勻速圓周運(yùn)動及萬有引力定律專題

勻速圓周運(yùn)動及萬有引力定律專題1.2.1.2.注意：勻速圓周運(yùn)動是一種變速運(yùn)動，“勻速圓周運(yùn)動”中的“勻速”是指速度的大小不變，但方向是時刻變化的。勻速圓周運(yùn)動的相關(guān)公式：，…… 2兀r線速度v=~r~=^rTOC\o"1-5"\h\z…… 2兀角速度必=tv2 4兀2r向心加速度a=一=w2r= =?v向r T2v2 4兀2r向心力F向=ma=m—=mw2r=m =mwv向心力F向=ma\o"CurrentDocument"r T2向心力事物體做勻速圓周運(yùn)動的力叫向心力。向心力的方向始終指向圓心，故而得名“向心力”，因此向心力是效果力。向心力可以是一個力或一個力的分力，也可以是多個力的合力。需要的向心力mw2r圓周運(yùn)動近心運(yùn)動離心運(yùn)動離心運(yùn)動和近心運(yùn)動的原因需要的向心力mw2r圓周運(yùn)動近心運(yùn)動離心運(yùn)動提供的向心力F=mw2r>mw2r<mw2r=0 切線運(yùn)動向心力的來源舉例(臨界狀態(tài)分析)?；疖囖D(zhuǎn)彎如果車輪與鐵軌間無擠壓力，則向心力完全由重力和支持力提供， V2. .— * mgtana=m—nv=?grtana,v增加，外軌擠壓，如果v減小，內(nèi)軌擠壓。r問題：飛機(jī)轉(zhuǎn)彎的向心力的來源。汽車過拱橋v2如果汽車在最高點(diǎn)，那么mg-N=m一r此時汽車不平衡，mg/N

一 … V2如果汽車在最低點(diǎn)，那么N-mg=m一r說明：F=mv2/r同樣適用于變速圓周運(yùn)動，F(xiàn)和v具有瞬時意義，F(xiàn)隨v的變化而變化。。圓錐問題質(zhì)量為m的小球在頂角為29的光滑圓錐內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動，則重力mg和支持力N的合理提供向心力mg vF=—=ma=m—=mD2=cmv向tai9 向rV2從而r=—tan9，所以小球線速度越大，小球越往上爬；小球線速度越小，g小球越往下掉。。繩模型和桿模型這類問題的特點(diǎn)是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動的速率時刻在改變，物體在最高點(diǎn)處的速率最小，在最低點(diǎn)處的速率最大。物體在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進(jìn)行討論。一.. .. ..一 mv2①彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有F+mg=——>mgR即v>、示，否則不能通過最高點(diǎn)。mv2 ,——彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有：mg-F= Vmg，二vV\.gR，R否則車將離開橋面，做平拋運(yùn)動。彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)(或桿連球、環(huán)穿珠)。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進(jìn)一步討論：①當(dāng)v時物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng)v<、g時物體受到的彈力必然是向上的；當(dāng)v=：gR時物體受到的彈力恰好為零。②當(dāng)彈力大小F<mg時，向心力有兩解：mg±F；當(dāng)彈力大小F>mg時，向心力只有一解：F+mg；當(dāng)彈力F=mg時，向心力等于零。解題步驟：明確研究對象，確定它在哪個平面內(nèi)作圓周運(yùn)動。

