遼寧省大連市瓦房店市2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題含答案解析

2023-2024學年度第一學期九年級數(shù)學練習2023.11注意事項：1．請在答題卡上作答，在試卷上作答無效．2．本試卷共八大題，25小題，滿分120分，考試時間120分鐘．一、選擇題：（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知一元二次方程有一個根為1，則的值為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程根的定義，把代入一元二次方程得到關于的方程，然后解一次方程即可．【詳解】解：把代入方程得，解得．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2.對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.開口向上 B.當x＝2時，y有最小值是3 C.對稱軸是 D.頂點坐標是（-2，3）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行判斷．【詳解】解：，拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，有最大值3，故、、說法錯誤，說法正確，故選：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)的頂點坐標是，，對稱軸直線，二次函數(shù)的圖象具有如下性質(zhì)：當時，拋物線的開口向上，時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，取得最小值，即頂點是拋物線的最低點，當時，拋物線的開口向下，時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．3.如圖，點、、都在上，，則等于（）A.40° B.50° C.80° D.100°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理直接得出答案．詳解】解：，，故選C【點睛】本題考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵．4.將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個單位，則平移以后的二次函數(shù)的解析式為（）A.y=x2﹣1 B.y=x2+1 C.y=（x﹣1）2 D.y=（x+1）2【答案】A【解析】【分析】據(jù)平移變化的規(guī)律，左右平移只改變橫坐標，左減右加．上下平移只改變縱坐標，下減上加．【詳解】解：根據(jù)題意得：將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個單位，∴平移以后的二次函數(shù)的解析式為：y=x2﹣1．故選A．5.電腦病毒傳播，如果一臺電腦被傳染，經(jīng)過兩輪傳播后就會有81臺電腦被感染，若每輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，下列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意；由題意可直接列出方程．【詳解】解：由題意可得方程為；故選C．6.一元二次方程x2+x﹣6=0的根的情況是（）A.有兩個相等的實根 B.沒有實數(shù)根C.有兩個不相等的實根 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】由根的判別式△=b2-4ac，即可判定一元二次方程x2+x-6=0的根的情況【詳解】∵△=b2-4ac=12?4×1×(?6)=25>0，∴有兩個不相等的實根故選C【點睛】此題考查了根的判別式.注意△>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根;△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根;△<0?方程沒有實數(shù)根7.如圖，在同一平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AC,∠BAE=∠CAD,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠CAD=50°,則∠BAE=50°,然后利用互余計算∠ABC的度數(shù)．【詳解】∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AED的位置,∴AD=AC,∠BAE=∠CAD,∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC=65°,∴∠CAD=180°-65°-65°=50°,∴∠BAE=50°,∵AE⊥BC,∴∠ABC=90°-∠BAE=40°,故選B．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解決本題的關鍵是要熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).8.在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則這個三角形的外接圓的半徑是（）A.10 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理，得其斜邊是10，再根據(jù)直角三角形的外接圓的半徑是斜邊的一半，得其半徑是5．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴BA＝＝＝10，

∴其外接圓的半徑為5．

故選：B．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、勾股定理等知識，解題的關鍵是記住直角三角形的斜邊就是外接圓的直徑．9.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，將△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，若點F是DE的中點，連接AF，則AF=（）A. B.5 C.+2 D.3【答案】B【解析】【詳解】解：作FG⊥AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵FG⊥AC，∴FG∥CD，∵點F是DE的中點，∴GF=CD=AC=3，EG=EC=BC=2.∵AC=6，EC=BC=4，∴AE=2，∴AG=4，根據(jù)勾股定理，AF==5．故選B【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、勾股定理的綜合運用，作垂線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關鍵．