電荷電流電場磁場運(yùn)動(dòng)

電磁學(xué)有三大實(shí)驗(yàn)定律：

庫侖定律安培定律法拉弟電磁感應(yīng)定律以此為基礎(chǔ)，麥克斯韋進(jìn)行了歸納總結(jié)，建立了描述宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律－麥克斯韋方程組

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場的邊界條件本章討論內(nèi)容2.1

電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型、電荷守恒定律電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運(yùn)動(dòng)）

源量為電荷

和電流

，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。

?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?

1897年英國科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電子。

?

1907—1913年間，美國科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實(shí)驗(yàn)，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19

(單位：C)確認(rèn)了電荷的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時(shí)，電荷常是數(shù)以億計(jì)的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實(shí)，而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度1.電荷體密度

單位：C/m3

(庫/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點(diǎn)電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷

若電荷分布在薄層上，當(dāng)僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計(jì)算該薄層內(nèi)的電場時(shí)，可將該薄層的厚度忽略，認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為

若電荷分布在細(xì)線上，當(dāng)僅考慮細(xì)線外、距細(xì)線的距離要比細(xì)線的直徑大得多處的電場，而不分析和計(jì)算線內(nèi)的電場時(shí)，可將線的直徑忽略，認(rèn)為電荷是線分布。線分布的電荷可用電荷線密度表示。

3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷q為

單位:C/m(庫/米)

對于總電荷為q

的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當(dāng)不分析和計(jì)算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計(jì)算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠(yuǎn)，即場點(diǎn)距源點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷所在的源區(qū)的線度時(shí)，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q

的點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷的電荷密度表示4.點(diǎn)電荷2.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定

電流，用I表示。存在可以自由移動(dòng)的電荷存在電場單位:A

（安）電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流

——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成，用i表示，其大小定義為：

單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：

電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2（安/米2）

。

一般情況下，在空間不同的點(diǎn)，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向2.面電流

電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m（安/米）

。通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運(yùn)動(dòng)的方向

Js是反映薄層中各點(diǎn)電流流動(dòng)情況的物理量，它形成一個(gè)空間矢量場分布

Js在某點(diǎn)的方向?yàn)樵擖c(diǎn)電流流動(dòng)的方向

Js在某點(diǎn)的大小為單位時(shí)間內(nèi)垂直通過單位長度的電量當(dāng)薄層的厚度趨于零時(shí)，面電流稱為理想面電流

只有當(dāng)電流密度J趨于無窮，面電流密度Js才不為零，即關(guān)于面電流密度的說明線電流密度當(dāng)電流沿一橫截面可以忽略的曲線流動(dòng)，電流被稱為線電流。長度元dl上的電流Idl稱為電流元。2.1.3

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點(diǎn)也無終點(diǎn)電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。例1：一個(gè)半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以均勻角速度繞一直徑旋轉(zhuǎn)。求：球內(nèi)的電流密度。解：建立球面坐標(biāo)系。例1：解：建立球面坐標(biāo)系。例2在球面坐標(biāo)系中，傳導(dǎo)電流密度為J=er10r-1.5(A/m),

求：（1）通過半徑r＝1mm的球面的電流值；（2）在半徑r=1mm的球面上電荷密度的增加率；（3）在半徑r=1mm的球體內(nèi)總電荷的增加率。解：（1）（2）在球面坐標(biāo)系中（3）由電荷守恒定律得2.2真空中靜電場的基本規(guī)律1.庫侖（Coulomb）定律(1785年)

2.2.1庫侖定律電場強(qiáng)度靜電場：由靜止電荷產(chǎn)生的電場。重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用。真空中靜止點(diǎn)電荷q1對q2的作用力:

，滿足牛頓第三定律。大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；多個(gè)電荷對一個(gè)電荷的靜電力是各電荷力的矢量疊加，即連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電力必須進(jìn)行矢量積分只給出了作用力的大小和方向，沒有說明傳遞方式或途徑對庫侖定律的進(jìn)一步討論大小與電量成正比、與距離的平方成反比，方向在連線上電場力服從疊加定理

真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷（分別位于）對點(diǎn)電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q72.電場強(qiáng)度

空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱試驗(yàn)電荷）受到的作用力，即如果電荷是連續(xù)分布呢？

