九年級(jí)（上）《旋轉(zhuǎn)》數(shù)學(xué)試卷（高難度）含答案

人教版九年級(jí)（上）《旋轉(zhuǎn)》數(shù)學(xué)試卷（高難度）

選擇題（共9小題）

1.如圖，指針0A，。8分別從與x軸和y軸重合的位置出發(fā)，繞著原點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，已

知0A每秒轉(zhuǎn)動(dòng)45°,08的轉(zhuǎn)動(dòng)速度是0A的工，則第2020秒時(shí)，OA與08之間夾角

2.如圖，△ABC中，N4=30°,ZACB=90°,BC=2,。是AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段CZ）

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE,連接BE,則BE的最小值是（）

D.2

3.如圖，ZVIOB為等腰三角形，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（2,如）,底邊OB在x軸上.將aAOB

繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A在x軸上，則點(diǎn)（7的坐

標(biāo)為（）

。?管,W3）口.翁,誓）

4.如圖，在△ABC中，AB=a，AC=M，ZBAC=30°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°得到△ABiG，連接8。，則8G的長(zhǎng)為（）

D.4

5.如圖，菱形4BCD的邊長(zhǎng)為4,NA=60°,E是邊4。的中點(diǎn)，尸是邊AB上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EG,連接BG、CG,則BG+CG的最小值為

()

A.3aB.277C.473D.2+2料

6.如圖，四邊形48CC為正方形，AB=1,把AABC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AER

c.喙D.喙

7.如圖，ZXABC是等邊三角形，AB=4,E是AC的中點(diǎn)，。是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段

E￡＞繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段EF,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，則4F的最小值為（)

A.2B.2aC.5/3D.V3+1

8.如圖，在矩形ABC。中，A8=3,BC=4,P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接QP,將直線

DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使/OPG=ZDAC,且過(guò)D作DGLPG,連接CG,則CG最小值

為（）

C-f

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2,0）,B（5,0）,點(diǎn)尸為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且

PA=2,以尸B為邊作等邊則線段4M的最大值為（）

VA

Bx

D.V21

二.填空題（共13小題）

10.如圖，長(zhǎng)方形ABC。中，AB=6,BC=」且E為BC上一點(diǎn)、,且BE=3,F為AB邊

22

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG,

則CG的最小值為.

11.如圖，在平行四邊形ABCC中，48=2,乙4BC=45°,點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連

接BE,將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至I」BF,連接AF,則AF的最小值是.

AE

12.如圖，點(diǎn)。為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NBQC=120°,則他的最小值為

BD

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線了=〃/-6ar+5a

（a是常數(shù)，且a>0）過(guò)點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、2,點(diǎn)4在點(diǎn)8的左邊，連接AC,以

AC為邊作等邊三角形AC￡>,點(diǎn)D與點(diǎn)。在直線AC兩側(cè)，連接BD,則BD的最小值

是.

14.如圖，已知aABC中，ZBAC=120°,AB=AC=2我.D為BC邊一點(diǎn)、,且B。：DC

=1：2.以。為一個(gè)點(diǎn)作等邊△￡）￡：凡且。E=DC連接AE,將等邊△OEF繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)

一周，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE取得最大值時(shí)AF的長(zhǎng)為.

15.如圖，等邊4ABC內(nèi)有一點(diǎn)。，0A=3,OB=4,OC=5,以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心將8。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO',連接AO',下列結(jié)論：①△ABO'可以看成是ABOC

繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的：②點(diǎn)。與0'的距離為5；③NAO8=150°：④S四邊

形AOBO=6+4&；@SAAOC^SAAOB=6+-1T3-其中正確的結(jié)論有.（填正確序號(hào)）

A

/\

0

BC

16.如圖，在正方形ABC。中，AB=2,以。為圓心，A。為直徑向外作半圓，點(diǎn)P是半圓

上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q,則線段AQ的最大值是

17.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3,BC=4,E為BC上一點(diǎn),且8E=1,尸為A2邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG,

則CG的最小值為.

