2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)名師押題信息卷（3）（答案版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試名師押題信息卷（3）數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合A、B,再求.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A．2．已知復(fù)數(shù)，，若在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式以及復(fù)數(shù)的幾何意義可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，因此，.故選：B.3．設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】本題可通過基本不等式得出“”是“”的充分條件，然后通過取、得出“”不是“”的必要條件，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故“”是“”的充分條件，當(dāng)時，、滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分而不必要條件，故選：A.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．2023【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系，可推得數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而得出的表達(dá)式，即可求出，代入對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，?當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，所以，所以.又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以，所以，所以.故選：A.5．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，它是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來臨之際，人們設(shè)計(jì)了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O，四個半圓的圓心均在正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖2，若點(diǎn)P在四個半圓的圓弧上運(yùn)動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解．【詳解】，即與在向量方向上的投影的積．由圖2知，點(diǎn)在直線上的射影是中點(diǎn)，由于，圓弧直徑是2，半徑為1，所以向量方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此的最大值是，最小值是，因此其取值范圍為，故選：D．6．已知，點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即可得答案.【詳解】設(shè)，令，則，則M.如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時，且垂直于直線時，有最小值，為，即直線到點(diǎn)M距離，為.故選：D7．已知是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得出的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷時函數(shù)的單調(diào)性，由此結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和，可得出，即可判斷C，D；脫掉絕對值符號化簡，可判斷A，B.【詳解】由是上的偶函數(shù)，得，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱．當(dāng)時，，由，僅在時取等號，得在區(qū)間上為減函數(shù)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)圖象的對稱性，由得，則C正確、D錯誤．當(dāng)異號時，則或，即或，即選項(xiàng)A，B的結(jié)果不能確定，故選：C．8．在三棱錐中，，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積的最大值為時，其外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)兩個射影，結(jié)合球的圖形，可知二面角的平面角為；根據(jù)題意可知當(dāng)，時，三棱錐的體積最大．根據(jù)體積的最大值可求得BC的長，結(jié)合圖形即可求得球的半徑，進(jìn)而求得表面積．【詳解】如圖，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，則二面角的平面角為，點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動，點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動，由圖知，當(dāng)，時，三棱錐的體積最大，此時與是等邊三角形，設(shè)，則，，，，解得，所以，，，設(shè)，則，解得，∴，球的半徑，所求外接球的表面積為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的綜合應(yīng)用，根據(jù)空間幾何關(guān)系求得球的半徑，進(jìn)而求得表面積，對空間想象能力要求較高，屬于難題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知正方體中，E，F(xiàn)，G，H，I分別是線段，，，AB，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體中，棱長為2，則，，，，，，，，，，，，，，故A正確；，，，故B正確；，，故C錯誤；，，故D錯誤．故選：10．袋中裝有除顏色外完全相同的個紅球和個白球，從袋中一次抓出個球，記事件“兩球同色”，事件“兩球異色”，事件“至少有一紅球”，則（

）A．事件與事件是對立事件 B．事件與事件是相互獨(dú)立事件C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】由對立事件的定義可判斷A選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；由古典概型的概率公式可得出關(guān)于的等式，解出的值，可判斷C選項(xiàng)；利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，由對立事件的定義可知，事件、互為對立事件，A對；對于B選項(xiàng)，，，，顯然，故B不正確；對于C，，，由，可得，即，整理可得，因?yàn)?，解得，故C不正確；對于D，由C知，，，故D正確，故選：AD.11．已知函數(shù)，其中a，b，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．在R上單調(diào)遞減 D．最大值為【答案】AB【分析】對A、B：整理可得，構(gòu)建，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對B：取特值，代入檢驗(yàn)；對D：令，整理可得，再令，整理得，結(jié)合三角函數(shù)以及對勾函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，即，對A、B：又a，b，，則，所以，，故，在R上遞減，由，令，則在R上遞減，且，所以，，且，則對，恒成立，可得，故A，B正確；對C：取，，，則，所以C錯誤；對D：令，則今，則，且，∵，則，∴，故，可得，又∵在上單調(diào)遞增，且，故，即，所以，所以D錯誤．故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于，可解借助于三角函數(shù)換元，令，這樣可以減少未知量，方便分析運(yùn)算.12．對于兩個均不等于1的正數(shù)m和n，定義：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，，則【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，比較大小，然后結(jié)合題目條件，逐個判斷.選項(xiàng)A：當(dāng)時，；當(dāng)時，；解得：或；選項(xiàng)B：將轉(zhuǎn)化為；選項(xiàng)C：結(jié)合范圍，化簡，，然后對數(shù)運(yùn)算.選項(xiàng)D：結(jié)合范圍判斷，，，然后進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時，，即，亦即；當(dāng)時，，即，亦即．綜上，當(dāng)時，或，則A錯誤；選項(xiàng)B：由及，得，即，即，即或，即或．由，得，從而可得，則B正確；選項(xiàng)C：若，則，而由，得，所以成立，則C正確；選項(xiàng)D：由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，且，可得；由冪函數(shù)是增函數(shù)，且，可得，于是，所以，同理，，所以，則D錯誤．故選:BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___．