根據(jù)上述定義，真空中靜止點(diǎn)電荷q

激發(fā)的電場為——描述電場分布的基本物理量

電場強(qiáng)度矢量——試驗(yàn)正電荷

小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場面密度為的面分布電荷的電場強(qiáng)度線密度為的線分布電荷的電場強(qiáng)度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度對電場強(qiáng)度的進(jìn)一步討論電場強(qiáng)度形成矢量場分布，各點(diǎn)相同時(shí)，稱為均勻電場電場強(qiáng)度是單位點(diǎn)電荷受到的電場力，它只與產(chǎn)生電場的電荷有關(guān)此式對靜電場和時(shí)變電場均成立點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場單個(gè)點(diǎn)電荷在空間任意點(diǎn)激發(fā)的電場為

N個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)在空間任意點(diǎn)激發(fā)的電場為3.幾種典型電荷分布的電場強(qiáng)度（無限長）（有限長）均勻帶電圓環(huán)均勻帶電直線段均勻帶電直線段的電場強(qiáng)度：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強(qiáng)度：——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度為

電偶極子的電場強(qiáng)度：

例2.2.1

計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點(diǎn)的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于2.2.2靜電場的散度與旋度高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。靜電場的散度（微分形式）1.靜電場散度與高斯定理靜電場的高斯定理（積分形式）環(huán)路定理表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關(guān)。靜電場的旋度（微分形式）2.靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理（積分形式）對環(huán)路定理的討論

空間中靜電場旋度處處為零，靜電場中不存在旋渦源，電力線不構(gòu)成閉合回路

靜電場沿任意閉合回路的積分都為零電場旋度和電場強(qiáng)度是不同的兩個(gè)物理量，從不同角度描述同一個(gè)物理對象

雖然空間中電場的旋度處處為零，但電場卻可能存在，二者沒有必然的聯(lián)系

在電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度。

3.利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。均勻帶電球體帶電球殼多層同心球殼

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。(a)(b)例2.2.2

求真空中均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為

0。解：（1）球外某點(diǎn)的場強(qiáng)（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場強(qiáng)ar

0rrEa(r≥a)（r<a）例2.2.3求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有分析：電場方向垂直圓柱面。電場大小只與r有關(guān)。2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律1.

安培力定律

安培對電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，在1821—1825年之間，設(shè)計(jì)并完成了電流相互作用的精巧實(shí)驗(yàn)，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。

實(shí)驗(yàn)表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度

滿足牛頓第三定律2.磁感應(yīng)強(qiáng)度

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場，描述磁場分布的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T（特斯拉）。

磁場的重要特征是對場中的電流磁場力作用，載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度任意電流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度對微分形式安培力定律的討論兩個(gè)電流元之間靜磁力的大小與電流元成正比、與距離的平方成反比，方向由電流元方向及二者連線方向確定

dF12≠－dF21，這與庫存侖定律不同。這是因?yàn)楣铝⒌姆€(wěn)恒電流元根本不存在，僅僅是數(shù)學(xué)上的表示方法而已兩個(gè)電流環(huán)的相互作用力在回路C1上式積分，得到回路C1作用在電流元I2dl2上的力再在C2上對上式積分，即得到回路C1對回路C2的作用力安培力定律的積分形式②對安培力定律的討論

滿足牛頓第三定律只給出作用力的大小和方向，沒說明作用力如何傳遞

磁感應(yīng)強(qiáng)度磁力是通過磁場來傳遞的電流或磁鐵在其周圍空間會(huì)激發(fā)磁場B，當(dāng)另外的電流或磁鐵處于這個(gè)磁場中時(shí)，會(huì)受到力（磁力）的作用處于磁場中的電流元Idl所受的磁場力dF與該點(diǎn)磁場B、電流元強(qiáng)度和方向有關(guān)，即③例

2.3.1有限長直線電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：在導(dǎo)線上任取電流元Idl，其方向沿著電流流動(dòng)的方向，即z方向。由比奧—薩伐爾定律，電流元在導(dǎo)線外一點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為其中當(dāng)導(dǎo)線為無限長時(shí)，

1→0，

2→

3.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度載流直線段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)

，而場點(diǎn)P

的位置矢量為，故得

解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計(jì)算方便取線電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場點(diǎn)為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)上的電流元為,其位置矢量為

例2.3.2

計(jì)算線電流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

載流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)閳A環(huán)上各對稱點(diǎn)處的電流元在場點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時(shí)，因

，故由于

，所以

在圓環(huán)的中心點(diǎn)上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即2.3.2

恒定磁場的散度和旋度

1.

恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無源場，磁感應(yīng)線是無起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線。恒定場的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁場的旋渦源。恒定磁場的旋度（微分形式）2.恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）

恒定磁場的性質(zhì)

無源（無散）場。磁力線無頭無尾且不相交有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力線構(gòu)成閉合回路對安培環(huán)路定理的討論

空間任意點(diǎn)磁場的旋度只與當(dāng)?shù)氐碾娏髅芏扔嘘P(guān)恒定電流是靜磁場的旋渦源，電流激發(fā)旋渦狀的靜磁場，并決定旋渦源的強(qiáng)度和旋渦方向磁場旋度與磁場是不同的物理量，它們的取值沒有必然聯(lián)系。沒有電流的地方，磁場旋度為零，但磁場不一定為零任意回路上恒定磁場的回路積分，等于穿過回路所圍區(qū)域的總電流強(qiáng)度解：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖根據(jù)對稱性，有，故

在磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。

3.利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.3.2

求電流面密度為的無限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解

選用圓柱坐標(biāo)系，則應(yīng)用安培環(huán)路定理，得例2.3.3

求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。取安培環(huán)路，交鏈的電流為應(yīng)用安培環(huán)路定律，得2.4媒質(zhì)的電磁特性

1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象

電介質(zhì)的分子分為無極分子和有極分子。在電場作用下，介質(zhì)中無極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。2.4.1

電介質(zhì)的極化電位移矢量無極分子

有極分子無外加電場媒質(zhì)對電磁場的響應(yīng)可分為三種情況：極化、磁化和傳導(dǎo)。描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：

介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。無極分子有極分子有外加電場

E2.極化強(qiáng)度矢量

極化強(qiáng)度矢量

是描述介質(zhì)極化程度的物理量，定義為

——分子的平均電偶極矩

的物理意義：單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。

極化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場強(qiáng)度成正比，即

——電介質(zhì)的電極化率

E

由于極化，正、負(fù)電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時(shí)在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷(1)

極化電荷體密度

在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過S的分子對S內(nèi)的極化電荷有貢獻(xiàn)。由于負(fù)電荷位于斜柱體內(nèi)的電偶極矩才穿過小面元dS

，因此dS對極化電荷的貢獻(xiàn)為S所圍的體積內(nèi)的極化電荷為

E

S(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合曲面，則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為

對介質(zhì)極化問題的討論

P=常數(shù)時(shí)稱為均勻極化，此時(shí)介質(zhì)內(nèi)部不會(huì)出現(xiàn)極化電荷，極化電荷只會(huì)出現(xiàn)在介質(zhì)表面上均勻介質(zhì)內(nèi)部一般不存在極化電荷自由電荷所在地一定有極化電荷出現(xiàn)電位移矢量和電介質(zhì)中的高斯定理當(dāng)介質(zhì)中出現(xiàn)極化電荷的時(shí)候，極化電荷會(huì)產(chǎn)生與自由電荷相同的電場，即有介質(zhì)中的高斯定理4.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理

介質(zhì)的極化過程包括兩個(gè)方面：外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果

介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加，應(yīng)用高斯定理得到：任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

小結(jié)：靜電場是有源無旋場，電介質(zhì)中的基本方程為

引入電位移矢量（單位：C/m2)將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有則有

其積分形式為

（積分形式）

（微分形式），

在這種情況下其中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)（無量綱）。*

介質(zhì)有多種不同的分類方法，如：均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時(shí)變和時(shí)不變介質(zhì)線性和非線性介質(zhì)確定性和隨機(jī)介質(zhì)5.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

極化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對于線性各向同性介質(zhì)，

和

有簡單的線性關(guān)系駐極體：外場消失后，仍保持極化狀態(tài)的電介質(zhì)體。解：在駐極體內(nèi)：駐極體在表面上：例2.4.1

求半徑為a，永久極化強(qiáng)度為的球形駐極體中的極化電荷分布。已知：例2.4.2

半徑為a的球形電介質(zhì)體，其相對介電常數(shù)若在球心處存在一點(diǎn)電荷Q，求極化電荷分布。解：由高斯定律，可以求得在媒質(zhì)內(nèi)：體極化電荷分布:面極化電荷分布:在球心點(diǎn)電荷處：例2.4.3

在線性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量的z分量為，極化強(qiáng)度求：介質(zhì)中的電場強(qiáng)度和電位移矢量。解：由定義，知：解：例2.4.4

