩中“優(yōu)質品”的件數，當為多少時可能性最大（即概率最大）？【答案】(1)生產的口罩出現過濾效果在之外的值，發(fā)生的可能性很小，一旦發(fā)生，應該停止生產(2)（?。?；（ⅱ）當時，取得最大值【解析】（1）已知過濾效率服從．而，所以，則，即生產的口罩出現過濾效果在之外的值，發(fā)生的可能性很小，一旦發(fā)生，應該停止生產．（2）（ⅰ）不妨記“N95口罩的過濾效果”為，則一只口罩為“優(yōu)質品”的概率為．（ⅱ）依題意，記，，則．問題等價于求當取何值時取得最大值．（解法1）由化簡得即，從而，解得．（解法2）由于對，，因此：當時，；當時，；當時，．由以上分析知，在上單調遞增，在上單調遞減．代入數據得，而是正整數，所以且，故當時，取得最大值．4．汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強調可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調查，得到下面的統計表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統計表明銷量與年份代碼有較強的線性相關關系，求關于的線性回歸方程，并預測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機調查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統燃油汽車的有名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統燃油汽車．①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體，試用（1）中的線性回歸方程預測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數（假設每位車主只購買一輛汽車，結果精確到千人）；②設男性車主中購置新能源汽車的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調查的所有男性車主中隨機抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當為何值時，最大．附：為回歸方程，，．【答案】(1)，2028年；(2)①萬人；②【分析】（1）根據所給數據，結合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；（2）①計算該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的頻數與總人數求解即可；②根據二項分布的概率公式可得，再求導分析的最大值即可.【詳解】（1）解：由題意得，，，．所以，．所以關于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數為12，，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購車者中女性有名，故其中購置新能源汽車的女性車主的有名．所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．所以該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．預測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，因此預測該地區(qū)2020年購置新能源汽車的女性車主的人數為萬人②由題意知，，則當時，知所以函數單調遞增當時，知所以函數單調遞減所以當取得最大值．此時，解得，所以當時取得最大值．5．學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和數學期望；(2)設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時，取得最大值．【答案】(1)分布列見解析，（分）；(2)【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出對應隨機變量的概率，從而可求出分布列，再根據期望公式求出數學期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為，再根據導出求出函數的單調區(qū)間，即可得出答案.【詳解】（1）解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；（2）解：設一天得分不低于3分為事件，則，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，則，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最大值.6．某市居民用天然氣實行階梯價格制度，具體見下表：階梯年用氣量（立方米）價格（元/立方米）第一階梯不超過228的部分3.25第二階梯超過228而不超過348的部分3.83第三階梯超過348的部分4.70從該市隨機抽取10戶（一套住宅為一戶）同一年的天然氣使用情況，得到統計表如下：居民用氣編號12345678910年用氣量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一戶居民年用氣費y（元）關于年用氣量x（立方米）的函數關系式；（2）現要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數的分布列與數學期望；（3）若以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民的年用氣情況，現從全市中依次抽取10戶，其中恰有k戶年用氣量不超過228立方米的概率為，求取最大值時的值．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望為；（3）6．【分析】（1）由表格中的數據結合題意，即可求得一戶居民年用氣費y（元）關于年用氣量x（立方米）的函數關系式；（2）由題意知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，得到隨機變量可取，利用超幾何分布求得相應的概率，得到隨機變量的分布列，進而求得期望；（3）由，列出不等式組由，求得的值，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，；當時，；當時，，所以年用氣費y關于年用氣量x的函數關系式為.（2）由題知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，設取到年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數為，則可取，則，，，，故隨機變量的分布列為：0123P所以.（3）由題意知，由，解得，，所以當時，概率最大，所以.【點睛】本題主要考查了分段函數模型的性質及其應用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.7．某小區(qū)為了加強對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應.為做好甲類生活物資的供應，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在（單位：）的概率是多少？②若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數為，求的分布列和期望；（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當超出平均購買量不少于時，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.【答案】（1）①；②詳見解析；（2）.【解析】（1）事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在，”發(fā)生的概率為．①記事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意