10.對于拋物線下列說法：①對稱軸為；②拋物線與x軸兩交點的坐標分別為，；③頂點坐標為；④若，當時，函數(shù)y隨x的增大而增大．其中正確的結(jié)論有（）個A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一般式化成頂點式，拋物線與坐標軸交點，將二次函數(shù)的解析式化成頂點式，求出對稱軸與頂點坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)對各項進行判斷即可．【詳解】解：，拋物線的對稱軸為，頂點坐標為，故①③正確；，，，，，拋物線與x軸兩交點的坐標分別為，，故②正確；拋物線的對稱軸為，若，拋物線的開口方向向下，當時，函數(shù)y隨x的增大而增減小，故④不正確，綜上所述，正確的有：①②③，共3個，故選：C．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.平面直角坐標系中，點關于原點旋轉(zhuǎn)后得到的對應點的坐標為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點P和點關于原點對稱，根據(jù)點關于原點對稱點的坐標為解答即可．【詳解】解：∵在平面直角坐標系中，將點繞原點O旋轉(zhuǎn)得到點，∴點P和點關于原點對稱，∴點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標與圖形變化，掌握點關于原點對稱點的坐標為是解答的關鍵．12.二次函數(shù)的頂點坐標為________．【答案】【解析】【分析】把二次函數(shù)一般式化為頂點式，即可得到頂點坐標.【詳解】解：∵，把二次函數(shù)化為頂點式為：；∴頂點坐標為：；故答案為：.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練把二次函數(shù)的一般式化為頂點式.13.若m、n是方程x2+6x﹣5=0的兩根，則3m+3n﹣2mn=______．【答案】﹣8【解析】【詳解】試題解析：∵m、n是方程x2+6x﹣5=0的兩根，∴m+n=-6，mn=-5，∴3m+3n﹣2mn=3(m+n)-2mn=3×(-6)-2×(-5)=-18+10=-8.14.如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，圖象過拋物線的對稱軸為直線，若、、，均為函數(shù)圖象上的點，則、、大小關系為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的圖象知時，函數(shù)的值隨的增大而減少，∵，∴，故答案為：．15.如圖，是的直徑，是的切線，切點為D，與的延長線交于點C，，則的長度為______．【答案】5【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理和切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，連接，根據(jù)圓周角定理可得，再由是的切線，可得，從而，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，，∴，∵是的切線，∴，，∴，∵，∴．故答案為：5．16.如圖，Rt△OAB的頂點A（﹣2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為_____．【答案】（，2）【解析】【詳解】∵點A（﹣2，4）在拋物線y=ax2上，∴，解得：，∴∵將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，∴，當y=2時，，解得：或（舍去），∴點P的坐標．故答案為：（，2）三、解答題（17、18、19每題8分，共24分）17.選擇適當方法解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接開平方法、配方法、因式分解法，選擇合適的方法進行計算是解此題的關鍵．【詳解】解：，分解因式得：，可得或，解得：，．18.《九章算術》標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系，第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言可表述為：“如圖，是的直徑，弦于點，寸，寸，求直徑的長，”請你解答這個問題．【答案】直徑的長為寸【解析】【分析】連接，設的半徑為r，利用垂徑定理得到寸，再利用勾股定理求解即可．【詳解】接：連接，設的半徑為r，∵是的直徑，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，解得，∴，即直徑的長為寸．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關鍵．19.如圖，線段的兩個端點的坐標分別為、，將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到對應線段（點A與C對應，點B與D對應）．（1）請在圖中畫出線段；（2）請直接寫出點A、B的對應點的坐標C（______，______）、D（______，______）；（3）在x軸上求作一點P，使的周長最小，并直接寫出P點坐標為（______，______）．【答案】（1）畫圖見解析（2），；，（3），【解析】【分析】（1）分別確定A，B繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應點C，D，再連接即可；（2）根據(jù)C，D的位置可得其坐標；（3）先確定點D關于x軸的對應點E，連接交x軸于點P，再求解的解析式，可得P的坐標．【小問1詳解】解：如圖，線段即為所求作的線段；【小問2詳解】由C，D的位置可得：，；【小問3詳解】如圖，即為所求作的點，∵，，設直線為，∴，解得：，∴直線為，當時，，∴，∴．【點睛】本題考查的是畫旋轉(zhuǎn)圖形，坐標與圖形，軸對稱的性質(zhì)，一次函數(shù)的應用，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并進行畫圖是解本題的關鍵．四、解答題（20、21每題8分，共16分）20.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，與x軸交于，對稱軸為直線．解決下列問題：（1）關于x的一元二次方程的解為______；（2）求此拋物線的解析式；（3）若直線與拋物線沒有交點，直接寫出k的范圍．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程，求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系．