18.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,NB=120°,E是BC的中點(diǎn)，尸是對(duì)角線4c上的動(dòng)

點(diǎn)，連結(jié)EF,將線段EF繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,G為點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連結(jié)CG,貝UCG

的最小值為.

19.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中AB=2,BC=4,正方形AE尸G的邊長(zhǎng)為1.正方形繞點(diǎn)

4旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段CF的長(zhǎng)的最小值為.

20.如圖，正方形A8CQ的對(duì)角線AC與BZ）相交于點(diǎn)E,正方形EFGH繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),直線

FB與直線C”相交于點(diǎn)P,若A6=2,NQBP=75°,則。尸的值是.

21.四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn).且滿足BPLPC,現(xiàn)將點(diǎn)P

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則CQ的最大值=

n

22.如圖，在平行四邊形A8C。中，/4=45°,AB=4,AZ)=2加,M是A￡>邊的中點(diǎn),

N是A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至MN',連接MB,N'C,

則VB+N'C的最小值是.

23.如圖，已知RtZIiABC中，ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=?,AO是RtZ\A8C的

角平分線，把RtZ\ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(30°<a<180°),得至URtAEBF(E

與A對(duì)應(yīng)，F(xiàn)與C對(duì)應(yīng))，線段A￡)同時(shí)也旋轉(zhuǎn)到EG(G與。對(duì)應(yīng)).

(1)求8。的長(zhǎng)；

(2)若射線EG經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，連接AG,判斷四邊形AO8G的形狀，說(shuō)明理由；

(3)連接。F,點(diǎn)M是線段。下的中點(diǎn)，若射線EG經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,并交直線BC于點(diǎn)K,

24.如圖1,點(diǎn)B在線段CE上，RtAABC^RtACEF,NABC=NCEF=90°,NBAC=30°,

BC=1.

(1)點(diǎn)尸到直線CA的距離是；

(2)固定△ABC,將/繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°,使得C尸與C4重合，并停

止旋轉(zhuǎn).

①請(qǐng)你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫(huà)出線段EF經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形(用陰影表示,

保留畫(huà)圖痕跡，不要求寫(xiě)畫(huà)法).該圖形的面積為；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段C尸與A8交于點(diǎn)O,當(dāng)0E=08時(shí)，求。尸的長(zhǎng).

25.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，已知A(4,0)、B(1,3),直線/是繞著△OAB的頂點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)，與)，軸相交于點(diǎn)尸，探究解決下列問(wèn)題：

(1)如圖1所示，當(dāng)直線/旋轉(zhuǎn)到與邊。2相交時(shí)，試用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)確定點(diǎn)P

的位置，使頂點(diǎn)。、8到直線/的距離之和最大(保留作圖痕跡)；

(2)當(dāng)直線/旋轉(zhuǎn)到與y軸的負(fù)半軸相交時(shí)，使頂點(diǎn)0、B到直線/的距離之和最大，

請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)是.(可在圖2中分析)

圖1圖2

26.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn),連接CE,將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得至IJEG,過(guò)點(diǎn)G作GF_LCB,垂足為凡GHA.AB,垂足為H,連接。G,交AB于/.

(1)求證：四邊形8FGH是正方形；

(2)求證：ED平分NCEI；

(3)連接/E,若正方形A8CC的邊長(zhǎng)為3底,則ABE/的周長(zhǎng)為

27.如圖1,已知。為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F,OD到點(diǎn)E,使OF=2OA,

OE=2OD,連結(jié)EF,將△尸OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到△/OE'(如圖2).

(1)探究4E與BE的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(2)當(dāng)a=30°時(shí)，求證：△AOE為直角三角形.

BCB

圖1圖2

28.(1)如圖1,。是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接。4、OB、0C,且。4=3,0B=4,0C=5,

將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接0D.

求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);

②線段0D的長(zhǎng)；

③求NBOC的度數(shù).

