考研數(shù)學一(N維向量與向量空間)-試卷2

考研數(shù)學一（N維向量與向量空間）-試卷2(總分：64.00，做題時間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：12，分數(shù)：24.00)1.選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.已知Q=，P是3階非零矩陣，且PQ=0，則

（分數(shù)：2.00）

A.t=6時，r(P)=1．

B.t=6時，r(P)=2．

C.t≠6時，r(P)=1．

√

D.t≠6時，r(P)=2．解析：解析：若A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB=0，則由B的每列都是Ax=0的解，可有r(A)+r(B)≤n，從而r(P)≤3一r(Q)．如t=6，則r(Q)=1，得r(P)≤2．因此(A)，(B)應排除．如t≠6，則r(Q)=2，得r(P)≤1．因此(D)不正確，而P非零，r(P)≥1，故僅(C)正確．3.設A，B為滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則必有

（分數(shù)：2.00）

A.A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關．

√

B.A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關．

C.A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關．

D.A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關．解析：解析：設A是m×n矩陣，B是n×S矩陣，滿足AB=0，且A，B均為非零矩陣，那么r(A)+r(B)≤n，r(A)≥1，r(B)≥1．所以必有r(A)＜n且r(B)＜n．因為，秩r(A)=A的列秩＜n，r(B)=B的行秩＜n，故A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關．應選(A)．4.設α1，α2，α3是3維向量空間R3的一組基，則由基α1，到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的過渡矩陣為

（分數(shù)：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：按過渡矩陣概念：(新基)=(舊基)．過渡矩陣，那么過渡矩陣C應滿足關系式(α1+α2，α2+α3，α3+α1)=(α1，α3)C．由于(α1+α2，α2+α3，α3+α1)=(α1，α2，α3)(α1，α3)=(α1，α2，α3)又(α1，α2，α3)可逆，從而所以應選(A)．5.設矩陣是滿秩的，則直線=的位置是

（分數(shù)：2.00）

A.相交于一點．

√

B.重合．

C.平行但不重合．

D.異面．解析：解析：初等變換不改變矩陣的秩，由可知，后者的秩仍應是3．所以直線的方向向量S1=(a1一a2，b1一b2，c1一c2)，S2=(a2一a3，b2—b3，c2一c3)線性無關，因此排除(B)，(C)．究竟是相交還是異面呢?在這兩條直線上各取一點(a3，b3，c3)與(a1，b1，c1)，可構造向量S=(a3一a1，b3—b1，c3一c1)，如果S，S1，S2共面，則兩直線相交，如S1，S2，S3不共面，則兩直線異面．而三個向量的共面問題可用向量的混合積或線性相關性來判斷．例如或S+S1+S2=0，所以，應選(A)．6.設αi=(ai，bi，ci)T，i=1，2,3，則平面上三條直線a1x+a2y+a3=0，b1x+b2y+b3=0，c1x+c2y+c3=0交于一點的充分必要條件是

（分數(shù)：2.00）

A.｜α1，α2，α3｜=0．

B.｜α1，α2，α3｜≠0．

C.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)．

D.α1，α2線性無關，但α1，α2，α3線性相關．

√解析：解析：三條直線交于一點的充要條件是方程組有唯一解，即α3可由α1，α2線性表出且表示法唯一．故(D)正確．(B)肯定錯，它表示α1，α2，α3線性無關，于是r(A)≠r方程組無解．而(A)，(C)均是交于一點的必要條件，僅行列式為0不能排除其中有平行直線，對于(C)，因為秩可能是1，也就可能有平行直線．作為充要條件(A)，(C)是不正確的．7.設向量組α，β，γ線性無關，α，β，δ線性相關，則

（分數(shù)：2.00）

A.α必可由β，γ，艿線性表示．

B.β必不可由α，γ，δ線性表示．

C.δ必可由α，β，γ線性表示．

√

D.δ必不可由α，β，γ線性表示．解析：解析：故應選(C)．8.向量組α1，α2，…，αs線性無關的充分必要條件是

（分數(shù)：2.00）

A.α1，α2，…，αs均不是零向量．

B.α1，α2，…，αs中任意兩個向量的分量不成比例．

C.α1，α2，…，αs，αs+1線性無關．

D.α1，α2，…，αs中任一個向量均不能由其余s一1個向量線性表出．

√解析：解析：(A)，(B)均是線性無關的必要條件．例如，α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，3)T，α3=(2，3，4)T，雖α1，α2，α3均為非零向量且任兩個向量的分量都不成比例，但α1+α2一α3=0，α1，α2，α3線性相關．(C)是線性無關的充分條件．由α1，α2，…，αs，αs+1線性無關α1，α2，…，αs線性無關，但由α1，α2，…，αs線性無關α1，α2，…，αs，αs+1線性無關．(D)是【定理3．4】的逆否命題．故應選(D)．9.設α1，α2，α3，α4是3維非零向量，則下列說法正確的是

