高等數(shù)學公式,完整版帶目錄高中教育

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高數(shù)公式包含:導數(shù)公式基本積分表三角函數(shù)的有理式積分一些初等函數(shù)兩個重要極限三角函數(shù)公式高階導數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公中值定理與導數(shù)應用曲率定積分的近似計算定積分應用相關公式空間解析幾何和向量代數(shù)多元函數(shù)微分法及應用微分法在幾何上的應用方向導數(shù)與梯度多元函數(shù)的極值及其求法重積分及其應用高斯公式曲線積分曲面積分柱面坐標和球面坐

高等數(shù)學公式

導數(shù)公式…………3基本積分表…………3三角函數(shù)的有理式積分……………3一些初等函數(shù)………4兩個重要極限………4三角函數(shù)公式………4誘導公式,和差角公式,和差化積公式,倍角公式,半角公式,正弦定理,余弦定理,反三角函數(shù)性質

高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式……5中值定理與導數(shù)應用…………………5曲率…………………6定積分的近似計算…………………6定積分應用相關公式………………6空間解析幾何和向量代數(shù)…………6多元函數(shù)微分法及應用……………7微分法在幾何上的應用……………7方向導數(shù)與梯度……………………8多元函數(shù)的極值及其求法…………8重積分及其應用……………………9柱面坐標和球面坐標………………10曲線積分……………10

高數(shù)公式包含:導數(shù)公式基本積分表三角函數(shù)的有理式積分一些初等函數(shù)兩個重要極限三角函數(shù)公式高階導數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公中值定理與導數(shù)應用曲率定積分的近似計算定積分應用相關公式空間解析幾何和向量代數(shù)多元函數(shù)微分法及應用微分法在幾何上的應用方向導數(shù)與梯度多元函數(shù)的極值及其求法重積分及其應用高斯公式曲線積分曲面積分柱面坐標和球面坐

曲面積分………11高斯公式………12斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關系……………12常數(shù)項級數(shù)……………………12級數(shù)審斂法……………………13肯定收斂與條件收斂…………13冪級數(shù)…………14函數(shù)綻開成冪級數(shù)……………14一些函數(shù)綻開成冪級數(shù)………14歐拉公式………14三角級數(shù)………14傅立葉級數(shù)……………………15微分方程的相關概念…………15一階線性微分方程……………16全微分方程……………………16二階微分方程…………………16二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法……16二階常系數(shù)非齊次線性微分方程……………16

高數(shù)公式包含:導數(shù)公式基本積分表三角函數(shù)的有理式積分一些初等函數(shù)兩個重要極限三角函數(shù)公式高階導數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公中值定理與導數(shù)應用曲率定積分的近似計算定積分應用相關公式空間解析幾何和向量代數(shù)多元函數(shù)微分法及應用微分法在幾何上的應用方向導數(shù)與梯度多元函數(shù)的極值及其求法重積分及其應用高斯公式曲線積分曲面積分柱面坐標和球面坐

導數(shù)公式：

(tgx)secx(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna

1

(logax)

xlna

基本積分表：

2

(arcsinx)

1

x2

1

(arccosx)

x21

(arctgx)

1x2

1

(arcctgx)

1x2

tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxC

secxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxC

dx1x

arctgCa2x2aadx1xa

lnx2a22axaCdx1ax

a2x22alnaxCdxx

arcsinCa2x2

a

2

n

dx2

sec2cosxxdxtgxCdx2

cscsin2xxdxctgxC

secxtgxdxsecxC

cscxctgxdxcscxC

ax

adxlnaC

x

shxdxchxCchxdxshxC

dxx2a2

ln(xx2a2)C

2

Insinxdxcosnxdx

n1

In2n

x2a22

xadxxaln(xx2a2)C

22x2a2222

xadxxalnxx2a2C

22x2a2x222

axdxaxarcsinC

22a

2

2

三角函數(shù)的有理式積分：

2u1u2x2du

sinx，cosx，utg，dx222

21u1u1u

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一些初等函數(shù)：兩個重要極限：

exex

雙曲正弦:shx

2exex

雙曲余弦:chx

2

shxexex

雙曲正切:thx

chxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)

11x

arthxln

21x

三角函數(shù)公式：誘導公式：

lim

sinx

1

x0x

1

lim(1)xe2.718281828459045...xx

和差角公式：和差化積公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()

tgtg1tgtgctgctg1

ctg()

ctgctg

sinsin2sin

22

sinsin2cossin

22

coscos2coscos

22

coscos2sinsin

22

cos

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倍角公式：

sin22sincos

cos22cos2112sin2cos2sin2ctg21

ctg2

2ctg2tg

tg2

1tg2

半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg3

13tg2

sintg

2

coscoscos222

1cos1cossincos1cossin

ctg

1cossin1cos21cossin1cos

abc

2R余弦定理：c2a2b22abcosCsinAsinBsinC

2

正弦定理：

反三角函數(shù)性質：arcsinx

2

arccosxarctgx

2

arcctgx

高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(nk)(k)

Cnuvk0

n

u(n)vnu(n1)v

n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)

uvuvuv(n)

2!k!