(2)如圖2所示，。是等腰直角△ABC(NABC=90°)內(nèi)一點(diǎn)，連接。A、OB、0C,

將△540繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接0D.當(dāng)0A、OB、0C滿足什么條件時(shí),

ZODC=90°?請(qǐng)給出證明.

29.在如圖的方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,4ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在建立平面

直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,2).

(1)把△ABC向下平移8個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△AiSG，畫(huà)出△AiBiCi，并寫(xiě)出A］坐

標(biāo)是.

(2)以原點(diǎn)0為對(duì)稱(chēng)中心，畫(huà)出與aABC關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱(chēng)的AA282c2,并寫(xiě)出&坐標(biāo)

是.

30.把兩個(gè)全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG（其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖

1）,且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG

繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：0°<a<90°）,四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)

程中兩三角板的重疊部分（如圖2）.在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)

（1）觀察猜想

將圖1中的三角尺OCO沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，CD與

MN相交于點(diǎn)E,則/CEN=°.

（2）操作探究

將圖1中的三角尺OCO繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使一邊。。在NMON的內(nèi)部，如圖

3,且。。恰好平分NMOMCQ與相交于點(diǎn)E,求NCEN的度數(shù)；

（3）深化拓展

將圖1中的三角尺OC。繞點(diǎn)O按沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)邊OC

旋轉(zhuǎn)°時(shí)，邊C。恰好與邊平行.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

32.已知，在等邊△ABC中，點(diǎn)￡在B4的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在BC上，且EQ=EC

（1）如圖1,求證：AE=DB；

（2）如圖2,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACP（點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A、

F）,連接EF.在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中四對(duì)線段，使每對(duì)線段長(zhǎng)

度之差等于AB的長(zhǎng).

（圖1）（圖2）

33.問(wèn)題：如圖①，在等邊三角形A8C內(nèi)有一點(diǎn)P,且幺=2,PB=M，PC=\,求/BPC

的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖②），

連接PP',可得△2’P8是等邊三角形，而A又是直角三角形（由勾股定理的逆

定理可證），可得NAP'B=°,所以/BPC=/AP'B=°,還可證得

△ABP是直角三角形，進(jìn)而求出等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，問(wèn)題得到解決.

（1）根據(jù)李明同學(xué)的思路填空：ZAP1B=°,ZHPC=ZAP'B=°,

等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為.

（2）探究并解決下列問(wèn)題：如圖③，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且%=依，PB=、歷,

PC=\.求NBPC的度數(shù)和正方形4BCO的邊長(zhǎng).

34.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)8和點(diǎn)￡）的坐標(biāo)分別為Gn,0）,（〃,

4),且mNO,四邊形A8CO是菱形.

(1)如圖，當(dāng)四邊形408為正方形時(shí)，求〃的值.

(2)探究：當(dāng)相為何值時(shí)，菱形A8C。的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度最短，并求出AC的最小值.

35.問(wèn)題的提出:

如果點(diǎn)P是銳角AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，如何確定一個(gè)位置，使點(diǎn)P到AABC的三頂點(diǎn)的距離

之和%+P8+PC的值為最?。?/p>

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：

把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△APC',連接PP',這樣就把確定B4+PB+PC

的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定3P+PP'+尸'C的最小值的問(wèn)題了，請(qǐng)你利用圖1證明：

PA+PB+PC=BP+PP'+P'C.

當(dāng)點(diǎn)P到銳角^ABC的三頂點(diǎn)的距離之和以+P8+PC的值為最小時(shí)，請(qǐng)你用一定的數(shù)量

關(guān)系刻畫(huà)此時(shí)的點(diǎn)P的位置______.

問(wèn)題的延伸：如圖2是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2,點(diǎn)尸是這個(gè)三

角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你利用以上方法，求點(diǎn)尸到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

36.已知：如圖，在△ABC中，ZBAC=120°,以BC為邊向形外作等邊三角形BCD,把

△A8。繞著點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECQ,且A、C、E三點(diǎn)共線，若AB=

3,AC=2,求NBA。的度數(shù)與AO的長(zhǎng).