（分數(shù)：2.00）

A.若α1，α2線性相關，α3，α4線性相關，則α1+α3，α2+α4也線性相關．

B.若α1，α2，α3線性無關，則α1+α4，α2+α4，α3+α4線性無關．

C.若α4不能由α1，α2，α3線性表出，則α1，α2，α3線性相關．

√

D.若α1，α2，α3，α4中任意三個向量均線性無關，則α1，α2，α3，α4線性無關．解析：解析：若α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，2)，α4=(O，3)，則α1，α2線性相關，α3，α4線性相關，但α1+α3=(1，2)，α2+α4=(2，3)線性無關．故(A)不正確．對于(B)，取α4=－α1，即知(B)不對．對于(D)，可考察向量組(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(一1，一1，一1)，可知(D)不對．至于(C)，因為4個3維向量必線性相關，如若α1，α2，α3線性無關，則α4必可由α1，α2，α3線性表出．現(xiàn)在α4不能由α1，α2，α3線性表出，故α1，α2，α3必線性相關．故應選(C)．10.若α1，α2，α3線性無關，那么下列線性相關的向量組是

（分數(shù)：2.00）

A.α1，α1+α2，α1+α2+α3．

B.α1+α2，α1－α2，－α3．

C.－α1+α2，α2+α3，α3－α1．

D.α1－α2，α2－α3，α3－α1．

√解析：解析：用觀察法．由(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0，可知α1一α2，α2一α3，α3一α1線性相關．故應選(D)．至于(A)，(B)，(C)線性無關的判斷可以用秩也可以用行列式不為0來判斷．例如，(A)中r(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α1+α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3．或(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α2，α3)由行列式≠0而知α1，α1+α2，α1+α2+α3線性無關．11.設向量組I：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，則

（分數(shù)：2.00）

A.當r＜s時，向量組(Ⅱ)必線性相關．

B.當r＞s時，向量組(Ⅱ)必線性相關．

C.當r＜s時，向量組(Ⅰ)必線性相關．

D.當r＞s時，向量組(Ⅰ)必線性相關．

√解析：解析：用【定理3．6】，若多數(shù)向量可用少數(shù)向量線性表出，則多數(shù)向量一定線性相關．故應選(D)．請舉例說明(A)，(B)，(C)均不正確．12.若r(α1，α2，…，αs)=r，則

（分數(shù)：2.00）

A.向量組中任意r一1個向量均線性無關．

B.向量組中任意r個向量均線性無關．

C.向量組中任意r+1個向量均線性相關．

√

D.向量組中向量個數(shù)必大于r．解析：解析：秩r(α1，α2，…，αs)=r向量組α1，α2，…，αs的極大線性無關組為r個向量向量組α1，α2，…，αs中有r個向量線性無關，而任r+1個向量必線性相關．所以應選(C)．二、填空題(總題數(shù)：2，分數(shù)：4.00)13.設A=，B是3階非0矩陣，且AB=0，則a=1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：因為AB=0，有r(A)+r(B)≤3．又因B≠0，有r(B)≥1．從而r(A)＜3，因此行列式｜A｜=0．又所以a=14.設A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T）解析：解析：由于｜A｜=0，秩r(A)=2，知r(A*)=1．那么n—r(A*)=3—1=2．從而A*x=0的通解形式為：k1η1+k2η2．又A*A=｜A｜E=0，故A的列向量是A*x=0的解．所以A*x=0的通解為：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T．三、解答題(總題數(shù)：18，分數(shù)：36.00)15.解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：16.求向量組α1=(1，1，4，2)T，α2=(1，一1，一2，4)T，α3=(一3，2，3，一11)T，α4=(1，3，10，0)T的一個極大線性無關組．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：把行向量組成矩陣，用初等行變換化成階梯形，有所以，α1，α2是一個極大線性無關組．)解析：17.設4維向量組α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，問a為何值時，α1，α2，α3，α4線性相關?當α1，α2，α3，α4線性相關時，求其一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表出．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：記A=(α1，α2，α3，α4)，則那么，當a=0或a=－10時，｜A｜=0，向量組α1，α2，α3，α4線性相關．當a=0時，α1為向量組α1，α2，α3，α4的一個極大線性無關組，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．當a=－10時，對A作初等行變換，有由于β2，β3，β4為β1，β2，β3，β4的一個極大線性無關組，且β1=－β2－β3－β4，所以α2，α3，α4為向量組β1，β2，β3，β4的一個極大線性無關組，且α1=－α2－α3－α4．)解析：18.已知向量組(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它們的秩分別為r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，知α1，α2，α3線性無關，α1，α2，α3，α4線性相關，故α4可由α1，α2，α3線性表出．設α4=l1α1+l2α2+l3α3．如果α4+α5能由α1，α2，α3線性表出，設α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3，則α5=(k1一l1)α1+(k2一l2)α2+(k3一l3)α3．于是α5=可由α1，α2，α3線性表出，即α1，α2，α3，α5線性相關，與已知r(Ⅲ)=4相矛盾．所以α4+α5不能用α1，α2，α3線性表出，由秩的定義知r(α1，α2，α3，α4+α5)=4．)解析：解析：由于r(Ⅰ)=3，得α1，α2，α3線性無關，那么向量組α1，α2，α3，α4+α5的秩至少是3，能否是4?關鍵就看α4+α5能否用α1，α2，α3線性表出，或者看向量組α1，α2，α3，α4+α5是線性相關還是線性無關．19.設A是n階矩陣，證明r(A*)=