（2）對研究對象進(jìn)行受力分析，確定是那些力提供了向心力。（3） 建立以向心力的方向?yàn)檎较虻淖鴺?biāo)，根據(jù)向心力公式列方程。a（4） 解方程，對結(jié)果進(jìn)行必要的討論。a例題分析例1。如圖所示，傳動輪A、B、C的半徑之比為2：4：1,A、B兩輪用皮帶傳動，皮帶不打滑，B、C兩輪同軸，a、b、c三點(diǎn)分別處于A、B、C三輪的邊緣，d點(diǎn)在A輪半徑的中點(diǎn)。試求：a、b、c、d四點(diǎn)的角速度之比，即3a：3b：3c：3d= 線速度之比，即七:"：v。:v^=；向心加速度之比，即:aa：ab：ac：ad=。例2。如圖所示，A、B兩質(zhì)點(diǎn)繞同一圓心沿順時針方向做勻速圓周運(yùn)動，A、B的周期分別為「T2，且Ti<T2，在某一時刻兩質(zhì)點(diǎn)相距最近時開始計(jì)時，問何時兩質(zhì)點(diǎn)再次相距最近？例3。如圖所示，線段OA=2AB，A、B兩球質(zhì)量相等.當(dāng)它們繞（）點(diǎn)在光滑的水平桌面上以相同的角速度轉(zhuǎn)動時，兩線段的拉力tab與toa之比為多少?例4.如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩個物體A和B，它們與盤間的摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動到兩個物體剛好還未發(fā)生滑動時，燒斷細(xì)線，兩個物體的運(yùn)動情況是（ ）兩物體沿切向方向滑動兩物體均沿半徑方向滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)兩物體仍隨圓盤一起做圓周運(yùn)動，不發(fā)生滑動物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動，物體A發(fā)生滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)例5.如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=0.3kg的小球B，A的重心到。點(diǎn)的距離為0.2m.若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度①的取值范圍.例6.（2009年高考廣東卷）如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸00,轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點(diǎn)的高度為筒高的一半.內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊.求：（1）當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的大小;（2）當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒勻速轉(zhuǎn)動，且其受到的摩擦力為零時，筒轉(zhuǎn)動的角速度.例7.如圖，長為L的細(xì)繩一端固定，另一端連接一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)將球拉至與水平方向成30°角的位置釋放小球（繩剛好拉直），求小球擺至最低點(diǎn)時的速度大小和擺球受到的繩的拉力大小。例8.如圖所示，長為L的細(xì)繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球.給小球一個合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，這樣就構(gòu)成了一個圓錐擺，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為0.下列說法中正確的是（） 十A.小球受重力、繩的拉力和向心力作用3小球只受重力和繩的拉力作用0越大，小球運(yùn)動的速度越大。越大，小球運(yùn)動的周期越大例9.一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）.在圓管中有兩個直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）.A球的質(zhì)量為mi，B球的質(zhì)量為m2.它們沿環(huán)形圓管順時針運(yùn)動，經(jīng)過最低點(diǎn)時的速度都為v0.設(shè)A球運(yùn)動到最低點(diǎn)時，B球:恰好運(yùn)動到最高點(diǎn)，若要此時兩球作用于圓管的合力為零「那么mi.m2、R與v°應(yīng)滿足的關(guān)系式是. 1歸°/y泌?如、例10.如下圖所示，LMPQ是光滑軌道，LM水平，長為5.0m,MPQ是一半徑為R=1.6m的半圓，QOM在同一豎直線上，在恒力F作用下，質(zhì)量m=1kg的物體A由靜止開始運(yùn)動，當(dāng)達(dá)到M時立即停止用力.欲使A剛好能通過Q點(diǎn)，則力F大小為多少？（g取10m/s2）例11.如圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止出發(fā)到B點(diǎn)時撤去外力，又沿豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道運(yùn)動，且恰好通過軌道最高點(diǎn)C，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點(diǎn)A，試求滑塊在AB段運(yùn)動過程中的加速度.二.萬有引力定律與航天開普勒行星運(yùn)動定律第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點(diǎn)上。第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等。第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。即:a3——=kT2比值k是一個與行星無關(guān)的常量，至于中心天體有關(guān)。萬有引力定律（1） 開普勒對行星運(yùn)動規(guī)律的描述（開普勒定律）為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。（2） 萬有引力定律公式：F=G^^，G=6.67x10-iiN-m2/kg2r2（3） 萬有引力定律適用于一切物體，但用公式計(jì)算時，注意有一定的適用條件：天體的尺寸與天體間的距離相比可忽略不計(jì)，且其中的r是天體中心到天體中心的距離。萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用（1）基本方法：把天體的運(yùn)動看成勻速圓周運(yùn)動，其所需向心力由萬有引力提供：八Mm v2G =m—=mo2rr2 r在忽略天體自轉(zhuǎn)影響時，天體表面的重力加速度：g=gM，R為天體半徑。（2）天體質(zhì)量、密度的估算

-Mm 4兀2測出環(huán)繞天體作勻速圓周運(yùn)動的半徑，，周期為"由G云=七r得被環(huán)繞天體的質(zhì)量為M=—--，密度為P= ^―—，R為被環(huán)繞天體的半徑。GT2 VGT2R23兀當(dāng)環(huán)繞天體在被環(huán)繞天體的表面運(yùn)行時，r=R,則？=方7。GT2（3）環(huán)繞天體的繞行速度，角速度、周期與半徑的關(guān)系Mm①由G——r2v2 :GMMm①由G——r2=m—得v=.. r\r.'.r越大，v越小.*.r越大，w越小八Mm 4兀2GM③由G=m r得T=GMr2T2.r越大，T越大（4）三種宇宙速度第一宇宙速度（地面附近的環(huán)繞速度）：v1=7.9km/s，人造衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球作勻速圓周運(yùn)動的速度。第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v2=11.2km/s，使物體掙脫地球束縛，在地面附近的最小發(fā)射速度。第三宇宙速度：v3=16.7km/s，使物體掙脫太陽引力束縛，在地面附近的最小發(fā)射速度。例題分析（1）測天體的質(zhì)量及密度（萬有引力全部提供向心力）Mm