37.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且A￡)_LMN于。，BEV

MN于E.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE.

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出

證明；若不成立，說(shuō)明理由.

38.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。與邊長(zhǎng)

為2&的正方形AEFG按圖1位置放置，4。與4E在同一直線上，AB與AG在同一直

線上.

(1)小明發(fā)現(xiàn)OG_L8E,請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；

(2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)8恰好落在線段QG上時(shí),

請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng).

39.將兩塊全等的含30°角的直角三角形按圖1的方式放置，已知/8AC=ZBiACi=30°,

則AB=2BC.

(1)固定三角板A181C,然后將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，AB

與AC、4B1分別交于點(diǎn)。、E,4c與AiBi交于點(diǎn)￡

①填空：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于20°時(shí)，NBCBi=.度;

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時(shí)，AB與垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)將圖2中的三角板A8C繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，使AB〃CB|,AB與

41c交于點(diǎn)。，試說(shuō)明AiO=CD

40.如圖，已知△54。絲△BCE,

OE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.

(1)如圖1,當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，判斷AC與CN數(shù)量關(guān)系為.

(2)將圖1中ABCE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，(I)中的結(jié)論是否仍成立？若成

立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CAN能否為等腰直角三角

形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角度；若不能，說(shuō)明理由.

41.將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置，己知NBAC=/B|AiC=30°,

AB=2BC.

(1)固定三角板AiSC,然后將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，AB

與4C、AiBi分別交于點(diǎn)。、E,4c與ABi交于點(diǎn)反

①填空：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于20°時(shí)，NBCBi=度；

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時(shí)，A3與4功垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)將圖2中的三角板A8C繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，使A8〃CB|,A8與

41c交于點(diǎn)。，試說(shuō)明AiO=CD

42.在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AQ_LMN于。，BEX.

MN于E,

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時(shí)，顯然有：DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí)，試問(wèn)。E、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)

系？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系.

43.如圖，在三角形48c中，A8=AC,點(diǎn)。在△ABC內(nèi)，且/AO8=90°.

(1)如圖1,若/54。=30°,AO=3?,點(diǎn)E、尸分別為48、BC邊的中點(diǎn)，連接EF,

求線段EF的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若△ABD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后能與aACG重合，連接G。并延

長(zhǎng)交8C于點(diǎn)H,連接AH,求證：NDAH=NDBH.

44.如圖，△ABC中，AB=AC,/8AC=36°,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a(0°

<a<180°)得到△△￡)￡：,連接CE,BD,BD與AC交于點(diǎn)F.

(1)求證：BD=CE；

(2)當(dāng)a等于多少度時(shí)，四邊形AFDE是平行四邊形？并說(shuō)明理由.

45.如圖，在等邊△BCZ)中，OFJ_BC于點(diǎn)F,點(diǎn)A為直線OF上一動(dòng)點(diǎn)，以B為旋轉(zhuǎn)中心,

把BA順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至BE,連接EC.

(1)當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①求證：DA=CE-,

②判斷NOEC和/EDC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)NDEC=45°時(shí)，連接AC,求/84C的度數(shù).

46.己知如圖，△AOC和△BOE均為等腰三角形，ZCAD=ZDBE,AC=A。，BD=BE,

連接CE,點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線與線段AG延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)A,D,8三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證：G為A尸的中點(diǎn)；

(2)將圖1中△83E繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，點(diǎn)A,D,G,尸在同一直線上，點(diǎn)H

在線段AF的延長(zhǎng)線上，且EF=EH,連接AB,BH,試判斷△AB”的形狀，并說(shuō)明理由.

47.如圖，將矩形48CC繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到矩形AEFG,E點(diǎn)正好落在邊C。

上，連接BE,BG,且BG交AE于P.

(1)求證：NCBE=L/BAE；

2

(2)求證：BG=2PB；

(3)若48=a1，BC=3,直接寫(xiě)出BG的長(zhǎng).