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：若r(A)=n，則｜A｜≠0，A可逆，于是A*=｜A｜A－1)可逆，故r(A*)=n．若r(A)≤n一2，則｜A｜中所有n一1階行列式全為0．于是A*=0，即r(A*)=0．若r(A)=n一1，則｜A｜=0，但存在n一1階子式不為0，因此A*≠0，r(A*)≥1，又因AA*=｜A｜E=0，有r(A)+r(A*)≤n，即r(A*)≤n一r(A)=1，從而r(A*)=1．)解析：20.設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，證明r(AB)≤r(B)．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設AB=C，C是m×s矩陣，對B，C均按行分塊，記為用分塊矩陣乘法，得即向量組β1，β2，…，βm可由向量組α1，α2，…，αn線性表出，那么由定理可知r(AB)=r(C)=r(β1，β2，…，βm)≤r(α1，α2，…，αn)=r(B)．)解析：21.設α，β為3維列向量，矩陣A=ααT+ββT，其中αT，βT分別是α，β的轉置，證明：(Ⅰ)秩r(A)≤2；(Ⅱ)若α，β線性相關，則秩r(A)＜2．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)．又α，β均為3維列向量，則r(α)≤1，r(β})≤1．故r(A)≤2．(Ⅱ)方法1°當α，β線性相關時，不妨設β=kα，則r(A)=r(ααT+K2ββT)=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤r(α)≤1＜2．方法2°因為齊次方程組αTx=0有2個線性無關的解，設為η1，η2，那么αTη1=0，αTη2=0．若α，β線性相關，不妨設β=kα，那么βTη1=(kα)Tη1=kαTη1=0，βTη2=(kα)Tη2=kαTη2=0．于是Aη1=(ααT+ββT)η1=0，Aη2=(ααT+ββT)η2=0，即Ax=0至少有2個線性無關的解，因此n—r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．)解析：22.設A是n階矩陣，A2=E，證明：r(A+E)+r(A－E)=n．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由A2=E，得A2一E=0，即(A—E)(A+E)=0．故r(A—E)+r(A+E)≤n．又r(A—E)+r(A+E)=r(E一A)+r(A+E)≥r[(E—A)+(A+E)]=r(2E)=r(E)=n，所以r(A—E)+r(A+E)=n．)解析：23.已知A是m×n矩陣，B是n×P矩陣，r(B)=n，AB=0，證明A=0．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由r(B)=n，知B的列向量中有n個是線性無關的，設為β1，β2，…，βn．令B1=(β1，β2，…，βn)，它是n階矩陣，其秩是n，因此B1可逆．由AB=0，知AB1=0，那么右乘，得A=(AB1)=0．)解析：24.設A是n階實對稱矩陣，且A2=0，證明A=0．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為AT=A，A2=0，即AAT=0，而于是由=0，a1j均是實數(shù)，知a11=a12=…=a1n=0．同理知a2j≡0，…，anj≡0，j=1，2，…，n，A的元素全是0，所以A=0．)解析：25.判斷下列3維向量的集合是不是R3的子空間，如是子空間，則求其維數(shù)與一組基：(Ⅰ)W1={(x，y，x)｜x＞0}；(Ⅱ)W2={x，y，z)｜x=0}；(Ⅲ)W3={(x，y，z)｜x+y－2z=0}；(Ⅳ)W4：{(x，y，z)｜3x－2y+z=1}；(Ⅴ)W5={(x，y，z｜}．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：(Ⅰ)W1不是子空間，因為W1對數(shù)乘向量不封閉．例如α=(1，2，3)∈W1，但k＜0時，kα=(k，2k，3k)W1．(Ⅱ)W2是子空間．因為α=(0，a，b)，β=(0，c，d)∈W2，而α+β=(0，a+c，b+d)∈W2，kα=(0，ka，kb)∈W2，即W2對于運算封閉，W2是子空間．又(0，1，0)，(0，0，1)線性無關且能表示W(wǎng)2中任一向量，因而是W2的一組基，那么dimW2=2．