內(nèi)外半徑分別為a和b的空心極化介質(zhì)球中，已知極化強(qiáng)度，P0為常數(shù)，求

P和

SP。r=b球面上r=a球面上Oab例2.4.5

半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)充滿分布不均勻的體密度電荷，設(shè)其體密度為

(r)。若已知電場分布為式中的A為常數(shù)，試求電荷體密度

(r)。解：由高斯定律的微分形式，得將E的散度在球坐標(biāo)系中展開，得例2.4.6同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b。內(nèi)外導(dǎo)體間充滿介電常數(shù)分別為和的兩種理想介質(zhì)，分界面半徑為c。已知外導(dǎo)體接地，內(nèi)導(dǎo)體電壓為U。求:(1)導(dǎo)體間的和分布；(2)同軸線單位長度的電容分析：電場方向垂直于邊界，由邊界條件可知，在媒質(zhì)兩邊連續(xù)解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量為由高斯定律，可以求得兩邊媒質(zhì)中，（2）同軸線單位長度帶電量為，故單位長度電容為例2.4.7球形電容器內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外球殼半徑為b。其間充滿介電常數(shù)為和的兩種均勻媒質(zhì)。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為q，外球殼接地，求球殼間的電場和電位分布。分析：電場平行于介質(zhì)分界面，由邊界條件可知，介質(zhì)兩邊相等。解：令電場強(qiáng)度為，由高斯定律應(yīng)用高斯定理求解邊值問題步驟：1)根據(jù)電荷分布，判斷電場方向；2)判斷電場方向與邊界面關(guān)系（垂直或相切）；3)應(yīng)用邊界條件，判斷是連續(xù)還是連續(xù)。4)應(yīng)用高斯公式求解，一般用求解2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)形成分子電流，形成分子磁矩?zé)o外加磁場外加磁場B

在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。

無外磁場作用時(shí)，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。B2.磁化強(qiáng)度矢量

磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。3.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻(xiàn)。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)，所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質(zhì)表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量對介質(zhì)磁化問題的討論

M=常數(shù)時(shí)稱為均勻磁化，此時(shí)磁介質(zhì)內(nèi)部不會(huì)出現(xiàn)磁化電流，磁化電流只會(huì)出現(xiàn)在磁介質(zhì)表面上均勻磁介質(zhì)內(nèi)部一般不存在磁化電流傳導(dǎo)電流所在地一定有磁化電流出現(xiàn)磁場強(qiáng)度和磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理介質(zhì)中的磁化電流會(huì)產(chǎn)生與恒定電流相同的磁效應(yīng)，即有介質(zhì)中的安培環(huán)路定理4.磁場強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有,即

外加磁場使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，兩種相互作用達(dá)到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵(lì)的結(jié)果：定義磁場強(qiáng)度為：則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場是有源無旋場，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，稱為介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率（無量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

磁化強(qiáng)度

和磁場強(qiáng)度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對于線性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡單的線性關(guān)系：磁場強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.4.8

有一磁導(dǎo)率為μ

，半徑為a的無限長導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解

磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得例2.4.9半徑為a的磁化介質(zhì)球球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，磁化強(qiáng)度為，A和B為常數(shù)，求JM和J

SM。解：r=a球面上所以z

e

Oereza例2.4.10半內(nèi)、外半徑分別為

內(nèi)=a和

外=b的圓筒形磁介質(zhì)中，沿軸向有電流密度為J=ezJ0的傳導(dǎo)電流。設(shè)磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為

，求磁化電流分布。bazJ

解：利用安培環(huán)路定理得例2.4.11

無限長線電流位于z軸，介質(zhì)分界面為平面，求空間的分布和磁化電流分布。分析：電流呈軸對稱分布?？捎冒才喹h(huán)路定律求解。磁場方向沿方向。解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，在分界面兩邊，連續(xù)而不連續(xù)。由安培環(huán)路定律：求磁化電流：介質(zhì)磁化強(qiáng)度為：體磁化電流為：面磁化電流為：在介質(zhì)內(nèi)r=0位置，還存在磁化線電流Im。由安培環(huán)路定律，有：分析:可由電流守恒的關(guān)系求例2.4.12

如圖，鐵心磁環(huán)尺寸和橫截面如圖，已知鐵心磁導(dǎo)率，磁環(huán)上繞有N匝線圈，通有電流I。求:(1)磁環(huán)中的，和。

(2)若在鐵心上開一小切口，計(jì)算磁環(huán)中的，和。解：(1)由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得