在AB邊上且NAQC=

(1)求NBC。的度數(shù);

(2)將圖①中的△BCQ繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BC'D'.當(dāng)點(diǎn)￡>'恰好落在8c邊

上時(shí)，如圖②所示，連接C'C并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E.

①求NC'CB的度數(shù)；

②求證：XCB/)'彩△C4E.

49.如圖1,正方形A88與正方形AEFG的邊A3、AECAB<AE)在一條直線上，正方形

A￡FG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)

4重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG.

(1)當(dāng)正方形4EFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG；

(2)如圖3,如果a=45°,AB=2,AE=4料，求點(diǎn)G到BE的距離.

50.如圖，矩形ABCO中，點(diǎn)后在4。邊上，過(guò)點(diǎn)E作4B的平行線，交BC于點(diǎn)、F,將矩

形ABFE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊CD上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N落在邊

BC上.

(1)求證：BF=NF；

(2)己知AB=2,AE=\,求EG的長(zhǎng)；

(3)已知NMEF=30°,求區(qū)?的值.

AB

人教版九年級(jí)（上）《旋轉(zhuǎn)》數(shù)學(xué)試卷（高難度）

參考答案與試題解析

選擇題（共9小題）

1.如圖，指針0A,08分別從與x軸和y軸重合的位置出發(fā)，繞著原點(diǎn)0順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，已

知0A每秒轉(zhuǎn)動(dòng)45°,0B的轉(zhuǎn)動(dòng)速度是0A的工，則第2020秒時(shí)，OA與OB之間夾角

【解答】解：設(shè)/秒第一次相遇.

由題意：270+15f=45r,

解得f=9,

相遇后設(shè)相秒第二次相遇，則有45L15f=360,

解得尸⑵

以后每過(guò)12秒相遇一次，

（2020-9）+12=167…7,

二2020秒時(shí)，7X45°-7X15°=210°,

此時(shí)OA與OB的夾角為150°

故選：C.

2.如圖，△A3C中，ZA=30°,ZACB=90Q,BC=2,。是A5上的動(dòng)點(diǎn)，將線段C。

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE,連接8E,則BE的最小值是（）

C

>E

ADB

A.V3-1B.C.5/3D.2

2

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CK±AB于K,將線段CK繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到

CH,連接HE,延長(zhǎng)HE交AB的延長(zhǎng)線于J.

VZDCE=ZKCH=90Q,

：.NDCK=ZECH,

,:CD=CE,CK=CH,

:.△CKD"/\CHE（SAS）,

:.NCKD=NH=90°,

VZCKJ=ZKCH=Z/7=90°,

四邊形CKJ”是矩形，

,:CK=CH,

/.四邊形CKJH是正方形，

...點(diǎn)E在直線田上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與1/重合時(shí)，BE的值最小，

在Rt^CBK中，,:BC=2,N48c=60°,

.,.CK=BC.sin60°=?,BK=BC-cos60Q=1,

:.KJ=CK=M

:.BJ=KJ-BK=6-I,

的最小值為百-1,

補(bǔ)充方法：AC上截取C尸=2,得三角形CFD全等于三角形C8E,OF在。尸垂直AB時(shí)

最小.

故選：A.

3.如圖，△AOB為等腰三角形，頂點(diǎn)4的坐標(biāo)（2,遍），底邊。8在x軸上.將△AOB

繞點(diǎn)8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得△ACTS,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A在x軸上，則點(diǎn)。的坐

標(biāo)為（）

A-翁，學(xué)）B.甥，茅）。.甥，娠）D.翁,挈）

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作ACLOB于C,過(guò)點(diǎn)。'作O'DLA'B于。，

VA（2,遙），

；.0C=2,AC=45,

由勾股定理得，0A={*+卜。2={22+（述）2=3,

???△A0B為等腰三角形，0B是底邊,

：.OB=2OC=2X2=4,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，B0'=。8=4,ZA'BO'=ZAB0,

，sinNAB0=sin/。'BD,

.AC_07Dz

''ABBO'

：.O'D=^^,

3_____________

BD={BO,2_D（T2=』2_（^1）2=_1,

0D=08+8。=4+且=雪

33

???點(diǎn)?！淖鴺?biāo)為（22,2逅）.