(Ⅲ)W3是子空間，如α，β∈W3，即α，β是齊次方程x+y一2z=0的解．由于α+β，kα仍是解，故α+β∈W3，kα∈W3，W3對運算封閉，是子空間．(－1，1，0)，(2，0，1)是基礎解系，也就是W3的一組基，那么dimW3=2．(Ⅳ)W4不是子空間．因為非齊次方程組的解相加不再是此方程組的解，即W4對加法不封閉．(Ⅴ)W5不是子空間，因為條件等同于．)解析：解析：要判斷W是不是子空間，就是要檢查W對于向量的加法及數(shù)乘這兩個運算是否封閉．如W是子空間，則W中向量的極大線性無關組就是一組基，而向量組的秩就是子空間的維數(shù)．26.已知α1=(1，1，1，1)T，α2=(1，1，一1，一1)T，α3=(1，一1，1，一1)T，α4=(1，一1，一1，1)T是R4的一組基，求β=(1，2，1，1)在這組基下的坐標．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，按分量寫出，有因此，β在基α1，α2，α3，α4下的坐標是)解析：解析：求β在基α1，α2，α3，α4下的坐標，也就是求β用α1，α2，α3，α4線性表出時的組合系數(shù)．27.已知α1=是R3的一組基，證明β1=β3=也是R3的一組基，并求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由于｜β1，β2，β3｜==4≠0，所以β1，β2，β3線性無關，因此它是3維空間R3的一組基．設由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣為C，則(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C，故C=(α1，α2，α3)－1(β1，β2，β3)=)解析：解析：要證β1，β2，β3是3維空間的一組基，也就是要證β1，β2，β3線性無關．28.已知R3的兩組基α1=(1，0，一1)T，α2=(2，1，1)T，α3=(1，1，1)T與β1=(0，1，1)T，β2=(一1，1，0)T，β3=(1，2，1)T．(Ⅰ)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣；(Ⅱ)求γ=(9，6，5)T在這兩組基下的坐標；(Ⅲ)求向量δ，使它在這兩組基下有相同的坐標．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：(Ⅰ)設從基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣是C，則(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C，故C=(α1，α2，α3)－1(β1，β2，β3)=(Ⅱ)設γ在基β1，β2，β3下坐標是(y1，y2，y3)T，即y1β1+y2β2+y3β3=γ，亦即設γ在基α1，α2，α3下坐標是(x1，x2，x3)T，按坐標變換公式X=CY，有可見γ在這兩組基下的坐標分別是(1，2，4)T和(0，一4，5)T．(Ⅲ)設δ=x1α1+x2α2+x3α3=x1β1+x2β2+x3β3，即x1(α1一β1)+x2(α2一β2)+x3(α3一β3)=0．亦即所以，僅零向量在這兩組基下有相同的坐標．)解析：29.設x=Cy是坐標變換，證明x0≠0的充分必要條件是y0≠0．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：必要性(反證法)若y0=0，則0=Cy0=C0=0與已知x0≠0矛盾．故y0≠0．充分性(反證法)若x0=0，由Cy0=0，而y0≠0，知齊次線性方程組有非0解，那么系數(shù)行列式｜C｜=0，這與x=Cy是坐標變換，C為可逆矩陣相矛盾，故x0≠0．)解析：30.設B是秩為2的5×4矩陣，α1=(1，1，2，3)T，α2=(一1，1，4，一1)T，α3=(5，一1，一8，9)T是齊次線性方程組Bx=0的解向量，求Bx=0的解空間的一個規(guī)范正交基．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為秩r(B)=2，所以解空間的維數(shù)是n一r(B)=4—2=2．又因α1，α2線性無關，故α1，α2是解空間的一組基．令β1=α1=(1，1，2，3)T，β2=α2一β1=(一1，1，4，一1)T一(一4，2，10，一6)T，再單位化，得γ1==(一2，1，5，一3)T，即是解空間的一個規(guī)范正交基．)解析：31.已知α1=(1，2，0，一1)