19-20版2.2.1平面向量基本定理

19-20版2.2.1平面向量基本定理匯報(bào)人：AA2024-01-14CATALOGUE目錄平面向量基本定理概述平面向量的線性運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)表示平面向量基本定理的應(yīng)用典型例題解析01平面向量基本定理概述在平面內(nèi)既有大小又有方向的量稱為平面向量。定義與性質(zhì)平面向量長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，記作0。零向量長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。單位向量方向相同或相反的非零向量稱為平行向量，也稱為共線向量。平行向量（共線向量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量稱為相等向量。相等向量長(zhǎng)度相等但方向相反的向量稱為相反向量。相反向量向量的叉乘（外積）兩向量的叉乘結(jié)果是一個(gè)向量，垂直于原兩向量所在的平面。向量的點(diǎn)乘（內(nèi)積）兩向量的點(diǎn)乘結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，表示兩向量的相似程度。向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的乘積，滿足數(shù)乘的運(yùn)算律。向量的加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。向量的減法與加法相對(duì)應(yīng)，結(jié)果指向被減數(shù)。幾何意義在平面直角坐標(biāo)系中，可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示一個(gè)平面向量，這對(duì)實(shí)數(shù)稱為該向量的坐標(biāo)。向量的坐標(biāo)表示兩非零向量之間的夾角θ滿足0≤θ≤π，當(dāng)θ=0時(shí)，兩向量同向；當(dāng)θ=π時(shí)，兩向量反向；當(dāng)0<θ<π時(shí)，兩向量不共線。向量的夾角向量的長(zhǎng)度稱為向量的模，記作|a|。向量的模滿足交換律、結(jié)合律、分配律等基本的運(yùn)算規(guī)律。向量的運(yùn)算律01030204代數(shù)表示02平面向量的線性運(yùn)算向量加法定義向量加法性質(zhì)向量減法定義向量減法性質(zhì)向量的加法與減法01020304兩個(gè)向量相加，即將它們的對(duì)應(yīng)分量相加，結(jié)果仍是一個(gè)向量。滿足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。向量a減去向量b，等于向量a加上向量b的反向量，即a-b=a+(-b)。滿足反身性，即a-a=0；不滿足交換律和結(jié)合律。一個(gè)數(shù)與一個(gè)向量的乘積，是將向量的每個(gè)分量都乘以這個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是一個(gè)向量。向量數(shù)乘定義向量數(shù)乘性質(zhì)單位向量與零向量滿足結(jié)合律和分配律，即(λμ)a=λ(μa)，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb。模長(zhǎng)為1的向量稱為單位向量；模長(zhǎng)為0的向量稱為零向量，零向量與任何向量的數(shù)乘結(jié)果都是零向量。030201向量的數(shù)乘123若干個(gè)向量與一個(gè)數(shù)的乘積之和稱為這些向量的線性組合。向量線性組合定義如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，則稱向量組a1,a2,…,an線性相關(guān)；否則稱向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩。極大線性無關(guān)組與向量組的秩向量的線性組合03平面向量的坐標(biāo)表示定義在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底。任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj。因此，把實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)。性質(zhì)向量的坐標(biāo)表示具有唯一性。向量的坐標(biāo)

向量的模與方向角向量的模向量a的大小，也就是向量a的長(zhǎng)度（或稱模），記作|a|。方向角非零向量a與x軸正方向的夾角叫做向量a的方向角。性質(zhì)向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，方向角是一個(gè)[0,π]內(nèi)的角。已知向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。加法運(yùn)算已知向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。減法運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向；當(dāng)λ=0時(shí)，λa是零向量。數(shù)乘運(yùn)算向量的坐標(biāo)運(yùn)算04平面向量基本定理的應(yīng)用共線向量定理內(nèi)容向量a與向量b共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。共線向量定理的應(yīng)用用于證明向量共線、求解向量方程等。共線向量定義方向相同或相反的非零向量稱為共線向量。共線向量定理共面向量定義平行于同一平面的兩個(gè)或多個(gè)向量稱為共面向量。共面向量定理內(nèi)容如果兩個(gè)向量a和b不共線，那么向量c與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x和y，使得c=xa+yb。共面向量定理的應(yīng)用用于證明向量共面、求解向量方程等。共面向量定理平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x和y，使得a=xe1+ye2。平面向量基本定理在幾何中的應(yīng)用用于證明幾何定理，如平行四邊形的性質(zhì)、三角形的重心性質(zhì)等。用于解決幾何問題，如求解三角形的面積、判斷點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)等。用于建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行處理。平面向量基本定理在幾何中的應(yīng)用05典型例題解析已知向量$vec{a}=(1,2)$，$vec=(2,1)$，求$vec{a}+vec$和$2vec{a}-vec$。根據(jù)向量的線性運(yùn)算規(guī)則，$vec{a}+vec=(1+2,2+1)=(3,3)$，$2vec{a}-vec=2(1,2)-(2,1)=(0,3)$。例題一：向量的線性運(yùn)算解析題目描述已知點(diǎn)$A(1,2)$和點(diǎn)$B(3,4)$，求向量$vec{AB}$的坐標(biāo)表示。題目描述根據(jù)向量的坐標(biāo)表示方法，$vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(3-1,4-2)=(2,2)$。解析例題二：向量的坐標(biāo)表示VS已知向量$vec{a}$和$vec$不共線，且$|vec{a}|=3$，$|vec|=4$，$vec{a}$與$vec$的夾角為$60^circ$，求$|vec{a}+vec|$和$|vec{a}-vec|$。解析根據(jù)平面向量基本定理，$|vec{a}+vec|^2=|vec{a}|^2+|vec|^2+2|vec{a}||vec|cos60^circ=9+16+2times3times4timesfrac{1}{2}=37$，所以$|vec{a}+vec|=sqrt{37}$；同理，$|vec{a}-vec|^2=|vec{a}|^2+|vec|^2-2|