33

故選：D.

4.如圖，在△ABC中，AB=、/E，AC=M，N8AC=30°,將△A8C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°得到△ABiG，連接8Q,則BG的長(zhǎng)為（）

a

V

BB,

A.3B.2MC.2-/2D.4

【解答】解：?將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A8]C”AB=依，AC=M，

.?.NCAG=60。，AC=4CI=F，

；NBAC=30°,

：.ZBACi=30°+60°=90°,

在Rt^BAG中，由勾股定理得：BC尸JAB2+AC[2=J(五產(chǎn)+(⑨2=3,

故選：A.

5.如圖，菱形A8C。的邊長(zhǎng)為4,ZA=60°,E是邊AO的中點(diǎn)，尸是邊A8上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EG,連接BG、CG,貝UBG+CG的最小值為

()

A.3aB.277C.45/3D.2+2百

【解答】解：如圖，取A8的中點(diǎn)N.連接EMEC,GN,作EH_LC￡＞交CL＞的延長(zhǎng)線

于H.

:四邊形A8CZ)是菱形,

：.AD=BD,

"：AE=ED,AN=NB,

：.AE=AN,

VZA=60°，

...△AEN是等邊三角形，

...NAEN=NFEG=60°,

ZAEF=ZNEG,

,:EA=EN,EF=EG,

.?.△AEF也△NEG(SAS),

.?./￡WG=NA=60°,

；N4NE=60°,

，NGNB=180°-60°-60°=60°,

/.點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線NG,

易知B,E關(guān)于射線NG對(duì)稱(chēng)，

:.GB=GE,

：.GB+GC=GE+GC2EC,

在中，VZ/7=90°,DE=2,NE￡>H=60°,

：.DH=^DE^\,EH=0

2

在RtZXEC”中，EC=JEH2MH2=2A

:.GB+GC/R,

.?.GB+GC的最小值為2收.

故選:B.

6.如圖，四邊形A8C。為正方形，AB=\,把AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF,

連接DF,則DF的長(zhǎng)為（）

C.喙D有

【解答】解：如圖，連接BE,CE,過(guò)E作EG_LBC于G,

由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AE=]=AD,AC=AF,ZBAC=ZEAF=45a=ADAC,

：.ZCAE=ZFAD,

A/XADF^/XAEC（SAS）,

:.DF=CE,

由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AE=\,ZBAE=f>0°,

...△ABE是等邊三角形，

：.BE=\,ZABE=6Q°,

AZEBG=30°,

.?.EG=4E=LBG=Xf5,

227Vs

???CG=1-

22

為△CEG中'CE=7EG-K：G={/產(chǎn)+（1-'正）2=正警=

/6-2?傷?&+2=J（加一a）2=娓-近

V4V42

，￡）》=返一叵

2

故選：A.

7.如圖，AABC是等邊三角形，AB=4,E是4c的中點(diǎn)，。是直線8c上一動(dòng)點(diǎn)，線段

EQ繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段EF,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AF的最小值為()

【解答】解：作。MJ_AC于M,FNLAC于N,如圖，設(shè)。M=x,

在RtZ\CCM中，CM=R&DM=Y3X,

_33

而EM+退r=2,

3

：.EM=-瓜x(chóng)+2,

3

?.?線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段EF,

:.ED=EF,NDEF=90°,

易得AEDM絲4FEN,

當(dāng)。在8c上時(shí)，

:.DM=EN=x,EM=NF=-返x+2,

_3_

在中，人尸=（-返x+2）2+（2+x）2=9（x+2zZl）?+4+2愿,

332

此時(shí)A尸沒(méi)有最小值，

當(dāng)。在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

：.DM=EN=x,EM=NF=?x+2,

3_

在RtAAFN中,AF2=（返X+2）2+（2-x）2=A（x-返）2+4+2^3,

333

當(dāng)x=之*時(shí)，A/有最小值4+2%，

：.AF的最小值為Y4+2?=?+1.