中值定理與導數(shù)應用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)

f(b)f(a)f()

F(b)F(a)F()

當F(x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

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曲率：

弧微分公式：dsy2dx,其中ytg平均曲率：K

:從M點到M點，切線斜率的傾角變化量；s：MM弧長。s

yd

M點的曲率：Klim.

23s0sds(1y)

直線：K0;1

半徑為a的圓：K.

a

定積分的近似計算：

b

矩形法：f(x)

ab

ba

(y0y1yn1)n

ba1

[(y0yn)y1yn1]n2

ba

[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n

梯形法：f(x)

a

b

拋物線法：f(x)

a

定積分應用相關公式：

功：WFs

水壓力：FpA

mm

引力：Fk122,k為引力系數(shù)

r

b1

函數(shù)的平均值：yf(x)dx

baa12

f(t)dtbaa

空間解析幾何和向量代數(shù)：

b

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空間2點的距離：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在軸上的投影：Prjucos,是u軸的夾角。

Prju(a1a2)Prja1Prja2

ababcosaxbxaybyazbz,是一個數(shù)量,兩向量之間的夾角：cosi

cabax

bx

jayby

axbxaybyazbz

axayazbxbybz

2

2

2

2

2

2

k

az,cabsin.例：線速度：vwr.bz

aybycy

az

bzabccos,為銳角時，

cz

ax

向量的混合積：[abc](ab)cbx

cx代表平行六面體的體積。

平面的方程：

1、點法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0

xyz

31

abc平面外任意一點到該平面的距離：d

Ax0By0Cz0D

A2B2C2

xx0mt

xx0yy0zz0

t,其中s{m,n,p};參數(shù)方程：yy0nt

mnpzzpt

0

二次曲面：

x2y2z2

12221

abcx2y2

2z（,p,q同號）

2p2q3、雙曲面：

x2y2z2

2221

abcx2y2z2

222（馬鞍面）1

abc

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多元函數(shù)微分法及應用

全微分：dz

zzuuudxdydudxdydzxyxyz

全微分的近似計算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元復合函數(shù)的求導法：

dzzuzv

zf[u(t),v(t)]

dtutvt

zzuzv

zf[u(x,y),v(x,y)]

xuxvx

當uu(x,y)，vv(x,y)時，du

uuvv

dxdydvdxdyxyxy

隱函數(shù)的求導公式：

FxFFdydyd2y

隱函數(shù)F(x,y)02(x)＋(x)

dxFyxFyyFydxdxFyFzz

隱函數(shù)F(x,y,z)0x

xFzyFz

FF(x,y,u,v)0(F,G)u

隱函數(shù)方程組：JGG(x,y,u,v)0(u,v)

u

u1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)

微分法在幾何上的應用：

F

vFuGGuv

FvGv

x(t)

xxyy0zz0

空間曲線y(t)在點M(x0,y0,z0)0

(t)(t)(t0)00z(t)

在點M處的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空間曲線方程為：,則切向量T{,,

GGGxGxyzGzG(x,y,z)0

曲面F(x,y,z)0上一點M(x0,y0,z0)，則：

1、過此點的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

Fy

Gy

2、過此點的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0

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方向導數(shù)與梯度：

fff

函數(shù)zf(x,y)在一點p(x,y)沿任一方向lcossin

lxy其中為x軸到方向l的轉角。

ff

函數(shù)zf(x,y)在一點p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ij

xy

f

它與方向導數(shù)的關系是gradf(x,y)e，其中ecosisinj，為l方向上的

l

單位向量。f

是gradf(x,y)在l上的投影。l

多元函數(shù)的極值及其求法：

設fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)為極大值2ACB0時，

A0,(x0,y0)為微小值2

則：值ACB0時，無極ACB20時,不確定

重積分及其應用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd

D

D

曲面zf(x,y)的面積A

D

zz

dxdy

xy

2

2

Mx

M

x(x,y)d

D

(x,y)d

D

D

,

MyM

y(x,y)d

D

(x,y)d

D

D

平面薄片的轉動慣量：對于x軸Ixy2(x,y)d,對于y軸Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）對z軸上質點M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：Fxf

D

(x,y)xd

(xya)

2

2

22

Fyf3

D

(x,y)yd

(xya)

2

2

22

Fzfa3

D

(x,y)xd

(xya)

2

2

3

22

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柱面坐標和球面坐標：

xrcos

柱面坐標：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,zz

其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)

xrsincos2

球面坐標：yrsinsin，dvrdrsinddrrsindrdd

zrcos

2

r(,)

2

F(r,,)rsindr0

f(x,y,z)dxdydzF(r,,)rsindrdddd

2

1

M

xdv,

1M

ydv,

1M

zdv，其中Mdv

轉動慣量：Ix(y2z2)dv，Iy(x2z2)dv，Iz(x2y2)dv

曲線積分：

第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：

x(t)設f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,(t),則：

y(t)