(2)開切口后，在切口位置為邊界問題。在切口處，磁場垂直于邊界面，由邊界條件知在分界面上連續(xù)，不連續(xù)。由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得由于鐵心很細(xì)，可近似認(rèn)為磁力線均勻分布在截面上。2.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性

對于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度矢量J和電場強(qiáng)度E成正比，表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是S/m（西/米）。晶格帶電粒子

存在可以自由移動(dòng)帶電粒子的介質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動(dòng)電流。

2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.5.1電磁感應(yīng)定律

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開始研究相反的問題，即磁場能否產(chǎn)生電流。

1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢，且感應(yīng)電動(dòng)勢與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。

電磁感應(yīng)定律——揭示時(shí)變磁場產(chǎn)生電場。位移電流——揭示時(shí)變電場產(chǎn)生磁場。

重要結(jié)論：在時(shí)變情況下，電場與磁場相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場。負(fù)號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過回路的磁通為

當(dāng)通過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量

發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

in的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢可表示為感應(yīng)電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場。感應(yīng)電場是有旋場。

感應(yīng)電場不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有因而有

對感應(yīng)電場的討論：相應(yīng)的微分形式為(1)

回路不變，磁場隨時(shí)間變化這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。

若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場,則總電場應(yīng)為與之和，即。由于，故有2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場隨時(shí)間變化引起，因此有稱為動(dòng)生電動(dòng)勢，這就是發(fā)電機(jī)工作原理。(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場中運(yùn)動(dòng)(3)

回路在時(shí)變磁場中運(yùn)動(dòng)

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)。

解：(1)均勻磁場

隨時(shí)間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢是由磁場變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1

長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)而隨時(shí)間增大；

(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢是由磁場變化以及可滑動(dòng)導(dǎo)體L在磁場中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得

(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體以勻速運(yùn)動(dòng)，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢全部是由導(dǎo)體L在磁場中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得或

（1）線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢；

解:

（1）線圈靜止時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢是由時(shí)變磁場引起，故

（2）線圈以角速度ω繞x

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢。例2.5.2

在時(shí)變磁場中，放置有一個(gè)的矩形線圈。初始時(shí)刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時(shí)變磁場中的矩形線圈

假定時(shí)，則在時(shí)刻t時(shí)，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計(jì)算

（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，的指向?qū)㈦S時(shí)間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢可以用兩種方法計(jì)算。

上式右端第一項(xiàng)與(1)相同，第二項(xiàng)xyzabB時(shí)變磁場中的矩形線圈12234

方法二：利用式計(jì)算。

在時(shí)變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時(shí)間變化的磁場要產(chǎn)生電場，那么隨時(shí)間變化的電場是否會(huì)產(chǎn)生磁場？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）

（時(shí)變場）1.全電流定律而由

非時(shí)變情況下，電荷分布隨時(shí)間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時(shí)變的情況下不適用

解決辦法：對安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決

時(shí)變電場會(huì)激發(fā)磁場全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個(gè)對偶關(guān)系。2.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無傳導(dǎo)電流，但有位移電流。在理想導(dǎo)體中，無位移電流，但有傳導(dǎo)電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時(shí)變電場產(chǎn)生磁場這一重要的物理概念。

例2.5.3

海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時(shí)，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場隨時(shí)間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強(qiáng)度。

例

2.5.4

自由空間的磁場強(qiáng)度為

解

自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得

例2.5.5

銅的電導(dǎo)率、相對介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴(kuò)展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。解：銅中存在時(shí)變電磁場時(shí)，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為2.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程。

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場麥克斯韋第三方程表明磁場是無源場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場2.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為時(shí)變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時(shí)變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場的電場和磁場不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——

電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個(gè)分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。在無源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為

可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號，而正是這個(gè)負(fù)號使得電場和磁場構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場減小時(shí)，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當(dāng)電場增大時(shí)，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。麥克斯韋方程組時(shí)變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場(EM)準(zhǔn)靜電場(EQS)準(zhǔn)靜磁場(MQS)靜磁場(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(ES)恒定電場(SS)

解：(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個(gè)極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r

處的磁場強(qiáng)度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流，故得(2)以r為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為

例2.6.2

在無源的電介質(zhì)中，若已知電場強(qiáng)度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，并求出與相應(yīng)的其他場矢量。

解：是電磁場的場矢量，應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，以及與相應(yīng)的其他場矢量。對時(shí)間

t積分，得由以上各個(gè)場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式

2.7電磁場的邊界條件

什么是電磁場的邊界條件?為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2如何討論邊界條件?實(shí)際電磁場問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