故選：D.

8.如圖，在矩形ABCQ中，A8=3,8C=4,P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接。P,將直線

DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使NQPG=ADAC,且過(guò)D作DGVPG,連接CG,則CG最小值

為（）

「32D

25t

【解答】解：如圖，作。H，AC于4,連接HG延長(zhǎng)HG交CD于凡作4E_LCD于H.

,CDGA.PG,DHLAC,

:"DGP=NDHA,

'：ZDPG=ZDAH,

：.△ADHsXPDG,

AAD=DH；NADH=NPDG,

DPDG

NADP=ZHDG,

：.AADPs叢DHG,

.,./￡)HG=NZMP=定值，

...點(diǎn)G在射線”尸上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)CG_LHF時(shí)，CG的值最小，

?.?四邊形ABC。是矩形，

/.ZADC=90°,

:.NADH+NHDF=90°,

,：ZDAH+ZADH=90Q,

：./HDF=NDAH=NDHF,

：.FD=FH,

■:NFCH+NCDH=90°,ZFHC+ZFHD=90°,

：.ZFHC=ZFCH,

；.FH=FC=DF=1.5,

在RtZ^AOC中，；/A￡>C=90°,AD=4,CD=3,

：.AC=JO2.A2=5,￡>”=知叩，=里,

VS+4AC5

?'-c//=VcD2-DH2=y,

?.?iF-iliJl_D--H-----C--H---_---3--6-,

CD25

VZCFG=ZHFE,NCGF=NHEF=90°,CF=HF,

：./\CGF^/\HEF(A4S),

：.CG=HE=^~,

25

；.CG的最小值為隨，

25

故選：D.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,0),B(5,0),點(diǎn)尸為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且

PA=2,以PB為邊作等邊△P8M,則線段AM的最大值為()

A.3B.5C.7D.A/21

【解答】解：如圖，

???△P8M是等邊三角形，點(diǎn)P在圓心為A半徑為2的0A上運(yùn)動(dòng),

...點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓,

當(dāng)點(diǎn)Pi<4,0)時(shí)，點(diǎn)M與E重合，當(dāng)P2(0,0)時(shí)，點(diǎn)M與F重合，易證點(diǎn)例所在

的OO'的直徑EF=OPi=4,

O'(1,^1),

22

：.A0'=3,

當(dāng)點(diǎn)M在A。'的延長(zhǎng)線上時(shí)，AM的值最大，最大值為3+2=5,

故選：B.

填空題(共13小題)

10.如圖，長(zhǎng)方形ABCQ中，AB=6,8C=生，E為BC上一點(diǎn)，且F為AB選

22

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG,

【解答】解：如圖，將線段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段E7,連接OE交CG于

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=6,NB=/BCD=90°,

'：ZBET=ZFEG=45°,

:.ZBEF=NTEG,

,:EB=ET,EF=EG,

:.叢EBFmXETG(SAS),

，NB=/ETG=90°,

...點(diǎn)G的在射線TG上運(yùn)動(dòng)，

/.當(dāng)CGITG時(shí)，CG的值最小，

"：BC=^~,BE=S,CD=6,

22

：.CE=CD=6,

:.NCED=NBET=45°,

：.ZTEJ=90°=NETG=NJGT=90°,

四邊形ETGJ是矩形，

：.DE//GT,GJ=TE=BE=^~,

2

：.CJLDE,

：.JE=JD,

:.CJ=LDE=3M，

2

/.CG=C/+GJ=3+3&,

2

；.CG的最小值為旦+3加,

2

故答案為：3+3&.