L

xt

f(x,y)dsf[(t),(t2(t)2(t)dt()特別狀況：

y(t)

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其次類曲線積分（對坐標的曲線積分）：x(t)設L的參數(shù)方程為，則：

y(t)

P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

L

兩類曲線積分之間的關系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分別為

L

L

L上積分起止點處切向量的方向角。QPQP

格林公式：()dxdyPdxQdy格林公式：()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1當Py,Qx2時，得到D的面積：Adxdyxdyydx

xy2L

D平面上曲線積分與路徑無關的條件：1、G是一個單連通區(qū)域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且減去對此奇點的積分，留意方向相反！

二元函數(shù)的全微分求積：QP

在＝時，PdxQdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：xy

(x,y)

QP

＝。留意奇點，如(0,0)，應xy

u(x,y)

(x0,y0)

P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常設x

y00。

曲面積分：

22

對面積的曲面積分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,yz(x,y)z(x,y)dxdyxy

Dxy

對坐標的曲面積分：，其中：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy

號；R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上側時取正

Dxy

號；P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前側時取正

Dyz

號。Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右側時取正

Dzx

兩類曲面積分之間的關系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds

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(

PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz

高斯公式的物理意義——通量與散度：

PQR

散度：div,即：單位體積內所產生的流體質量，若div0,則為消逝...

xyz

通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可寫成：divAdvAnds

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關系：

(

RQPRQP)dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxy

cos

yQ

coszR

dydzdzdxcos

上式左端又可寫成：xyzx

PQRP

RQPRQP

空間曲線積分與路徑無

yzzxxyijk

旋度：rotA

xyzPQR

向量場A沿有向閉曲線PdxQdyRdzAtds

常數(shù)項級數(shù)：

1qn

等比數(shù)列：1qqq

1q(n1)n

等差數(shù)列：123n

2

111

調和級數(shù)：1是發(fā)散的

23n

2

n1

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1、正項級數(shù)的審斂法——根植審斂法（柯西判別法）：1時，級數(shù)收斂

設：limn，則1時，級數(shù)發(fā)散

n

1時，不確定2、比值審斂法：

1時，級數(shù)收斂

U

設：limn1，則1時，級數(shù)發(fā)散

nUn1時，不確定

3、定義法：

snu1u2un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。

n

交叉級數(shù)u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的審斂法——萊布尼茲定理：unun1假如交叉級數(shù)滿意su1,其余項rnrnun1。limu0，那么級數(shù)收斂且其和

nn

肯定收斂與條件收斂：

(1)u1u2un，其中un為任意實數(shù)；(2)u1u2u3un

假如(2)收斂，則(1)確定收斂，且稱為肯定收斂級數(shù)；假如(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。1(1)n調和級數(shù)：n發(fā)散，而n1

級數(shù)：n2收斂；

１時發(fā)散1

p級數(shù)：npp1時收斂

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冪級數(shù)：

1

x11x1xx2x3xnx1時，發(fā)散

對于級數(shù)(3)a0a1xa2x2anxn，假如它不是僅在原點收斂，也不是在全

xR時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使xR時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

xR時不定

1

0時，R

求收斂半徑的方法：設lim

an1

，其中an，an1是(3)0時，R

nan

時，R0

函數(shù)綻開成冪級數(shù)：

f(x0)f(n)(x0)2

函數(shù)綻開成泰勒級數(shù)：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n

2!n!

f(n1)()

余項：Rn(xx0)n1,f(x)可以綻開成泰勒級數(shù)的充要條件是：limRn0

n(n1)!f(0)2f(n)(0)n

x00時即為麥克勞林公式：f(x)f(0)f(0)xxx

2!n!

一些函數(shù)綻開成冪級數(shù)：

m(m1)2m(m1)(mn1)n

xx(1x1)2!n!

2n1

x3x5x

sinxx(1)n1(x)

3!5!(2n1)!(1x)m1mx

歐拉公式：

eixeix

cosx2eixcosxisinx或ixixsinxee2

三角級數(shù)：

a0

f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)

2n1n1

其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個不同項的乘積在[,]上的積分＝0。

高數(shù)公式包含:導數(shù)公式基本積分表三角函數(shù)的有理式積分一些初等函數(shù)兩個重要極限三角函數(shù)公式高階導數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公中值定理與導數(shù)應用曲率定積分的近似計算定積分應用相關公式空間解析幾何和向量代數(shù)多元函數(shù)微分法及應用微分法在幾何上的應用方向導數(shù)與梯度多元函數(shù)的極值及其求法重積分及其應用高斯公式曲線積分曲面積分柱面坐標和球面坐

傅立葉級數(shù)：

a0

f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期2

2n1

1

(n0,1,2)anf(x)cosnxdx

其中

b1f(x)sinnxdx(n1,2,3)n

112

122

835

1112

24224262

正弦級數(shù)：an0，bn余弦級數(shù)：bn0，an

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