由GMm

由G——

r2=m［習(xí)2rIT)GT24…3nr3又M=3冗R3-p得P= GT2R3例1.繼神秘的火星之后，今年土星也成了全世界關(guān)注的焦點(diǎn)。經(jīng)過近7年35.2億公里在太空中風(fēng)塵仆仆的穿行后，美航空航天局和歐航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時間6月30日（北京時間7月1日）抵達(dá)預(yù)定軌道，開始“拜訪”土星及其衛(wèi)星家族。這是人類首次針對土星及其31顆已知衛(wèi)星最詳盡的探測。若“卡西尼”號探測器進(jìn)入繞土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高h(yuǎn)的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為r。試計(jì)算土星的質(zhì)量和平均密度。

例2.宇航員站在一行星表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t,小球落到行星表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為龍l。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面內(nèi)，該行星的半徑為R,萬有引力常數(shù)為G,求該行星的質(zhì)量。（2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：G^^=mg:.g=^^R2 。 0R2軌道重力加速度:GMm GM軌道重力加速度:GMm GMEX=mgh"磯疝以以例3.一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比M：m=81，行星的半徑R。與衛(wèi)星的半徑R之比R。：R=3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R0之比r：R0=60。設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g，則在衛(wèi)星表面有GM=mg r2經(jīng)過計(jì)算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結(jié)果。（3）人造衛(wèi)星、宇宙速度宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）例4.將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1（如圖所示），然后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)，2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時，下說法正確的是：衛(wèi)星在軌道3上的速率大于軌道1上的速率。B.衛(wèi)星在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度。C.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時的加速度。D.衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度。

（4）雙星問題例5.兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動。現(xiàn)測得兩星中心距離為R,其運(yùn)動周期為"求兩星的總質(zhì)量。（5）有關(guān)航天問題的分析例6.無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H=3.4x105m的圓軌道上運(yùn)行了47小時。求在這段時間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37x106m,重力加速度g=9.8m/s2）三.針對訓(xùn)練TOC\o"1-5"\h\z一個物體以角速度①做勻速圓周運(yùn)動時.下列說法中正確的是（ ）A.軌道半徑越大線速度越大 B.軌道半徑越大線速度越小C.軌道半徑越大周期越大 D.軌道半徑越大周期越小下列說法正確的是（ ）A.勻速圓周運(yùn)動是一種勻速運(yùn)動 B.勻速圓周運(yùn)動是一種勻變速運(yùn)動 廠—勻速圓周運(yùn)動是一種變加速運(yùn)動物體做圓周運(yùn)動時，其合力垂直于速度方向，不改變線速度大小 —如圖5-16所示，小物體A與圓盤保持相對靜止，跟著圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動，則A的受力情況是（ ）A.受重力、支持力B.受重力、支持力和指向圓心的摩擦力C.受重力、支持力、向心力、摩擦力 D.以上均不正確一重球用細(xì)繩懸掛在勻速前進(jìn)中的車廂天花板上，當(dāng)車廂突然制動時，則（ ）A.繩的拉力突然變小 B.繩的拉力突然變大C.繩的拉力沒有變化 D.無法判斷拉力有何變化如圖一3所示的皮帶傳動裝置中，輪A和B同軸，A、B、C_分別是三個輪邊緣的質(zhì)點(diǎn)，且Ra=Rc=2R，則三質(zhì)點(diǎn)的向心加速ATOC\o"1-5"\h\z度之比Ha：Hb：%等于（） （?□）A.4：2：1B.2：1：2 半C.1：2：4D.4：1：4 J_ ；J質(zhì)量為m的小球用一條繩子系著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，小球到達(dá)最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時，繩子所受的張力之差是（ ）A.6mg B.5mg C.2mg D.條件不充分，不能確定。