2

II.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2,NABC=45°,點(diǎn)E為射線A。上一動(dòng)點(diǎn)，連

接BE,將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF,連接AF,則AF的最小值是_?返

【解答】解：如圖，以AB為邊向下作等邊△A8K,連接EK,在EK上取一點(diǎn)7,使得

,:BE=BF,BK=BA,NEBF=NABK=60°,

???/ABF=/KBE,

???△A引名△KBE(SAS),

:,AF=EK,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)。時(shí)，KE的值最小，

???四邊形A3。是平行四邊形，

J.AD//BC,

VZABC=45Q,

???N8AQ=1800-ZABC=\35°,

VZBAK=60°,

：.ZEAK=15°,

VZAE/C=90°,

AZAKE=15°,

?：TA=TK、

：.Z7AK=ZAKT=i5°,

???NATE=NmK+NAKT=30°,

設(shè)AE=〃，則AT=7X=2m￡T=V^，

911

在RtZkAEK中，：AK=AE+EI^f

???J+(2〃+V^)2=4,

?l娓-近

??ci----------,

2_

：.EK=2a

...AF的最小值為運(yùn)返.

2

故答案為返班.

2_

12.如圖，點(diǎn)。為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NBQC=120°,則處的最小值為返

BD-2一

【解答】解：如圖，將△BC。繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到aACE,連接。E,過(guò)點(diǎn)4作

AH_LOE于H.

?:CE=CE,/DCE=60°,

.?.△OCE是等邊三角形，

：.ZEDC^ZDEC=60a,

?.?/Br>C=/AEC=120°,

AZAED=60°,

\'BD=AE,

.AD=AD

?,而AE'

'JAHLDE,

：.AD^AH,

?AD^AH

"BD^AE'

；NAHE=90°,N4EB=60°,

=sin60°巨,

A-H_2

AE》返，

AD

-BD2_

AD

-BD的最小值

2

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是），軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線），=以2-6ar+5a

（a是常數(shù)，且a>0）過(guò)點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、8,點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊，連接AC,以

AC為邊作等邊三角形4C。，點(diǎn)。與點(diǎn)0在直線4C兩側(cè)，連接BZ）,則的最小值是

3

令y=0,則x=l或5,

故點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為：（1,0）、（5,0）,

如圖，過(guò)點(diǎn)。作。ELAC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)E作E/〃x軸交y

2），AE=CE=-^ED,

22V3

VZCEF+ZFCE=9Q0,NCEF+NDEG=90°，

：.ZDEG=ZECF,

:ACFEs/XEGD,

?嚼嗤嚕二有其中E號(hào),“號(hào),

解得：OG=返，故點(diǎn)D(工+.旭,且W

222222

8爐=(5-A-^Xz)2+(2+返)2=25(a-Z)2+9,

22225

當(dāng)4=2時(shí)，8。最小，8。最小值是3.

5

故答案為：3.

14.如圖，己知△4BC中，ZBAC=l20a,AB=4C=2百.力為BC邊一點(diǎn)，且BO：DC

=1：2.以。為一個(gè)點(diǎn)作等邊△￡>/凡且OE=OC連接AE,將等邊△OEF繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)

一周，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE取得最大值時(shí)AF的長(zhǎng)為,近_.

【解答】解：如圖，點(diǎn)E,尸在以。為圓心，DC為半徑的圓上，當(dāng)4,D,E在同一直

線上時(shí)AE取最大值，

過(guò)點(diǎn)A作AHIBC交8C于H,

.\ZBAC=120°,AB=AC=2?,

：.ZB=ZACB=30°,BH=CH,

.?.在RtZ\A5H中，

AH=^-AB=-J3,BH=^^AH=3,

2

：.BC=2BH=6,

?：BD：0c=1：2,

：.BD=2,C￡>=4,

:.DH=BH-BD=1,

在中，AH=M，DH=\,

.?.tan/OAH=0l=返，

AH3

：.ZDAH=30°,NAOH=60°,

?.?△OEF是等邊三角形，

AZE=60°,DE=EF=DC,

；NA￡>C=NE=60°,

J.DC//EF,

,:DC