（1）先由二次函數(shù)的對稱性求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標，二次函數(shù)與x軸的交點坐標的橫坐標即為一元二次方程的解；（2）利用（1）求出的二次函數(shù)與x軸的兩個交點坐標，利用交點式即可得到答案；（3）首先配方得到，求出二次函數(shù)的最大值為4，然后根據(jù)圖象求解即可．【小問1詳解】∵二次函數(shù)與x軸交于，對稱軸為直線∴二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標為，∴方程的解為，，故答案為：，；【小問2詳解】∵，，∴拋物線與x軸的交點坐標為和兩點，∴設拋物線解析式為，∴拋物線解析式為；【小問3詳解】∵∴二次函數(shù)的最大值為4，根據(jù)圖象可得，若直線與拋物線沒有交點，∴大于函數(shù)的最大值，∴．21.已知：如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點，延長BC到E，使CE=CG，連接BG并延長交DE于F．（1）求證：△BCG≌△DCE；（2）將△DCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，判斷四邊形E′BGD是什么特殊四邊形，并說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）平行四邊形，理由見解析【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．（2）由（1）得BG=DE，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，從而證得四邊形E′BGD為平行四邊形．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四邊形E′BGD是平行四邊形．理由如下：∵△DCE繞D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四邊形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB﹣AE′=CD﹣CG．即BE′=DG．∴四邊形E′BGD是平行四邊形．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定等知識的綜合應用，以及考生觀察、分析圖形的能力．五、解答題（本題8分）22.有一個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角坐標系中．求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；若要在隧道壁上點如圖安裝一盞照明燈，燈離地面高求燈與點B的距離．【答案】；照明燈與點B的距離為．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線在坐標系的位置可設解析式：y=ax2+6，把點A（-4，0）代入即可；（2）燈離地面高4.5m，即y=4.5時，求x的值，再根據(jù)P點坐標，勾股定理求PB的值【詳解】由題意，設拋物線所對應的函數(shù)關系為，點或在拋物線上，，，，．故拋物線的函數(shù)關系式為．過點P作于Q，連接PB，則．將代入中，，，．，，于是，，從而．所以照明燈與點B距離為．【點睛】本題考查點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．六、解答題（本題10分）23.如圖，，分別與相切于點A，B，點D在上，且，，垂足為E．（1）求證：；（2）若的半徑，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，連接，證明四邊形是矩形，可得；（2）連接，可得，證明，可得，設，則，再利用勾股定理建立方程求解即可．【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵為的切線，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴；【小問2詳解】連接，則，∴，∵，，，∴，，∴，∴，設，則，在中，有，∴，即．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，切線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．七、解答題（本題12分）24.綜合與實踐：數(shù)學課上，白老師出示了一個問題：已知等腰直角和等腰直角，，，，連接，，如圖1．獨立思考：（1）如圖1，求證：；實踐探究：在原有條件不變的情況下，白老師把旋轉(zhuǎn)到了特殊位置，增加了新的條件，并提出了新的問題，請你解答：（2）如圖2，在繞著點C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好有，．①求的度數(shù)；②線段與線段交于點F，求的值；③若，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②；③【解析】【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）①先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)周角求出結(jié)果即可；②先證明，得出，先證明，得出，證明為等邊三角形，根據(jù)三線合一得出，求出；③過點B作的垂線，垂足為點F，證明為等腰直角三角形，求出，，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段間關系求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：如圖1，∵等腰直角和等腰直角，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：①如圖1，∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．②連接，如圖2：由（1）可知：，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∵，∴，∴，∴；③如圖3，過點B作垂線，垂足為點F，∵，∴為等腰直角三角形，∵∴，，在中，，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．八、（本題12分）25.已知拋物線頂點在第三象限，頂點縱坐標為．（1）求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標；（2）若圖象與x軸的交點為A、B，與y軸的交點G，求的面積；（3）在對稱軸上找一點Q，使的值最小，求滿足條件的點Q坐標；（4）在拋物線上是否存在一點P，使得是以為直角邊的直角三角形？存在，求出點P