A、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運(yùn)動，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉(zhuǎn)速為30r/min,B的轉(zhuǎn)速為15r/minA、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運(yùn)動，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉(zhuǎn)速為30r/min,B的轉(zhuǎn)速為15r/min。則兩球的向心加速度之比為 （ ）A.1：1 B.2：1 C.4：1 D.8：1如圖所示，為一皮帶傳動裝置，右輪半徑為r，a為它邊緣上一點(diǎn)；左側(cè)是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上。若傳動過程中皮帶不打滑，則（ ）①a點(diǎn)和b點(diǎn)的線速度大小相等 ②a點(diǎn)和b點(diǎn)的角速度大小相等③a點(diǎn)和c點(diǎn)的線速度大小相等 ④a點(diǎn)和d點(diǎn)的向心加速度大小相等A.①③ B.②③ C.③④ D.②④9.如圖所示，固定的錐形漏斗內(nèi)壁是光滑的，內(nèi)壁上有兩個質(zhì)量相等的小球A和B，在各自不同的水平布做勻速圓周運(yùn)動，以下說法正確的是（ ）A.VA>VBC.aA>aB D.壓力Na>Nb10.半徑為R的光滑半圓柱固定在水平地面上，頂部有一小物塊，如圖所示，今給小物塊一個初速度％-JgR，則物體將（ ）沿圓面A、B、C運(yùn)動先沿圓面AB運(yùn)動，然后在空中作拋物體線運(yùn)動立即離開圓柱表面做平拋運(yùn)動立即離開圓柱表面作半徑更大的圓周運(yùn)動如圖所示，輕繩一端系一小球，另一端固定于O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方的P點(diǎn)釘一顆釘子，使懸線拉緊與豎直方向成一角度。，然后由靜止釋放小球，當(dāng)懸線碰到釘子時（ ）①小球的瞬時速度突然變大 ②小球的加速度突然變大③小球的所受的向心力突然變大④懸線所受的拉力突然變大A.①③④ B.②③④ C.①②④D.①②③如圖所示，汽車以速度V通過一半圓形拱橋的頂點(diǎn)時，關(guān)于汽車受力的說法正確的是（ ）汽車受重力、支持力、向心力汽車受重力、支持力、牽引力、摩擦力、向心力汽車的向心力是重力D?汽車的重力和支持力的合力是向心力13.甲、乙兩個物體之間的萬有引力大小為F，若乙物體的質(zhì)量不變，甲物體的質(zhì)量減少1/2,同時甲、乙兩物體之間萬有引力的大小變?yōu)椋?）A.FB.F/2 C.F/4D.2F已知以下哪組數(shù)據(jù)能算出地球的質(zhì)量（ ）地球繞太陽運(yùn)動的周期T及地球到太陽中心的距離R月球繞地球運(yùn)動的周期T及月球到地球中心的距離R月球繞地球運(yùn)行的周期T及月球繞地球運(yùn)動的速率v人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速率v和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T

同步衛(wèi)星相對地面靜止不動，猶如懸在高空中，下列說法中正確的是（）A.同步衛(wèi)星受力處于平衡狀態(tài)B?所有同步衛(wèi)星的速率是唯一的各國的同步衛(wèi)星都在同一圓周上運(yùn)動同步衛(wèi)星的加速度大小是唯一的已知某天體的第一宇宙速度為8km/s,則高度為該天體半徑的宇宙飛船的運(yùn)行速度為（）A.22km/s B.4km/s C.4板2km/s D.8km/s2002年12月30日凌晨，我國的“神舟”四號飛船在酒泉載人航天發(fā)射場發(fā)射升空，TOC\o"1-5"\h\z按預(yù)定計(jì)劃在太空飛行了6天零18個小時，環(huán)繞地球108圈后，在內(nèi)蒙古中部地區(qū)準(zhǔn)確著陸，圓滿完成了空間科學(xué)和技術(shù)試驗(yàn)任務(wù)，為最終實(shí)現(xiàn)載人飛行奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。若地球的質(zhì)量、半徑和引力常量G均已知，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可估算出“神舟”四號飛船的（ ）A.離地高度 B.環(huán)繞速度 C.發(fā)射速度 D.所受的向心力據(jù)觀察，某行星外圍有一模糊不清環(huán)。為了判斷該環(huán)是連續(xù)物還是衛(wèi)星群，又測出了該環(huán)中各層的線速度的大小u與該層至行星中心的距離A。以下判斷中正確的是（ ）A.若u與R成正比，則環(huán)是連續(xù)物 B.若u與R成反比，則環(huán)是連續(xù)物C.若u2與R成正比，則環(huán)是衛(wèi)星群 D.若u2與R成反比，則環(huán)是衛(wèi)星群已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運(yùn)行的周期T.僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有（ ）A.月球的質(zhì)量B.地球的質(zhì)量 C.地球的半徑 D.月球繞地球運(yùn)行速度的大小兩個靠近的天體稱為雙星，它們以兩者連線上某點(diǎn)O為圓心做勻速圓周運(yùn)動，、一、其質(zhì)量分別為mem2,如右圖所示，以下說法正確的是（ ）A.它們的角速度相同 B.線速度與質(zhì)量成反比 廠O m2仁向心力與質(zhì)量的乘積成正比D.軌道半徑與質(zhì)量成正比 m1〔_；如圖所示，質(zhì)量m=0.1kg的小球在細(xì)繩的拉力作用下在豎直面內(nèi)做半徑為r=0.2m的圓周運(yùn)動，已知小球在最高點(diǎn)的速率為V]=2m/s，g取10m/s2，試求： v（1）小球在最高點(diǎn)時的細(xì)繩的拉力T1=? /干匕（2）小球在最低點(diǎn)時的細(xì)繩的拉力T2=? / \如圖5-14所示，半徑為R的圓板置于水平面內(nèi)，在軸心O點(diǎn)的正上方高h(yuǎn)f處