（用數(shù)字作答）【答案】1792【分析】由的展開式通項(xiàng)公式得到符合要求，從而求出答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，令，得，令無整數(shù)解，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：179214．寫出一個使等式成立的角的值為___________.【答案】（答案不唯一）【分析】利用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將切化弦，再利用兩角差的正弦公式及二倍角公式公式得到，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則或，，故答案為：（答案不唯一）15．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，且，，則橢圓的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】連接、，分析可知四邊形為矩形，設(shè)，，根據(jù)題中條件可得出，利用橢圓的定義、勾股定理可得出，令，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】解：連接、．由關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，可知，，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由橢圓的定義可知，．在中，由，則，所以，則．在中，，在中，，由，得．由圖形可知，．令，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以，故橢圓的離心率的取值范圍為．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.16．對于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項(xiàng)和，則______．【答案】1506【分析】當(dāng)時，化簡方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而可求得，令，化簡方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即得的范圍，分類討論為奇數(shù)和偶數(shù)時的，從而可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時，，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上都是增函數(shù)，又，，所以函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，即，則，所以，方程，即為，即為，令，則，則有，令，則函數(shù)在上遞增，因?yàn)?，，所以，使得，?dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以.故答案為：1；506.【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的問題，考查了數(shù)列新定義及數(shù)列求和的問題，綜合性很強(qiáng)，對邏輯推理能力和數(shù)據(jù)分析能力要求很高，考查了分類討論思想，難度很大.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數(shù)列和滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和分別記作，且.(1)求和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）確定，再根據(jù)解得答案.（2）計(jì)算，得到，根據(jù)等比數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.【詳解】（1），所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以其前項(xiàng)和，又因?yàn)?，所以，，?）當(dāng)時，.當(dāng)時，也適合通項(xiàng)公式，故.所以，所以.18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，的面積為，求邊BC的中線AD的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用正弦定理結(jié)合,可得可得角；（2）根據(jù)余弦定理及的面積，求得，再根據(jù)向量關(guān)系平方應(yīng)用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?所以,可得,又由兩角和差正弦公式可得,,，所以,.（2）因?yàn)?所以,因?yàn)橛嘞叶ɡ淼?又已知,可得,即得.因?yàn)锽C的中線AD,可得,.19．在四棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，，，，點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由邊長關(guān)系，根據(jù)勾股定理證明得，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)，利用空間向量的夾角公式，根據(jù)直線與平面的夾角列式計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，求解平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式列式求解距離即可.【詳解】（1）∵，為的中點(diǎn)，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線與平面所成角為，∴，∴①∵點(diǎn)在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離【點(diǎn)睛】對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20．馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.(1)求的分布列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求的期望.【答案】(1)答案見解析(2)(3)1【分析】（1）由題意分析的可能取值為0，1，2.分別求出概率，寫出分布列；（2）由全概率公式得到，判斷出數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，進(jìn)而求出.【詳解】（1）（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.21．已知，，動點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與的斜率之積為.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，直線，分別與曲線交于不同于，的點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，求最大時點(diǎn)的縱坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩直線斜率之積為，得點(diǎn)Q所滿足的方程式即可；（2）設(shè)直線的方程，代入曲線的方程，由幾何關(guān)系得直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，當(dāng)與重合時，最大，求出此時，點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得，且，，，所以，整理得曲線.（2）設(shè)，，，若直線平行于軸，根據(jù)雙曲線的對稱性，可知點(diǎn)在軸上，不符合題意，故設(shè)直線：，代入曲線中，得，則，，則，由，A，三點(diǎn)共線得，即，同理，由，B，三點(diǎn)共線得，消去，得，即，得，得，即對任意，，都有成立，故或，若，由，可得：所以即，矛盾，故，所以.所以直線：恒過點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，當(dāng)與重合時，最大，此時軸，：，.所以當(dāng)最大時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.22．已知函數(shù)．(1)若是的極值點(diǎn)，求a；(2)若，分別是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，證明下面①，②中的一個．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．注：如果選擇①，②分別解答，則按第一個解答計(jì)分．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，即可得，然后將帶入原函數(shù)進(jìn)行分析說明即可；（2）選擇①因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，分別求出的值，找出等量關(guān)系式，然后根據(jù)，對函數(shù)式進(jìn)行分析，利用構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，同時結(jié)合已知的條件即可得；選擇②因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，分別求出的值，找出等量關(guān)系式，然后根據(jù)，對函數(shù)式進(jìn)行分析，利用構(gòu)造新函數(shù)