第30課時最短路徑問題

第十三章

軸對稱第30課時

最短路徑問題目錄01知識點導學02分層訓練A．已知在直線l上的同側有兩個點A，B，則在直線l上有到點A,B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線l的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線l的交點就是所要找的點．1.點M，N在直線l的同側，在直線l上確定一點Q，使MQ與QN的和最小，下面的操作正確的是

（）D【例1】如圖30-1，在直線l上找一點P，使得PA+PB的和最小.典型例題

知識點1

兩點在直線異側時的最短路徑問題解：答圖30-1,點P即為所求.1.如圖30-2，高速公路l的兩側有M，N兩城鎮(zhèn)，要在高速公路上建一個出口P，使M，N兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最短.請你找出P的位置.變式訓練解:如答圖30-3,P即為所求.【例2】如圖30-3,在直線l上找一點P，使得PA+PB最短.

典型例題

知識點2

兩點在直線同側時的最短路徑問題解：如答圖30-2，點P即為所求.2.如圖30-4，要在街道l旁修建一個牛奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，牛奶站應建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？變式訓練解：如答圖30-4，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點M，則點M即為所求.【例3】如圖30-5，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．在直線l上找一點P，使得PA+PB的和最?。湫屠}

知識點3

網(wǎng)格中或坐標系中的最短路徑問題解：作圖略,作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B與直線l交于點P，則P點即為所求．3.如圖30-6,在平面直角坐標系中，已知點A（-2，4），點B（3，1），一個動點P從A出發(fā)，先到達x軸上的某點（設為點C），再到達點B，請畫出點P運動的最短路徑并標出此時點C的位置．變式訓練解：作圖略，作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點C，連接BC．點C即為所求的點，點P的最短運動路徑為A→C→B．A組4.如圖30-7，l為某河流的南岸線，一天傍晚某牧童在A處放牛，欲將牛牽到河邊飲水后再回到家B處，牧童想以最短的路程回家．請你在圖中畫出牛飲水C的位置．解：如答圖30-5，作點A的對稱點A′，連接A′B，與直線l相交于點C，連接AC，點C即為所求．5.如圖30-8，在平面直角坐標系中，點A（4，4），B（2，-4）．在y軸上求作一點P，使PA+PB的值最小.（不寫作法，保留作圖痕跡）略.B組6.如圖30-9，等邊三角形ABC的邊長為8，AD是BC邊上的中線，E是AD邊上的動點，F(xiàn)是AB邊上一點，若BF=4，當BE+EF取得最小值時，則∠EBC的度數(shù)為

()A．15°B．25°C．30°D．45°C7.如圖30-10,在等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC的中點，P為AD上一動點，若AD=12，試求PC+PE的最小值．解：如答圖30-6，連接BE，與AD交于點P，此時PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC=PB.∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值.∵AD=12，點E是邊AC的中點，∴AD=BE=12.∴PE+PC的最小值是12．C組8.如圖30-11，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河岸垂直）．橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明作法．解：如答圖30-7，先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸交于點D，過點D作CD垂直河岸，交另一河岸于點C，CD就是所求的橋的位置．9.如圖30-12，∠XOY內有一點P，請在射線OX上找出一點M，在射線OY上找出一點N，使